Begreppen sekant och tangent: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| (29 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
__NOTOC__ | |||
= Teori = | = Teori = | ||
== Ändringskvot == | == Ändringskvot == | ||
[[File:Slope picture.svg|340|right]] | |||
{{#ev:youtube | ywI4u3SdaNs | 340 | right| Frökenfysik, YT-licens}} | {{#ev:youtube | ywI4u3SdaNs | 340 | right| Frökenfysik, YT-licens}} | ||
{{defruta | '''Ändringskvoten''' | {{defruta | '''Ändringskvoten''' | ||
| Rad 8: | Rad 10: | ||
'''Ändringskvot''' är en förändring per tidsenhet eller annan enhet. Kan även kallas differenskvot. | '''Ändringskvot''' är en förändring per tidsenhet eller annan enhet. Kan även kallas differenskvot. | ||
Både ändringskvoten och sekantens lutning kan skrivas <math> \frac {\Delta y}{\Delta x}</math> | Både ändringskvoten och sekantens lutning kan skrivas <math> \frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math> | ||
}} | }} | ||
'''Det finns många ord för samma sak.''' Ändringskvoten är vad som efterfrågas i uppgifter där man frågar om: medellutning, temperaturändring, genomsnittlig förändrningshastighet, medelhastighet, riktningskoefficient, mm. | |||
{{ | {{clear}} | ||
}} | |||
== Sekanten == | == Sekanten == | ||
| Rad 48: | Rad 41: | ||
{{svwp|sekant}} | {{svwp|sekant}} | ||
När vi arbetar med derivatans definition använder vi ofta h istället för Δ''x''. | |||
== Tangenten - En kurvas lutning == | |||
[[Bild:Tangent.png|thumb|Tangent till en kurva]] | |||
Tangentens lutningen i punkten där <math>x = a</math> skrivs: | '''Tangentens lutning''' är kurvans lutning i denna punkt. Tangentens lutningen i punkten där <math>x = a</math> skrivs: | ||
: <math>k = | : <math>k = \frac{f(x) - f(a)}{x-a}</math> | ||
En '''tangent''' är en rät linje, som ''tangerar'' en kurva i en punkt, ''tangeringspunkten'', i vilken tangentens lutning, eller riktningskoefficient, är lika med kurvans lutning, dess derivata. | |||
{{defruta | '''Tangenten visar en funktions lutning i en viss punkt''' | |||
Stringent uttryckt, sägs en rät linje vara en tangent till kurvan ''f''(''x'') i punkten (''c'', ''f''(''c'')), om linjen går genom punkten och har lutningen ''f'''(''c''), där ''f''(''x'') är derivatan av ''f''(''x''). Inom geometrin kan en tangent approximeras med en sekant. | |||
}} | }} | ||
{{viktigt| ''' | Om tangeringspunkten och riktningskoefficienten för tangenten är känd, kan tangentens ekvation bestämmas med enpunktsformen | ||
:<math>y - y_0 = k(x - x_0)</math> | |||
vilken även kan skrivas på formen | |||
:<math>y = kx + m</math> | |||
där ''k'' är riktningskoefficienten och tangeringspunkten är (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>). | |||
{{viktigt| '''Tangenten ger lutningen''' | |||
Tangent visar kurvans lutning i en punkt. k-värdet för tangentens funktion (räta linjens funktion) ger ett mått på lutningen. | |||
Derivatans värde i punkten <math> (a, f(a))</math> ger kurvans lutning vilket är tangentens k-värde. | |||
}} | |||
{{clear}} | |||
= Exempel = | |||
== Med funktioner == | |||
{{exruta| '''Ändringskvot''' | |||
Beräkna medellutningen för kurvan <math> f(x) = x^2 +5 ~</math> i intervallet <math> 1 \le x \le 2 </math>. | |||
: <math> | '''Lösning:''' | ||
: Ändringskvoten <math>\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(2) - f(1)}{2-1} = \dfrac{9 - 6}{1} = 3 </math> | |||
}} | }} | ||
= | == Med grafer == | ||
Hur mycket har medeltemperaturen i Lund ökat från februari till jul? | |||
Svar: (16.8 - - 0.5) /5 | |||
[[Fil:Medeltemperatur Lund.png|600]] | |||
= Aktivitet - Sekant = | = Aktivitet - Sekant (Ändringskvot) = | ||
=== GeoGebran visar sekanten och tangenten === | === GeoGebran visar sekanten och tangenten === | ||
| Rad 96: | Rad 106: | ||
Läs hela GGB-övningen [http://tube.geogebra.org/material/simple/id/208407 här]. | Läs hela GGB-övningen [http://tube.geogebra.org/material/simple/id/208407 här]. | ||
= Aktivitet - Ändringskvot= | |||
{{uppgruta| '''Skapa en egen GGB''' | |||
Kopiera konstruktionen på denna sida men gör den med större text och så att man kan flytta punkterna. | |||
}} | |||
<html> | |||
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/1232911/width/496/height/410/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="496px" height="410px" style="border:0px;"> </iframe> | |||
</html> | |||
= Aktivitet - Tangent = | |||
== En kurvas lutning - grafiskt == | |||
{{uppgruta| '''Vi undersöker gemensamt i GeoGebra''' | |||
Rita en funktion av tredje graden i GeoGebra. | |||
Använd verktyget för att lägga in en tangent i punkten (a, f(a)) där a är en lämplig glidare. | |||
Hur kan man beskriva tangentens relation till grafen? | |||
Vad finns det för samband mellan tangentens lutning och derivatan av funktionen? | |||
}} | |||
= Uppgifter = | = Uppgifter = | ||
{{uppgruta| '''Ändringskvot''' | |||
# Beräkna medellutningen för kurvan <math> y = 2 x^2 +3 ~</math> i intervallet <math> 1 \le x \le 2 </math>. | |||
}} | |||
{{uppgruta| '''Begrepp''' | {{uppgruta| '''Begrepp''' | ||
# Vad kallas en rät linje som skär två eller fler punkter på en graf | # Vad kallas en rät linje som skär två eller fler punkter på en graf? | ||
# Definiera begreppet tangent. | # Definiera begreppet tangent. | ||
}} | }} | ||
<br> | <br> | ||
{{uppgruta| '''Procedur''' | {{uppgruta| '''Procedur - rita grafer''' | ||
# <math> f(x) = - 3 x^2 </math>. Uppskatta vad tangenten har för ungefärlig lutning i punkten <math> (a, f(a)) </math> där: | # <math> f(x) = - 3 x^2 </math>. Uppskatta vad tangenten har för ungefärlig lutning i punkten <math> (a, f(a)) </math> där: | ||
## <math> a =3 </math> | ## <math> a =3 </math> | ||
## <math> a = -1 </math> | ## <math> a = -1 </math> | ||
: genom att konstruera lämpliga sekanter. | #: genom att konstruera lämpliga sekanter. | ||
# | # Derivera funktionen och beräkna derivatans värde i punkterna ovan. Vilken slutsats drar du? | ||
}} | }} | ||
== En GeoGebra. == | |||
https://www.geogebra.org/m/jsWvZwQR | |||
= Lär mer = | = Lär mer = | ||