Begreppet gränsvärde: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(22 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
== Teori ==
__NOTOC__
= Teori =


betrakta funktionen
Betrakta funktionen


: <math> f(x) = \frac{1}{x^2} </math>
: <math> f(x) = \frac{1}{x^2} </math>
Rad 44: Rad 45:
: <math> \lim_{x \to 2}  \frac{x^2 - 2^2}{x - 2} =  \lim_{x \to 2}  \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2}  (x + 2) = 4 </math>
: <math> \lim_{x \to 2}  \frac{x^2 - 2^2}{x - 2} =  \lim_{x \to 2}  \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2}  (x + 2) = 4 </math>
}}
}}
= Exempel =
{{exruta| Faktorisera och förkorta
: <math> \lim_{x \to 0}  \dfrac{x^2 + x}{x} \qquad</math>  uttrycket är inte definierat för <math> x = 0</math>
:
: <math> \lim_{x \to 0}  \dfrac{x(x + 1)}{x}</math>
:
: <math> \lim_{x \to 0}  x + 1 = 1</math>
}}
:
{{exruta| Faktorisera med konjugat- eller kvadreringsreglerna
: <math> \lim_{x \to 4}  \dfrac{x^2 -16}{x-4}  \qquad  x \ne 4</math>
:
: <math> \lim_{x \to 4}  \dfrac{(x+4)(x-4)}{x-4}</math>
:
: <math> \lim_{x \to 4} x+4 = 4 + 4 = 8</math>
}}
:
{{exruta| Gränsvärden när x går mot oändligheten hanteras annorlunda
: <math> \lim_{x \to infty}  \dfrac{x -3x^2}{2x^2+x}</math>
:
: <math> \lim_{x \to \infty}  \dfrac{x^2(\frac{1}{x} -3)}{x^2(2+ \frac{1}{x} )}</math>
:
: <math> \lim_{x \to \infty}  \dfrac{\frac{1}{x} -3}{2+ \frac{1}{x} }</math>
:
Med x i nämnarna ser vi att de termerna går mot noll när x går mot oändligheten och vi kan skriva:
:
: <math>  \dfrac{0 -3}{2+ 0 } = \dfrac{ -3}{2} = -\dfrac{3}{2}</math>
:
}}
:
= Aktivitet =


=== Numerisk beräkning av gränsvärden ===
=== Numerisk beräkning av gränsvärden ===
Rad 53: Rad 91:
{{clear}}
{{clear}}


== Aktiviteter ==
= Uppgifter =
 
== Uppgifter ==


Beräkna
=== Beräkna ===


: <math> \lim_{h \to 0}  2h + 3</math>
: <math> \lim_{h \to 0}  2h + 3</math>
Rad 73: Rad 109:
: <math> \lim_{x \to \infty}  99+0.99^x</math>
: <math> \lim_{x \to \infty}  99+0.99^x</math>


== Lär mer ==
: <math> \lim_{x \to \infty}  \frac{x-4x^2}{3x^2+x}</math>
 
= Lär mer =


{| align="right"
{| align="right"
Rad 92: Rad 130:


{{clear}}
{{clear}}
<headertabs />

Nuvarande version från 23 september 2020 kl. 20.04

[redigera]

Betrakta funktionen

[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x^2} }[/math]

Vad blir gränsvärdet när vi väljer stora värden på x? Eller med andra ord: vad blir gränsvärdet för funktionen f då x går mot oändligheten?

Härhjälper det att ställa upp en värdetabell:

x f(x)
10 0,01
100 0,0001
1000 0,000001

Vi ser här att ju större värden på variabeln vi väljer, desto närmare 0 blir funktionsvärdet.

I det här fallet kan vi skriva upp gränsvärdet på det här sättet:

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to ∞} f(x) = 0 }[/math]

Det här utläser vi som "limes av f(x) när x går mot oändligheten är 0".

Definition
Gränsväde i en punkt
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} f(x) = b }[/math] utläses gränsvärdet för [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] är lika med [math]\displaystyle{ b }[/math] då [math]\displaystyle{ x }[/math] går mot [math]\displaystyle{ a }[/math]


Beräkning av gränsvärden

Exempel
Beräkna gränsvärdet algebraiskt

Vad är gränsvärdet för [math]\displaystyle{ \frac{x^2 - 4}{x - 2} }[/math] om [math]\displaystyle{ x }[/math] går mot 2 ?


[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 }[/math]


[redigera]
Exempel
Faktorisera och förkorta
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 + x}{x} \qquad }[/math] uttrycket är inte definierat för [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \dfrac{x(x + 1)}{x} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} x + 1 = 1 }[/math]
Exempel
Faktorisera med konjugat- eller kvadreringsreglerna
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 4} \dfrac{x^2 -16}{x-4} \qquad x \ne 4 }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 4} \dfrac{(x+4)(x-4)}{x-4} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 4} x+4 = 4 + 4 = 8 }[/math]
Exempel
Gränsvärden när x går mot oändligheten hanteras annorlunda
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to infty} \dfrac{x -3x^2}{2x^2+x} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2(\frac{1}{x} -3)}{x^2(2+ \frac{1}{x} )} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{1}{x} -3}{2+ \frac{1}{x} } }[/math]

Med x i nämnarna ser vi att de termerna går mot noll när x går mot oändligheten och vi kan skriva:

[math]\displaystyle{ \dfrac{0 -3}{2+ 0 } = \dfrac{ -3}{2} = -\dfrac{3}{2} }[/math]
[redigera]

Numerisk beräkning av gränsvärden

Många gånger kan det löna sig att använda ett kalkylprogram om man vill se hur ett uttryck närmar sig gränsvärdet. Här syns ett exempel i Numbers:

[redigera]

Beräkna

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} 2h + 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + h}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 -9}{x-3} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{h \to \infty} 4 + \frac{5}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{h^3-3h^2x+4hx}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{9}{2+10^x} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} 99+0.99^x }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{x-4x^2}{3x^2+x} }[/math]
[redigera]
Läs om Gränsvärde


Wikipedia Gränsvärde


Load video
YouTube
Beräkning av gränsvärden. 7:17 min. Åke Dahllöfk, YT-licens

Fördjupning

Load video
YouTube
Siri kan beräkna gränsvärden

Rita grafen för funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x }[/math] och uppskatta gränsvärdet för [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} f(x) }[/math]

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Begreppet_gränsvärde&oldid=54718”