Komplexa tal Ma2c

Teori

Exempel

Anteckningar

Uppgifter

Relevans

Aktivitet

Lär mer

[redigera]

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Imaginary Numbers Are Real, Part 1: Introduction

Komplexa tal

Det komplexa talplanet (arganddiagram). Varje komplext tal representeras av en realdel (Re) och en imaginärdel (Im)

De komplexa talen kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som

[math]\displaystyle{ z\ = a + b\,\mathrm i }[/math]

där det reella talet a är realdelen, det reella talet b är imaginärdelen och i är den imaginära enheten med egenskapen

[math]\displaystyle{ \ \mathrm i^2\ = {-1} }[/math]

Komplexa rötter

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Komplexa tal

Complex number illustration

Andragradsekvationer med ickereella rötter uppstår när vi behöver ta roten ur ett negativt tal. Då använder vi komplexa tal. Repetera gärna genom att titta på sidan Tal och talmängder

Definition

Komplexa tal [math]\displaystyle{ i^2 = -1 }[/math] Det är praktiskt att se det som att [math]\displaystyle{ i = \sqrt{-1} }[/math] även om det inte är matematiskt korrekt, se engelska Wikipedia om Imaginary number. Ett komplext tal består av en realdel [math]\displaystyle{ a }[/math] och en imaginärdel [math]\displaystyle{ b }[/math]. [math]\displaystyle{ z = a + bi }[/math] [math]\displaystyle{ Re z = a }[/math] [math]\displaystyle{ Im z = b }[/math] Imaginärdelen är ett reellt tal.

Komplexa tal och andragradsekvationer

Utifrån den generella beskrivning av andragradsekvationen:

[math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math]

med lösningen:

[math]\displaystyle{ x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} }[/math]

Ser vi att vi får komplexa rötter om diskriminanten

[math]\displaystyle{ \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} \lt 0 }[/math]

Exempel 1

Exempel
En andragradsekvation har två rötter En andragradsekvation [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0, a\neq 0 }[/math] har alltid två rötter. Dessa är [math]\displaystyle{ x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} }[/math] Om uttrycket under rottecknet är större än noll, är rötterna olika och reella mindre än noll, är rötterna olika och icke-reella lika med noll, är rötterna lika och reella

[redigera]

Exempel

x2 = -16 har ingen reell rot men däremot två komplexa. [math]\displaystyle{ x^2 = -16 }[/math] [math]\displaystyle{ x = \pm \sqrt{-16} }[/math] [math]\displaystyle{ x = \pm \sqrt{i^2 * 16} }[/math] [math]\displaystyle{ x = \pm \sqrt{i^2} * \sqrt{16} }[/math] [math]\displaystyle{ x = \pm i * 4 }[/math] [math]\displaystyle{ x_1 = 4i }[/math] [math]\displaystyle{ x_2 = -4i }[/math] x2-4x+13=0 har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel. [math]\displaystyle{ x^2 - 4x + 13 = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ {{pq-formeln}} }[/math] [math]\displaystyle{ x = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{ (\frac{4}{2})^2 - 13 } }[/math] [math]\displaystyle{ x = 2 \pm \sqrt{4 - 13} }[/math] [math]\displaystyle{ x = 2 \pm \sqrt{-9} }[/math] [math]\displaystyle{ x = 2 \pm \sqrt{9*i^2} }[/math] [math]\displaystyle{ x = 2 \pm 3i }[/math] [math]\displaystyle{ x_1 = 2 +3i }[/math] [math]\displaystyle{ x_2 = 2 - 3i }[/math]

Läs mer: Komplexa tal på wikipedia

[redigera]

[redigera]

Öva online

Uppgift

Uppgift
CAS i Geogebra Lär dig lösa andragradsekvationer med CAS-modulen i GeoGebra. CAS står för Computer Algebra System. GeoGebra Quickstart Tutorial.

[redigera]

Vad ska man ha komplexa tal till?

Förutom det rent teoretiska värdet som komplexa tal har, då de erbjuder ett sätt att uttrycka icke-reella lösningar på andragradsekvationer, så har man stor användning för komplexa tal inom fysiken, bland annat vid beskrivning av vågrörelser inom elektromagnetismens område.

• Komplexa tal används när man räknar på växelström.
  • j-omegametoden

[redigera]

Visualisera komplexa rötter

Visualisera komplexa rötter

[redigera]

Texter från högskolan

• Komplexa tal i elläran

En wiki med mycket teknik

• j-omegametoden

Bruno Kevius

Komplexa tal

Fördjupning som hör till Ma4

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Magnus Rönnholm, CC

Konjugatet

Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i x-axeln:

Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som

[math]\displaystyle{ \bar{z} = a - b\,\mathrm i }[/math]

För konjugatet gäller

[math]\displaystyle{ \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\ }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\ }[/math]

[math]\displaystyle{ \left| \overline{z} \right| = \left| z \right| }[/math]

Absolutbeloppet

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som

[math]\displaystyle{ r= \sqrt{a^2 + b^2} }[/math]

eller

[math]\displaystyle{ r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2} }[/math]

För absolutbeloppet gäller

[math]\displaystyle{ |z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2| }[/math]

[math]\displaystyle{ \left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|} }[/math]

Exit ticket