Vektorer: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(24 mellanliggande sidversioner av 3 användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
= Teori =
__NOTOC__
 
=Teori=
[[Fil:Normalkrafter på bil.png|200px|höger | Kraftverkan på en bil i Algodoo]]
{{malruta | Vektorer
{{malruta | Vektorer


Rad 7: Rad 8:
}}
}}


=== Vektorer ===
===Användningen av vektorer===
[[Fil:Vektor-beteckningar.png|höger|250px]]
[[Fil:Vektor-beteckningar.png|höger|250px]]


Rad 15: Rad 16:
{{clear}}
{{clear}}


=== Representation av vektorer ===
===Representation av vektorer===
[[Fil:2D-coordinate-system.png|miniatyr|höger|En 2-dimensionell vektor bestämd av positionen av punkten ''A'' med koordinaterna (2, 3)]]
[[Fil:2D-coordinate-system.png|miniatyr|höger|En 2-dimensionell vektor bestämd av positionen av punkten ''A'' med koordinaterna (2, 3)]]


En vektor är inte bunden till en position, men det kan antas att en vektors startpunkt sammanfaller med origo i det aktuella koordinatsystemet. Vektorer i ett ''n''-dimensionellt rum, '''R'''<sup>n</sup>, kan då representeras av en lista med koordinaterna för vektorernas ändpunkter enligt  
En vektor är inte bunden till en position, men det kan antas att en vektors startpunkt sammanfaller med origo i det aktuella koordinatsystemet. Vektorer kan då representeras av en lista med koordinaterna för vektorernas ändpunkter enligt  
 
:<math>\mathbf{a} = (a_1,\ a_2,\dots,\ a_n)</math>
:<math>\mathbf{a} = (a_1,\ a_2,\dots,\ a_n)</math>
Talen i listan kallas också vektorns ''komponenter''. I enlighet med figuren till höger kan den 2-dimensionella vektorn från ''O'' = (0, 0) till ''A'' = (2, 3) skrivas som
:<math>\mathbf{a} = (2,\ 3)</math>
I ℝ<sup>3</sup> identifieras vektorer med tripplar av koordinater:
:<math>\mathbf{a} = (a_1,\ a_2,\ a_3)</math>
eller
:<math>\mathbf{a} = (a_x,\ a_y,\ a_z)</math>


Ibland arrangeras dessa tripplar till kolonnvektorer eller radvektorer, särskilt i samband med hantering av matriser:
Talen i listan kallas också vektorns ''komponenter''. I enlighet med figuren till höger kan vektorn från ''O'' = (0, 0) till ''A'' = (2, 3) skrivas som


<math>\mathbf{a} = \begin{bmatrix}
:<math>\mathbf{a} = (2,\ 3)</math>
a_1\\
a_2\\
a_3\\
\end{bmatrix}
</math>
:<math>\mathbf{a} = [ a_1\ a_2\ a_3 ]</math>
 
En vektor mellan punkterna <math>A</math> och <math>B</math> betecknas <math>\overrightarrow{AB}.</math>


''Texten från Wikipedia - Vektor''
''Texten från Wikipedia - Vektor''


==== Vektorer mellan två punkter ====
===Vektorer mellan två punkter===
[[Fil:Vektor AB.PNG|320px|höger]]


När man ska åskådliggöra en vektor i en figur, har den en bestämd startpunkt (A) och en bestämd slutpunkt (B), och en riktning däremellan som markeras med en pil.
Vektorer betecknas oftast med bokstäver med en pil ovanför, för att tydliggöra att det är en storhet med såväl storlek som riktning.
 
=== Vektorers egenskaper? ===


Vektorer betecknas oftast med bokstäver med en pil ovanför, för att tydliggöra att det är en storhet med såväl storlek som riktning.
När man ska åskådliggöra en vektor i en figur, har den en bestämd startpunkt (A) och en bestämd slutpunkt (B), och en riktning däremellan som markeras med en pil. En vektor mellan punkterna <math>A</math> och <math>B</math> betecknas <math>\overrightarrow{AB}.</math>


När man ska åskådliggöra en vektor i en figur, har den en bestämd startpunkt (A) och en bestämd slutpunkt (B), och en riktning däremellan som markeras med en pil.
===Likadana, parallella och motsatta vektorer===


Vektorer som har samma längd och samma riktning är '''likadana''' (pilens längd representerar vektorns storlek/magnitud, medan vart pilen pekar visar vektorns riktning).
Vektorer som har samma längd och samma riktning är '''likadana''' (pilens längd representerar vektorns storlek/magnitud, medan vart pilen pekar visar vektorns riktning).
Rad 57: Rad 41:
Två vektorer är '''parallella''' om de har samma eller motsatt riktning.
Två vektorer är '''parallella''' om de har samma eller motsatt riktning.


Längden på en vektor kallas även för vektorns storlek eller vektorns absolutbelopp, och betecknas
Längden på en vektor får man genom att använda Pythagoras sats.


<html>
<html>
<iframe scrolling="no" title="Parallella vektorer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/S88jkhf3/width/500/height/300/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="460px" height="280px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
<iframe scrolling="no" title="Parallella vektorer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/S88jkhf3/width/500/height/300/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="430px" height="260px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
</html>


Rad 73: Rad 54:
}}
}}


{{defruta |'''Storleken av en vektor''':  
===Längden av en vektor===
[[Fil:Vektor AB.PNG|320px|höger]]
 
Längden på en vektor kallas även för vektorns storlek eller vektorns absolutbelopp, och skrivs ofta med beloppstecken som <math> |\overrightarrow{AB}| </math>.
 
Längden på en vektor får man genom att använda Pythagoras sats.
 
{{viktigt|'''Storleken av en vektor''':  
Storleken av en vektor beräknas med Pythagoras sats.
Storleken av en vektor beräknas med Pythagoras sats.
: vektorns längd är <math> \sqrt{(längden~i~x-led)^2+ (längden~i~y-led)^2} </math>
I bilden till höger är vektorns längd : vektorns längd är <math> \sqrt{5^2+ 2^2} </math>
}}
}}
{{clear}}
{{clear}}


=== Längden av en vektor ===
===Vektorer i koordinatsystem===
 
Längden av en vektor skrivs ofta med beloppstecken som <math> |AB| </math>.
 
Längden av en vektor beräknas med Pythagoras sats.
 
=== Vektorer i koordinatsystem ===
[[Fil:Ijk-coordinate-system.png|miniatyr|En 3-dimensionell vektor bestämd av basvektorerna '''i''', '''j''', '''k''']]
[[Fil:Ijk-coordinate-system.png|miniatyr|En 3-dimensionell vektor bestämd av basvektorerna '''i''', '''j''', '''k''']]


Rad 94: Rad 80:
{{clear}}
{{clear}}


= Exempel =
=Exempel=


{{exruta| '''Längden av en vektor'''
{{exruta| '''Längden av en vektor'''
Rad 107: Rad 93:
}}
}}


= Aktivitet =
=Aktivitet=


=== Mini-GeoGebra-lektioner ===
===Mini-GeoGebra-lektioner===


<html>
<html>
Rad 115: Rad 101:
</html>
</html>


= Uppgifter =
=Uppgifter=


=== Begrepp ===
===Begrepp===


{{uppgfacit| '''Kontrollfrågor'''
{{uppgfacit| '''Kontrollfrågor'''
Rad 133: Rad 119:
{{clear}}
{{clear}}


=== Procedurer ===
===Procedurer===


{{uppgfacit| '''Längden av en skalärprodukt'''
{{uppgfacit| '''Längden av en skalärprodukt'''
Rad 141: Rad 127:
# Vad är längden av <math>2.5 \cdot u</math> (se figur)
# Vad är längden av <math>2.5 \cdot u</math> (se figur)
# Hur lång är vektorn <math>(7,-3)</math>?
# Hur lång är vektorn <math>(7,-3)</math>?
# Vilka av följande vektorer är paralella? <math>(3,4), (4,5), (6,8)</math>, vektorn från <math>(3,3)</math> till <math>(6,7)</math>  
# Vilka av följande vektorer är parallella? <math>(3,4), (4,5), (6,8)</math>, vektorn från <math>(3,3)</math> till <math>(6,7)</math>  
# Vilka av vektorerna är likadana?
# Vilka av vektorerna är likadana?


Rad 152: Rad 138:
Längden av <math>2.5 \cdot u</math> är således 12.5.
Längden av <math>2.5 \cdot u</math> är således 12.5.


: 2, Länden är <math>  \sqrt{58}  </math>
: 2, Längden är <math>  \sqrt{58}  </math>


  3, 4) TBD
  3, 4)  
[[Fil:Vektorer uppg 3 lösning.JPG|400px|vänster]]
{{clear}}
}}
}}


= Lär mer =
=Lär mer=


{| wikitable align=right
{| align="right" wikitable
|-
|-
| {{sway | [https://sway.com/rKc8sQlat91Zqhpv?ref{{=}}Link Vektor]}}<br />
|{{sway | [https://sway.com/rKc8sQlat91Zqhpv?ref{{=}}Link Vektor]}}<br />
{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Vektor Vektor] }}<br />
{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Vektor Vektor] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/geometri/vektorer Vektorer] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/geometri/vektorer Vektorer] }}<br />
|}
|}


=== Tillämpningar i massor ===
===Vektorer i fler dimensioner===
 
 
I ℝ<sup>3</sup> identifieras vektorer med tripplar av koordinater:
 
:<math>\mathbf{a} = (a_1,\ a_2,\ a_3)</math>
 
eller
 
:<math>\mathbf{a} = (a_x,\ a_y,\ a_z)</math>
 
Ibland arrangeras dessa tripplar till kolonnvektorer eller radvektorer, särskilt i samband med hantering av matriser:
 
<math>\mathbf{a} = \begin{bmatrix}
a_1\\
a_2\\
a_3\\
\end{bmatrix}
</math>
 
:<math>\mathbf{a} = [ a_1\ a_2\ a_3 ]</math>
 
===Tillämpningar i massor===


'''Utforska''' vektorernas värld på egen hand eller med hjälp av tipsen nedan:
'''Utforska''' vektorernas värld på egen hand eller med hjälp av tipsen nedan:
Rad 184: Rad 194:
Kolla vektorerna på [[Krafter_Fysik1#Vektorer|fysiksidan]].
Kolla vektorerna på [[Krafter_Fysik1#Vektorer|fysiksidan]].


== Exit ticket ==
==Exit ticket==


Exit ticket: Vektorers representation
Exit ticket: Vektorers representation


<headertabs />
<headertabs />

Nuvarande version från 22 oktober 2019 kl. 23.01

[redigera]
Kraftverkan på en bil i Algodoo
Kraftverkan på en bil i Algodoo
Mål för undervisningen Vektorer

Vi bekantar oss med begreppet vektor och dess representationer såsom riktad sträcka och punkt i ett koordinatsystem.


Användningen av vektorer

Vektorer är matematiska storheter som har både storlek (magnitud) och riktning. De används därför ofta för att beskriva fysikaliska storheter med magnitud och riktning i rummet, som till exempel kraft, hastighet, acceleration, elektriskt fält och magnetfält. Sådana vektorer kallas även rumsvektorer eller geometriska vektorer. Ibland studeras rumsvektorer även i två dimensioner. I motsats till vektorstorheter är storheter som temperatur och ljusstyrka skalärer och saknar alltså riktning.

Texten från Wikipedia

Representation av vektorer

En 2-dimensionell vektor bestämd av positionen av punkten A med koordinaterna (2, 3)

En vektor är inte bunden till en position, men det kan antas att en vektors startpunkt sammanfaller med origo i det aktuella koordinatsystemet. Vektorer kan då representeras av en lista med koordinaterna för vektorernas ändpunkter enligt

[math]\displaystyle{ \mathbf{a} = (a_1,\ a_2,\dots,\ a_n) }[/math]

Talen i listan kallas också vektorns komponenter. I enlighet med figuren till höger kan vektorn från O = (0, 0) till A = (2, 3) skrivas som

[math]\displaystyle{ \mathbf{a} = (2,\ 3) }[/math]

Texten från Wikipedia - Vektor

Vektorer mellan två punkter

Vektorer betecknas oftast med bokstäver med en pil ovanför, för att tydliggöra att det är en storhet med såväl storlek som riktning.

När man ska åskådliggöra en vektor i en figur, har den en bestämd startpunkt (A) och en bestämd slutpunkt (B), och en riktning däremellan som markeras med en pil. En vektor mellan punkterna [math]\displaystyle{ A }[/math] och [math]\displaystyle{ B }[/math] betecknas [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB}. }[/math]

Likadana, parallella och motsatta vektorer

Vektorer som har samma längd och samma riktning är likadana (pilens längd representerar vektorns storlek/magnitud, medan vart pilen pekar visar vektorns riktning).

Två vektorer är parallella om de har samma eller motsatt riktning.


Definition
Motsatta vektorer:

Motsatta vektorer har samma längd men motsatt riktning. [math]\displaystyle{ \mathbf{- a} }[/math] är motsatt [math]\displaystyle{ \mathbf{a} }[/math]

Sats


Sats:

Parallella vektorer har antingen samma riktning eller motsatt riktning.


Längden av en vektor

Längden på en vektor kallas även för vektorns storlek eller vektorns absolutbelopp, och skrivs ofta med beloppstecken som [math]\displaystyle{ |\overrightarrow{AB}| }[/math].

Längden på en vektor får man genom att använda Pythagoras sats.

Viktigt
Storleken av en vektor:

Storleken av en vektor beräknas med Pythagoras sats.

vektorns längd är [math]\displaystyle{ \sqrt{(längden~i~x-led)^2+ (längden~i~y-led)^2} }[/math]

I bilden till höger är vektorns längd : vektorns längd är [math]\displaystyle{ \sqrt{5^2+ 2^2} }[/math]

Vektorer i koordinatsystem

En 3-dimensionell vektor bestämd av basvektorerna i, j, k
Definition
Enhetsvektorer

En vektor som har längden 1 kallas för en enhetsvektor. Enhetsvektorer som har riktningen längs med någon av koordinatsystemets axlar är särskilt användbara, eftersom vi kan använda dessa för att uttrycka andra vektorer. I nästa avsnitt kommer vi att titta på hur vi kan göra detta.


[redigera]
Exempel
Längden av en vektor

Vad är längden av vektor [math]\displaystyle{ u }[/math]

Vektorn utgör hypotenusan i en rätvnklig triangel där kateterna är parallella med varsin koordinataxel. Vi kan alltså använda Pythagoras sats genom att addera kvadraterna på längderna i x- respetive y-led och dra roten ur.

[math]\displaystyle{ |u| = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29} }[/math]


[redigera]

Mini-GeoGebra-lektioner

[redigera]

Begrepp

Uppgift: Kontrollfrågor
  1. Vad har en vektor som en skalär (ett tal) inte har?
  2. Hur lång är en enhetsvektor?
  3. För en tvådimensionell vektor [math]\displaystyle{ v }[/math] gäller [math]\displaystyle{ v =(4,5) }[/math]. Beräkna [math]\displaystyle{ |v| }[/math].

CC Matteboken.se

Facit: (klicka expandera till höger)

  1. Riktning
  2. Enhetsvektorn har längden 1
  3. [math]\displaystyle{ |v| = \sqrt{4^2 + 5^2}= \sqrt{16 + 25}= \sqrt{41} }[/math]


Procedurer

Uppgift: Längden av en skalärprodukt
  1. Vad är längden av [math]\displaystyle{ 2.5 \cdot u }[/math] (se figur)
  2. Hur lång är vektorn [math]\displaystyle{ (7,-3) }[/math]?
  3. Vilka av följande vektorer är parallella? [math]\displaystyle{ (3,4), (4,5), (6,8) }[/math], vektorn från [math]\displaystyle{ (3,3) }[/math] till [math]\displaystyle{ (6,7) }[/math]
  4. Vilka av vektorerna är likadana?

Facit: (klicka expandera till höger)

1) Vi använder Pythagoras sats för att bestämma längden av u.
[math]\displaystyle{ |u| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 }[/math]

Längden av [math]\displaystyle{ 2.5 \cdot u }[/math] är således 12.5.

2, Längden är [math]\displaystyle{ \sqrt{58} }[/math]
3, 4)



[redigera]
Swayen till detta avsnitt: Vektor


Wikipedia Vektor


Läs om Vektorer


Vektorer i fler dimensioner

I ℝ3 identifieras vektorer med tripplar av koordinater:

[math]\displaystyle{ \mathbf{a} = (a_1,\ a_2,\ a_3) }[/math]

eller

[math]\displaystyle{ \mathbf{a} = (a_x,\ a_y,\ a_z) }[/math]

Ibland arrangeras dessa tripplar till kolonnvektorer eller radvektorer, särskilt i samband med hantering av matriser:

[math]\displaystyle{ \mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{a} = [ a_1\ a_2\ a_3 ] }[/math]

Tillämpningar i massor

Utforska vektorernas värld på egen hand eller med hjälp av tipsen nedan:

TED Lessons - What is a vector

Vad är vektorer och vad ska man ha dem till?

http://sv.wikipedia.org/wiki/Vektorgrafik

Vektoreer används för att förklara trefas elektricitet.

Hur räknar man på kulans väg i CS?

Den vetgirige tar en titt på engelska och svenska wikipedia om Bezierkurvor vilka används frekvent inom datorgrafiken.

Kolla vektorerna på fysiksidan.

Exit ticket

Exit ticket: Vektorers representation

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Vektorer&oldid=52616”