Kontinuerliga och diskreta funktioner: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(29 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
Two random variables were talking in a bar. They thought they were being discrete but I heard their chatter continuously.
__NOTOC__
= Teori =
== Kontinuerliga funktioner ==


''Source: armchairdetective / reddit''
[[Fil:Ex cont func.svg|miniatyr|Att en funktion är kontinuerlig betyder att den är sammanhängande.]]


== Teori ==
Det är värdemängden som avgör om en funktion är kontinuerlig. En funktion en som inte gör några plötsliga hopp och inte har några avbrott är kontinuerlig.


[[File:Floor(x).png|thumb|En graf över funktionen y = floor(x). Den här funktionen är varken kontinuerlig eller diskret.]]
Inom matematiken är en storhet som är '''kontinuerlig''' en storhet som är sådan att man alltid kan finna en annan storhet som skiljer sig från den förra med en kvantitet som är mindre än någon ändlig storhet.  


En '''diskret funktion''' är en funktion vars definitionsmängd är diskret, exempelvis heltal.
En funktion definierad på en delmängd av de reella talen är kontinuerlig i en punkt {{nowrap|''x'' {{=}} ''x''<sub>0</sub>}} i (det inre av) definitionsmängden om den där identisk med sitt gränsvärde, det vill säga om


Ett exempel på en diskret funktion är {{nowrap|''f(x)'' {{=}} 1/2<sup>''n''</sup>}} där {{nowrap|''n'' ∈ ℕ}}, som ger oss talserien 1, 1/2, 1/4, 1/8…
:<math> \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)</math>


Notera att det är definitionsmängden som avgör om en funktion är diskret, medan det är värdemängden som avgör om en funktion är kontinuerlig. De två egenskaperna är alltså inte varandras motsatser. Funktionen {{nowrap|''f(x)'' {{=}} floor(''x'')}} där {{nowrap|''x'' ∈ ℝ}}, exempelvis, är varken kontinuerlig eller diskret – eftersom den gör hopp i funktionsvärdet (är ''inte'' kontinuerlig) och har en sammanhängande definitionsmängd (är ''inte'' diskret). (Se bild.)
{{clear}}
{{clear}}


=== Diskontinuerliga funktioner ===
== Diskontinuerliga funktioner ==


[[File:Discontinuity jump.eps.png|thumb|right|Funktionen i figuren har en så kallad hoppdiskontinuitet.]]
[[File:Discontinuity jump.eps.png|thumb|right|Funktionen i figuren har en så kallad hoppdiskontinuitet. Den är således inte kontinuerlig.]]


Det är värdemängden som avgör om en funktion är kontinuerlig.  
Diskontinuerliga funktioner har avbrott.  


{{clear}}
{{clear}}


=== Diskreta funktioner ===
== Diskreta funktioner ==
 
[[File:Floor(x).png|thumb|En graf över funktionen y = floor(x). Den här funktionen är varken kontinuerlig eller diskret.]]


En '''diskret funktion''' är en funktion vars definitionsmängd är diskret, exempelvis heltal.
En '''diskret funktion''' är en funktion vars definitionsmängd är diskret, exempelvis heltal.


= Aktivitet =
Notera att det är definitionsmängden som avgör om en funktion är diskret, medan det är värdemängden som avgör om en funktion är kontinuerlig. De två egenskaperna är alltså inte varandras motsatser. Funktionen {{nowrap|''f(x)'' {{=}} floor(''x'')}} där {{nowrap|''x'' ∈ ℝ}}, exempelvis, är varken kontinuerlig eller diskret – eftersom den gör hopp i funktionsvärdet (är ''inte'' kontinuerlig) och har en sammanhängande definitionsmängd (är ''inte'' diskret). (Se bild.)
{{clear}}
 
=== Ett exempel som går att göra med punkter från ett kalkylblad ===
 
Ett exempel på en diskret funktion är {{nowrap|''f(x)'' {{=}} 1/2<sup>''n''</sup>}} där {{nowrap|''n'' ∈ ℕ}}, som ger oss talserien 1, 1/2, 1/4, 1/8…
 
== Filmer ==
 
{{#ev:youtube|cvnG0YWPLjQ|310|left|Matematik 3c diskreta och kontinuerliga funktioner}}
{{#ev:youtube| ZA3dS2r2x4U | 310 | right|Sid 168-171 - begreppen diskontinuerlig funktion, diskret funktion och inflexionspunkt}}
{{clear}}
 
= Uppgifter =


Är denna funktion kontinuerlig?
Är denna funktion kontinuerlig?
Rad 35: Rad 51:
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/1486343/width/800/height/503/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="800px" height="503px" style="border:0px;"> </iframe>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/1486343/width/800/height/503/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="800px" height="503px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
</html>
== Uppgifter ==


= Lär mer =
= Lär mer =
Rad 47: Rad 61:
[https://sv.wikipedia.org/wiki/Diskret_funktion Diskret funktion]}}<br />
[https://sv.wikipedia.org/wiki/Diskret_funktion Diskret funktion]}}<br />
|}
|}
{{#ev:youtube|cvnG0YWPLjQ|310|right}}
 
{{#ev:youtube| ZA3dS2r2x4U | 310 | right |Sid 168-171 - begreppen diskontinuerlig funktion, diskret funktion och inflexionspunkt}}
Two random variables were talking in a bar. They thought they were being discrete but I heard their chatter continuously.
 
''Source: armchairdetective / reddit''


=== Läs gärna på svenska wikipedia ===
=== Läs gärna på svenska wikipedia ===
Rad 65: Rad 81:
</html>
</html>
{{clear}}
{{clear}}
==== Zeta-funktionen ====
[[Fil:Discrete_Riemann_Zeta.png|400px|höger|Exempel på en diskret funktion]]
Ett annat exempel på diskret funktion är '''Discrete Riemann Zeta''' som du ser till höger.
{{clear}}
<headertabs />

Nuvarande version från 22 september 2020 kl. 13.10

[redigera]

Kontinuerliga funktioner

Att en funktion är kontinuerlig betyder att den är sammanhängande.

Det är värdemängden som avgör om en funktion är kontinuerlig. En funktion en som inte gör några plötsliga hopp och inte har några avbrott är kontinuerlig.

Inom matematiken är en storhet som är kontinuerlig en storhet som är sådan att man alltid kan finna en annan storhet som skiljer sig från den förra med en kvantitet som är mindre än någon ändlig storhet.

En funktion definierad på en delmängd av de reella talen är kontinuerlig i en punkt x = x0 i (det inre av) definitionsmängden om den där identisk med sitt gränsvärde, det vill säga om

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) }[/math]

Diskontinuerliga funktioner

Funktionen i figuren har en så kallad hoppdiskontinuitet. Den är således inte kontinuerlig.

Diskontinuerliga funktioner har avbrott.

Diskreta funktioner

En graf över funktionen y = floor(x). Den här funktionen är varken kontinuerlig eller diskret.

En diskret funktion är en funktion vars definitionsmängd är diskret, exempelvis heltal.

Notera att det är definitionsmängden som avgör om en funktion är diskret, medan det är värdemängden som avgör om en funktion är kontinuerlig. De två egenskaperna är alltså inte varandras motsatser. Funktionen f(x) = floor(x) där x ∈ ℝ, exempelvis, är varken kontinuerlig eller diskret – eftersom den gör hopp i funktionsvärdet (är inte kontinuerlig) och har en sammanhängande definitionsmängd (är inte diskret). (Se bild.)

Ett exempel som går att göra med punkter från ett kalkylblad

Ett exempel på en diskret funktion är f(x) = 1/2n där n ∈ ℕ, som ger oss talserien 1, 1/2, 1/4, 1/8…

Filmer

Load video
YouTube
Matematik 3c diskreta och kontinuerliga funktioner
Load video
YouTube
Sid 168-171 - begreppen diskontinuerlig funktion, diskret funktion och inflexionspunkt
[redigera]

Är denna funktion kontinuerlig?

Är funktionen diskret?

[redigera]
Läs om Rationella funktioner


Wikipedia Continous function och på svenska

Diskret funktion


Two random variables were talking in a bar. They thought they were being discrete but I heard their chatter continuously.

Source: armchairdetective / reddit

Läs gärna på svenska wikipedia

Läs gärna vad Wikipedia skriver om Kontinuerlig_funktion
Läs gärna vad Wikipedia skriver om Diskontinuitet skriver i en relativt teoretisk förklaring
Läs vad Wikipedia skriver om Diskret_funktion.

Fördjupning

Hur tolkar du denna GGB?

Zeta-funktionen

Exempel på en diskret funktion
Exempel på en diskret funktion

Ett annat exempel på diskret funktion är Discrete Riemann Zeta som du ser till höger.

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner&oldid=54704”