Vektorer

Mål för undervisningen Vektorer

Vi bekantar oss med begreppet vektor och dess representationer såsom riktad sträcka och punkt i ett koordinatsystem.

Användningen av vektorer

Vektorer är matematiska storheter som har både storlek (magnitud) och riktning. De används därför ofta för att beskriva fysikaliska storheter med magnitud och riktning i rummet, som till exempel kraft, hastighet, acceleration, elektriskt fält och magnetfält. Sådana vektorer kallas även rumsvektorer eller geometriska vektorer. Ibland studeras rumsvektorer även i två dimensioner. I motsats till vektorstorheter är storheter som temperatur och ljusstyrka skalärer och saknar alltså riktning.

Texten från Wikipedia

Representation av vektorer

En 2-dimensionell vektor bestämd av positionen av punkten A med koordinaterna (2, 3)

En vektor är inte bunden till en position, men det kan antas att en vektors startpunkt sammanfaller med origo i det aktuella koordinatsystemet. Vektorer kan då representeras av en lista med koordinaterna för vektorernas ändpunkter enligt

a = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})

Talen i listan kallas också vektorns komponenter. I enlighet med figuren till höger kan vektorn från O = (0, 0) till A = (2, 3) skrivas som

a = (2, 3)

Texten från Wikipedia - Vektor

Vektorer mellan två punkter

Vektorer betecknas oftast med bokstäver med en pil ovanför, för att tydliggöra att det är en storhet med såväl storlek som riktning.

När man ska åskådliggöra en vektor i en figur, har den en bestämd startpunkt (A) och en bestämd slutpunkt (B), och en riktning däremellan som markeras med en pil. En vektor mellan punkterna $A$ och $B$ betecknas $\vec{A B} .$

Likadana, parallella och motsatta vektorer

Vektorer som har samma längd och samma riktning är likadana (pilens längd representerar vektorns storlek/magnitud, medan vart pilen pekar visar vektorns riktning).

Två vektorer är parallella om de har samma eller motsatt riktning.

Definition
Motsatta vektorer: Motsatta vektorer har samma längd men motsatt riktning. $- a$ är motsatt $a$

Sats	Sats: Parallella vektorer har antingen samma riktning eller motsatt riktning.

Längden av en vektor

Längden på en vektor kallas även för vektorns storlek eller vektorns absolutbelopp, och skrivs ofta med beloppstecken som $| \vec{A B} |$ .

Längden på en vektor får man genom att använda Pythagoras sats.

Viktigt

Storleken av en vektor:

Storleken av en vektor beräknas med Pythagoras sats.

vektorns längd är

\sqrt{(l ä n g d e n i x - l e d)^{2} + (l ä n g d e n i y - l e d)^{2}}

I bilden till höger är vektorns längd : vektorns längd är $\sqrt{5^{2} + 2^{2}}$

Vektorer i koordinatsystem

En 3-dimensionell vektor bestämd av basvektorerna i, j, k

Definition
Enhetsvektorer En vektor som har längden 1 kallas för en enhetsvektor. Enhetsvektorer som har riktningen längs med någon av koordinatsystemets axlar är särskilt användbara, eftersom vi kan använda dessa för att uttrycka andra vektorer. I nästa avsnitt kommer vi att titta på hur vi kan göra detta.

[redigera]

Exempel

Längden av en vektor

Vad är längden av vektor $u$

Vektorn utgör hypotenusan i en rätvnklig triangel där kateterna är parallella med varsin koordinataxel. Vi kan alltså använda Pythagoras sats genom att addera kvadraterna på längderna i x- respetive y-led och dra roten ur.

| u | = \sqrt{5^{2} + 2^{2}} = \sqrt{29}

[redigera]

Begrepp

Uppgift: Kontrollfrågor

Vad har en vektor som en skalär (ett tal) inte har?
Hur lång är en enhetsvektor?
För en tvådimensionell vektor $v$ gäller $v = (4, 5)$ . Beräkna $| v |$ .

CC Matteboken.se

Facit: (klicka expandera till höger)

Riktning
Enhetsvektorn har längden 1
$| v | = \sqrt{4^{2} + 5^{2}} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$

Procedurer

Uppgift: Längden av en skalärprodukt

Vad är längden av $2.5 \cdot u$ (se figur)
Hur lång är vektorn $(7, - 3)$ ?
Vilka av följande vektorer är parallella? $(3, 4), (4, 5), (6, 8)$ , vektorn från $(3, 3)$ till $(6, 7)$
Vilka av vektorerna är likadana?

Facit: (klicka expandera till höger)

1) Vi använder Pythagoras sats för att bestämma längden av u.

| u | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5

Längden av $2.5 \cdot u$ är således 12.5.

2, Längden är

\sqrt{58}

3, 4)

Vektorer

Användningen av vektorer

Representation av vektorer

Vektorer mellan två punkter

Likadana, parallella och motsatta vektorer

Längden av en vektor

Vektorer i koordinatsystem

Mini-GeoGebra-lektioner

Begrepp

Procedurer

Vektorer i fler dimensioner

Tillämpningar i massor

Exit ticket

Navigeringsmeny

Vektorer

Användningen av vektorer

Representation av vektorer

Vektorer mellan två punkter

Likadana, parallella och motsatta vektorer

Längden av en vektor

Vektorer i koordinatsystem

Navigeringsmeny

Sök