Begreppen sekant och tangent: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| (39 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
__NOTOC__ | |||
= Teori = | = Teori = | ||
== | == Ändringskvot == | ||
{{defruta | ''' | [[File:Slope picture.svg|340|right]] | ||
{{#ev:youtube | ywI4u3SdaNs | 340 | right| Frökenfysik, YT-licens}} | |||
{{defruta | '''Ändringskvoten''' | |||
''' | '''Ändringskvot''' är en förändring per tidsenhet eller annan enhet. Kan även kallas differenskvot. | ||
Både ändringskvoten och sekantens lutning kan skrivas <math> \frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math> | |||
}} | |||
'''Det finns många ord för samma sak.''' Ändringskvoten är vad som efterfrågas i uppgifter där man frågar om: medellutning, temperaturändring, genomsnittlig förändrningshastighet, medelhastighet, riktningskoefficient, mm. | |||
{{clear}} | |||
== Sekanten == | |||
En linje som skär en kurva i två punkter kallas sekant. | |||
{{defruta| Sekantlinje | |||
En '''sekantlinje''' av en kurva är en rät linje som skär två eller fler punkter på kurvan. En sekantlinje kallas oftast för en sekant, men det ordet används också ibland för enbart sträckan mellan de två punkterna på sekantlinjen. Själva ordet sekant kommer från latinets "secare" som betyder "att skära" eller "att klippa" | |||
}} | }} | ||
Om punkterna ligger nära varandra kommer sekanten att ha ungefär samma lutning som en tangent mellan punkterna. Sekantlinjen kan användas för att approximera tangenten för en kurva i en punkt P. Om sekanten för kurvan definieras genom de två punkterna P och Q, med P fixerad och Q varierbar, så kommer sekanten att närma sig tangenten när Q närmar sig P (antag att punkten bara har en tangent). | |||
Som en konsekvens av detta kan man säga att sekantens lutning, eller riktning, går mot tangenten. | |||
=== Sekanten i koordinatsystemet === | |||
[[Fil:Secant-graph-sverdrup.png|miniatyr|250px|Sekantapproximation]] | |||
Betrakta kurvan som definieras av ''y'' = ''f''(''x'') i det kartesiska koordinatsystemet och betrakta punkten ''P'' med koordinater (''c'', ''f''(''c'')) och en annan punkt ''Q'' med koordinater (''c'' + Δ''x'', ''f''(''c'' + Δ''x'')). Lutningen ''k'' av sekantlinjen, uttryckta i ''P'' och ''Q'', ges av | |||
:<math>k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{(c + \Delta x) - c} = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{\Delta x}</math> | |||
Högerledet av ovanstående ekvation är en variant av Newtons deriveringskvot. När Δ''x'' närmar sig noll kommer uttrycket närma sig derivatan av ''f''(''c'') under antagandet att derivatan existerar. | |||
{{svwp|sekant}} | |||
När vi arbetar med derivatans definition använder vi ofta h istället för Δ''x''. | |||
: <math>k = | == Tangenten - En kurvas lutning == | ||
[[Bild:Tangent.png|thumb|Tangent till en kurva]] | |||
'''Tangentens lutning''' är kurvans lutning i denna punkt. Tangentens lutningen i punkten där <math>x = a</math> skrivs: | |||
: <math>k = \frac{f(x) - f(a)}{x-a}</math> | |||
En '''tangent''' är en rät linje, som ''tangerar'' en kurva i en punkt, ''tangeringspunkten'', i vilken tangentens lutning, eller riktningskoefficient, är lika med kurvans lutning, dess derivata. | |||
{{defruta | '''Tangenten visar en funktions lutning i en viss punkt''' | |||
Stringent uttryckt, sägs en rät linje vara en tangent till kurvan ''f''(''x'') i punkten (''c'', ''f''(''c'')), om linjen går genom punkten och har lutningen ''f'''(''c''), där ''f''(''x'') är derivatan av ''f''(''x''). Inom geometrin kan en tangent approximeras med en sekant. | |||
}} | |||
Om tangeringspunkten och riktningskoefficienten för tangenten är känd, kan tangentens ekvation bestämmas med enpunktsformen | |||
:<math>y - y_0 = k(x - x_0)</math> | |||
vilken även kan skrivas på formen | |||
:<math>y = kx + m</math> | |||
där ''k'' är riktningskoefficienten och tangeringspunkten är (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>). | |||
{{viktigt| '''Tangenten ger lutningen''' | |||
Tangent visar kurvans lutning i en punkt. k-värdet för tangentens funktion (räta linjens funktion) ger ett mått på lutningen. | |||
Derivatans värde i punkten <math> (a, f(a))</math> ger kurvans lutning vilket är tangentens k-värde. | |||
}} | }} | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
= | = Exempel = | ||
== Med funktioner == | |||
{{exruta| '''Ändringskvot''' | |||
Beräkna medellutningen för kurvan <math> f(x) = x^2 +5 ~</math> i intervallet <math> 1 \le x \le 2 </math>. | |||
'''Lösning:''' | |||
: Ändringskvoten <math>\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(2) - f(1)}{2-1} = \dfrac{9 - 6}{1} = 3 </math> | |||
}} | |||
== Med grafer == | |||
Hur mycket har medeltemperaturen i Lund ökat från februari till jul? | |||
Svar: (16.8 - - 0.5) /5 | |||
[[Fil:Medeltemperatur Lund.png|600]] | |||
= Aktivitet | = Aktivitet - Sekant (Ändringskvot) = | ||
=== GeoGebran visar sekanten och tangenten === | === GeoGebran visar sekanten och tangenten === | ||
| Rad 51: | Rad 106: | ||
Läs hela GGB-övningen [http://tube.geogebra.org/material/simple/id/208407 här]. | Läs hela GGB-övningen [http://tube.geogebra.org/material/simple/id/208407 här]. | ||
= Aktivitet - Ändringskvot= | |||
{{uppgruta| '''Skapa en egen GGB''' | |||
Kopiera konstruktionen på denna sida men gör den med större text och så att man kan flytta punkterna. | |||
}} | |||
<html> | |||
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/1232911/width/496/height/410/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="496px" height="410px" style="border:0px;"> </iframe> | |||
</html> | |||
= Aktivitet - Tangent = | |||
== En kurvas lutning - grafiskt == | |||
{{uppgruta| '''Vi undersöker gemensamt i GeoGebra''' | |||
Rita en funktion av tredje graden i GeoGebra. | |||
Använd verktyget för att lägga in en tangent i punkten (a, f(a)) där a är en lämplig glidare. | |||
Hur kan man beskriva tangentens relation till grafen? | |||
Vad finns det för samband mellan tangentens lutning och derivatan av funktionen? | |||
}} | |||
= Uppgifter = | |||
{{uppgruta| '''Ändringskvot''' | |||
# Beräkna medellutningen för kurvan <math> y = 2 x^2 +3 ~</math> i intervallet <math> 1 \le x \le 2 </math>. | |||
}} | |||
{{uppgruta| '''Begrepp''' | |||
# Vad kallas en rät linje som skär två eller fler punkter på en graf? | |||
# Definiera begreppet tangent. | |||
}} | |||
<br> | |||
{{uppgruta| '''Procedur - rita grafer''' | |||
# <math> f(x) = - 3 x^2 </math>. Uppskatta vad tangenten har för ungefärlig lutning i punkten <math> (a, f(a)) </math> där: | |||
## <math> a =3 </math> | |||
## <math> a = -1 </math> | |||
#: genom att konstruera lämpliga sekanter. | |||
# Derivera funktionen och beräkna derivatans värde i punkterna ovan. Vilken slutsats drar du? | |||
}} | |||
== En GeoGebra. == | |||
https://www.geogebra.org/m/jsWvZwQR | |||
= Lär mer = | = Lär mer = | ||