Räta linjen Ma2c: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) (→Bevis) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
(14 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
Rad 1: | Rad 1: | ||
= Teori = | __NOTOC__ | ||
=Teori= | |||
{{malruta | Räta linjen | {{malruta | Räta linjen | ||
Rad 13: | Rad 14: | ||
}} | }} | ||
I Matte 1-kursen har vi använt oss av räta linjens ekvation för att beskriva vissa typer av samband. I det här avsnittet ska vi repetera grunderna för linjära funktioner och även bygga vidare på det genom att titta på parallella och vinkelräta linjer. | |||
==== Hur ser ekvationen ut för linjen i bilden? ==== | ===Grafiskt=== | ||
====Hur ser ekvationen ut för linjen i bilden?==== | |||
En rät linje går mellan punkterna. | En rät linje går mellan punkterna. | ||
# Vad har linjen för lutning? '''k-värdet''' | |||
# Vad betyder et att k är negativt | #Vad har linjen för lutning? '''k-värdet''' | ||
# Var skär den y-axeln? '''m-värdet''' | #Vad betyder et att k är negativt | ||
# Skriv räta linjens ekvation på formen y = kx + m | #Var skär den y-axeln? '''m-värdet''' | ||
#Skriv räta linjens ekvation på formen y = kx + m | |||
<html> | <html> | ||
Rad 27: | Rad 31: | ||
</html> | </html> | ||
=== Beräkna k och m algebraiskt === | ===Beräkna k och m algebraiskt=== | ||
hur gör man för att ta fram räta linjens ekvation? | hur gör man för att ta fram räta linjens ekvation? | ||
Rad 45: | Rad 49: | ||
En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln. | En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln. | ||
=== Riktningskoefficienten === | ===Riktningskoefficienten=== | ||
Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare: | Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare: | ||
Rad 66: | Rad 70: | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
=== Hitta m === | ===Hitta m=== | ||
Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde. | Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde. | ||
Rad 72: | Rad 76: | ||
m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde. | m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde. | ||
: <math> y = kx + m </math> | :<math> y = kx + m </math> | ||
Då är det ju bara m som är obekant. | Då är det ju bara m som är obekant. | ||
Rad 79: | Rad 83: | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
=== Parallella och vinkelräta linjer === | ===Parallella och vinkelräta linjer=== | ||
{{#ev:youtube|nZuko8vyVs4|400|right}} | {{#ev:youtube|nZuko8vyVs4|400|right}} | ||
==== Parallella linjer ==== | ====Parallella linjer==== | ||
[[File:Parallel Lines.svg|thumb|Parallel Lines]] | [[File:Parallel Lines.svg|thumb|Parallel Lines]] | ||
{{ | {{egenskaper| | ||
Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient. | Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient. | ||
Rad 93: | Rad 97: | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
==== Vinkelräta linjer ==== | ====Vinkelräta linjer==== | ||
{{ | {{egenskaper| | ||
Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett. | Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett. | ||
Rad 106: | Rad 110: | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
= Exempel = | =Exempel= | ||
=== Bestäm k-värdet === | ===Bestäm k-värdet=== | ||
{{exruta|<big>Bestäm k</big> | {{exruta|<big>Bestäm k</big> | ||
Rad 119: | Rad 123: | ||
}} | }} | ||
=== Hitta m === | ===Hitta m=== | ||
{{exruta|'''<big>Bestäm m</big>''' | {{exruta|'''<big>Bestäm m</big>''' | ||
Rad 141: | Rad 145: | ||
}} | }} | ||
=== Problemlösning === | ===Problemlösning=== | ||
{{exruta| '''Billig städning + uträkning till exemplet''' | {{exruta| '''Billig städning + uträkning till exemplet''' | ||
Rad 163: | Rad 167: | ||
}} | }} | ||
= Bevis = | === Exempeluppgift === | ||
<pdf>Fil:1240_lösning.pdf</pdf> | |||
=== Exempeluppgift 2 === | |||
<pdf>Fil:16170.pdf</pdf> | |||
=Bevis= | |||
Bevis för att vinkelräta linjer innebär att <math>k_1 \cdot k_2 = -1 </math> | Bevis för att vinkelräta linjer innebär att <math>k_1 \cdot k_2 = -1 </math> | ||
Rad 173: | Rad 185: | ||
Om det är 90<sup>o</sup> mellan linjerna så gäller att: | Om det är 90<sup>o</sup> mellan linjerna så gäller att: | ||
: <math>\alpha = \beta </math> | :<math>\alpha = \beta </math> | ||
Då är enligt figuren (likformighet eller tangens) | Då är enligt figuren (likformighet eller tangens) | ||
: <math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d} </math> (1) | :<math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d} </math> (1) | ||
Förhållandet mellan sträckorna a/b och c/d ger oss riktingskoeficienterna <math> k_1</math> och <math> k_2</math> | Förhållandet mellan sträckorna a/b och c/d ger oss riktingskoeficienterna <math> k_1</math> och <math> k_2</math> | ||
: <math>k_1 | :<math>k_1 = \frac{a}{b} </math> | ||
och | och | ||
: <math>k_2 = - \frac{d}{c} </math> | :<math>k_2 = - \frac{d}{c} </math> eller omskrivet <math>-\frac{1}{k_2} = \frac{c}{d} </math> | ||
Om vi jämför med formel (1) ovan ser vi att | |||
:<math>k_1 = -1 \cdot \frac{1}{k_2} </math> | |||
om vi skriver om det har vi den trevligare formen | |||
:<math>k_1 \cdot k_2 = -1 </math> | |||
:V.S.B. | |||
=Bevis 2= | |||
<html> | |||
<iframe scrolling="no" title="Vinkelräta linjer Bevis 2" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fdeedscj/width/1368/height/738/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1368px" height="738px" style="border:0px;"> </iframe> | |||
</html> | |||
= Genomgång = | |||
Här tas enpunktsformeln upp. Den är praktisk men inte nödvändig. Den står inte i formelsamlingen. | |||
{{defruta| '''Enpunktsformeln''' | |||
<math> y-y_1 = k(x-x_1) </math> | |||
}} | |||
= GeoGebra = | <pdf>Fil:Enpunktsformeln.pdf</pdf> | ||
=GeoGebra= | |||
{{GGB | Räta linjens ekvation | {{GGB | Räta linjens ekvation | ||
Rad 200: | Rad 233: | ||
}} | }} | ||
=Laboration = | =Laboration= | ||
Vi ska göra en laboration med ett snöre. Ett snöre per person. | |||
'''Ställ upp en modell för snörets längd som funktion av antalet knutar.''' | |||
Följdfrågor | |||
#Hur lång är en knut? | |||
#Vilken definnitions- respektive värdemängd har modellen? | |||
==== Är linjen rät? ==== | Rdovisa dina mätdata i tabeller och grafer samt skriv en redogörelse för modellens giltighet och felkällor. Använd Excel. | ||
=Uppgifter= | |||
===Obligatoriska uppgifter=== | |||
====Är linjen rät?==== | |||
Ligger punkterna (243,7), (244,18) och (250,84) på en rät linje? | Ligger punkterna (243,7), (244,18) och (250,84) på en rät linje? | ||
==== Vinkelräta linjer ==== | ====Vinkelräta linjer==== | ||
Bestäm funktionen för den räta linje som är vinkelrät mot linjen y = 0.25 x + 12 och skär x-axeln för x = 5. | Bestäm funktionen för den räta linje som är vinkelrät mot linjen y = 0.25 x + 12 och skär x-axeln för x = 5. | ||
=== Interaktiv övning i GeoGebra === | ===Interaktiv övning i GeoGebra=== | ||
{{GGB|[https://www.geogebra.org/m/CyNsYTKg Interaktiv övning]}} | {{GGB|[https://www.geogebra.org/m/CyNsYTKg Interaktiv övning]}} | ||
=== Bra uppgifter === | ===Bra uppgifter=== | ||
{{khanruta|[https://www.khanacademy.org/math/algebra/two-var-linear-equations/forms-of-two-var-linear-equations/e/writing-the-equation-of-a-line-in-any-form Räta linjens ekvation] }} | {{khanruta|[https://www.khanacademy.org/math/algebra/two-var-linear-equations/forms-of-two-var-linear-equations/e/writing-the-equation-of-a-line-in-any-form Räta linjens ekvation] }} | ||
* [[Typtal räta linjens ekvation]]. Grundläggande begrepp som lutning och m-värde. | *[[Typtal räta linjens ekvation]]. Grundläggande begrepp som lutning och m-värde. | ||
=== Repetion och enklare uppgifter === | ===Repetion och enklare uppgifter=== | ||
* [http://olleh.se/start/frageprogramMa2.php OlleH] | *[http://olleh.se/start/frageprogramMa2.php OlleH] | ||
* [[Typtal_räta_linjens_ekvation | Typtal räta linjens ekvation]] | *[[Typtal_räta_linjens_ekvation | Typtal räta linjens ekvation]] | ||
= Aktiviteter = | =Aktiviteter= | ||
=== Repetition och problemlösning === | ===Repetition och problemlösning=== | ||
'''''Problemlösning - Diskutera''''' | '''''Problemlösning - Diskutera''''' | ||
Rad 258: | Rad 298: | ||
}} | }} | ||
=== Att hitta k och m (algebraiskt) === | ===Att hitta k och m (algebraiskt)=== | ||
{{uppgruta| | {{uppgruta| | ||
Rad 270: | Rad 310: | ||
}} | }} | ||
==== Latex-tips ==== | ====Latex-tips==== | ||
<pre> | <pre> | ||
Rad 278: | Rad 318: | ||
</pre> | </pre> | ||
=== Riktningskoefficienten === | ===Riktningskoefficienten=== | ||
{{GGB|[https://www.geogebra.org/m/WHxmVN3F Slope] | {{GGB|[https://www.geogebra.org/m/WHxmVN3F Slope] | ||
Rad 285: | Rad 325: | ||
}} | }} | ||
=== Parallella och vinkelräta linjer === | ===Parallella och vinkelräta linjer=== | ||
{{uppgfacit|Bevis vinkelräta linjer | {{uppgfacit|Bevis vinkelräta linjer | ||
Bevisa sambandet <math> vinkelräta linjer \Leftrightarrow k_1 * k_2 = -1</math> genom att: | Bevisa sambandet <math> vinkelräta linjer \Leftrightarrow k_1 * k_2 = -1</math> genom att: | ||
Rad 297: | Rad 337: | ||
}} | }} | ||
= Python = | =Python= | ||
=== Programmering - räta linjens k- och m-värde === | ===Programmering - räta linjens k- och m-värde=== | ||
{{python|[[Räta_linjen_med_Python|Räta linjen med Python]]}} | {{python|[[Räta_linjen_med_Python|Räta linjen med Python]]}} | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
= Lär mer = | =Lär mer= | ||
{| align=right | {| align="right" | ||
|- | |- | ||
| {{sway | [https://sway.com/5BPdtYUg573T9wcC?ref{{=}}Link Räta linjen]}}<br /> | |{{sway | [https://sway.com/5BPdtYUg573T9wcC?ref{{=}}Link Räta linjen]}}<br /> | ||
|- | |- | ||
| {{wplink| [http://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4r_ekvation Ekvation] }}<br /> | |{{wplink| [http://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4r_ekvation Ekvation] }}<br /> | ||
|- | |- | ||
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/linjara-funktioner-och-ekvationssystem/linjara-funktioner Linjära funktioner] }}<br /> | |{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/linjara-funktioner-och-ekvationssystem/linjara-funktioner Linjära funktioner] }}<br /> | ||
|} | |} | ||
=== Allmän form (linjens ekvation) === | ===Allmän form (linjens ekvation)=== | ||
{{svwp |injär_ekvation }} | {{svwp |injär_ekvation }} | ||
Rad 321: | Rad 361: | ||
En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form: | En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form: | ||
: <math> Ax + By + C = 0\,</math> | :<math> Ax + By + C = 0\,</math> | ||
eller på standardform: | eller på standardform: | ||
: <math> A x +By = C.\,</math> | :<math> A x +By = C.\,</math> | ||
=== Enpunktsformen === | ===Enpunktsformen=== | ||
Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt <math>(x_0, y_0)</math> på linjen kan man skriva den på enpunktsform: | Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt <math>(x_0, y_0)</math> på linjen kan man skriva den på enpunktsform: | ||
: <math> y-y_0 = k(x-x_0)\,</math> | :<math> y-y_0 = k(x-x_0)\,</math> | ||
<html> | <html> | ||
Rad 336: | Rad 377: | ||
</html> | </html> | ||
== Problemlösning == | ==Problemlösning== | ||
* [[Kluring_läxa:_Tristan_och_Isolde|Tristan och Isolde]] | *[[Kluring_läxa:_Tristan_och_Isolde|Tristan och Isolde]] | ||
* [http://www.malinc.se/math/functions/slopesv.php MalinC förklarar Räta linjen] Här finns det '''bra förklaringar''' och en del övningar. jag kan rekommendera fler delar av hemsidan. Sök efter sånt som har med vårt kapitel att göra. | *[http://www.malinc.se/math/functions/slopesv.php MalinC förklarar Räta linjen] Här finns det '''bra förklaringar''' och en del övningar. jag kan rekommendera fler delar av hemsidan. Sök efter sånt som har med vårt kapitel att göra. | ||
=== Hitta k och m === | ===Hitta k och m=== | ||
* http://www.youtube.com/watch?v=obtLcSrvE_Y | *http://www.youtube.com/watch?v=obtLcSrvE_Y | ||
=== | ===Riktningskoefficienten=== | ||
=== Parallella och vinkelräta linjer === | ===Parallella och vinkelräta linjer=== | ||
: [http://www.malinc.se/math/functions/perpendicularlinessv.php Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D. ] | :[http://www.malinc.se/math/functions/perpendicularlinessv.php Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D.] | ||
: [http://mathbits.com/GeometryBits/Slope%20Criteria%20for%20Perpendicular%20Lines.pdf Bevis på engelska om vinkelräta linjer]. Observera att amerikaner använder m i stället för k! | :[http://mathbits.com/GeometryBits/Slope%20Criteria%20for%20Perpendicular%20Lines.pdf Bevis på engelska om vinkelräta linjer]. Observera att amerikaner använder m i stället för k! | ||
== Exit ticket == | ==Exit ticket== | ||
<headertabs /> | <headertabs /> |