Metoder för lösning av extremvärdesproblem: Skillnad mellan sidversioner

VisuellWikitext

Nuvarande version från 1 december 2020 kl. 20.31

Maximi- och minimiproblem

Sid 159-162 - Maximi- och minimiproblem.

Mål för undervisningen Idag ska du lära dig att:

lösa maximi- och minimiproblem.

Kluring Lådan

Tänk dig att du ska vika till en så stor låda som möjligt av ett papper som är 10 cm brett och 20 cm högt.

Hur mycket ska du vika upp kanterna?

Facit: Lådan - en praktisk övning

Tillämpningar på derivata, nedan. Finns även en mängd uppgifter på separat sida

Teori

Sid 138-139 - Tillämpningar på derivata och tolkning av derivatan. Av Åke Dahllöf, Youtubelicens.

Sid 148-150 - Hitta största och minsta värdet för en funktion

Extrempunkter

Derivatan ger extrempunkterna

Fiffigt sätt att hitta extrempunkter:

derivera funktionen
sätt derivatan lika med noll
lösningens x-värde ger max- eller minpunkten

Uppgifterna i det här avsnittet handlar om att du ska kunna läsa av eller räkna ut funktionens värde och derivatans värde för funktioner som beskriver verkliga händelser eller samband. Kopplingen till verkligheten gör det relevant, vilket inte är helt vanligt inom våra mattekurser.

Exempel

Längdåkning på skidor

En längdskidåkare kommer till en brant backe och stannar helt och tvekar innan hen vågar åka utför.

Orolig som hen är tar hen fram telefonen och finner följande problem som hen löser (i huvudet).

Du kommer att röra dig s meter på t sekunder enligt funktionen [math]\displaystyle{ s(t) = 3 t^2 }[/math]

a) vad är s(4)?

b vad är s'(4)?

Frågan är: ger beräkningarna ovan någon information om hur fort det kommer att gå vid backens slut?

Tillämpningar - Lufttryck

Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken.

Exempel

Tryck

Antag att [math]\displaystyle{ p(h) }[/math] betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden [math]\displaystyle{ h }[/math] (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan [math]\displaystyle{ p'(h) }[/math] att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Digitala övningar (fördjupning)

En snygg funktion

Undersök funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{sin(x)}{x} }[/math].

För vilket [math]\displaystyle{ x }[/math] har funktionen sitt största och minsta värde?
Vad är gränsvärdet [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} f(x) }[/math] ?
För vilka [math]\displaystyle{ x }[/math] är [math]\displaystyle{ f'(x) = 0 }[/math] ?

Talet e

Rita grafen för [math]\displaystyle{ f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x }[/math] som du känner från avsnittet Beräkning_av_gränsvärden.

Skissa hur derivatan kan tänkas se ut genom att lägga in några punkter i GeoGebra.

Lägg in funktionen [math]\displaystyle{ g(x) = f'(x) }[/math] och se hur bra du lyckades med din skiss.

GeoGebra har även tagit fram derivatan som du ser och kan förundras över. Den följer inte våra enkla deriveringsregler.

RC-kretsen

Följande finns att läsa på Wikipedia: RC_cicuit:

The simplest RC circuit is a capacitor and a resistor in parallel. When a circuit consists of only a charged capacitor and a resistor, the capacitor will discharge its stored energy through the resistor. The voltage across the capacitor, which is time dependent, can be found by using Kirchhoff's current law, where the current charging the capacitor must equal the current through the resistor. This results in the linear differential equation

[math]\displaystyle{ C\frac{dV}{dt} + \frac{V}{R}=0 }[/math].

where C = capacitance of capacitor.

Solving this equation for V yields the formula for exponential decay:

[math]\displaystyle{ V(t)=V_0 e^{-\frac{t}{RC}} \ , }[/math]

where V₀ is the capacitor voltage at time t = 0.

The time required for the voltage to fall to [math]\displaystyle{ \frac{V_0}{e} }[/math] is called the RC time constant and is given by

[math]\displaystyle{ \tau = RC \ . }[/math]

Uppgifter

Rita grafen för [math]\displaystyle{ V(t) }[/math] och bestäm tidskonstanten [math]\displaystyle{ \tau }[/math].
Sätt in lämpliga värden R och C i din funktion, gärna med glidare.
I denna uppgift dyker talet e upp igen. Hur kommer det sig?

Vi ska ha en övning för mattelyftet

Klassificering av uppgifter

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-''Tillämpningar på derivata''
+__NOTOC__
+== Maximi- och minimiproblem ==
+{{#ev:youtube| __pmpphndog | 340 | right |Sid 159-162 - Maximi- och minimiproblem. }}
+{{malruta | Idag ska du lära dig att:
+* lösa maximi- och minimiproblem.
+}}
+{{kluring | '''Lådan'''
+Tänk dig att du ska vika till en så stor låda som möjligt av ett papper som är 10 cm brett och 20 cm högt.
+Hur mycket ska du vika upp kanterna?
+}}
+Facit:  [[Lådan - en praktisk övning]]
+{{clear}}
+-------
+''Tillämpningar på derivata, nedan. Finns även en mängd uppgifter på separat sida''
 == Teori ==
-{{#ev:youtube| LHdNik4YAhU |250|right|Sid 138-139 - Tillämpningar på derivata och tolkning av derivatan. Av Åke Dahllöf, Youtubelicens.}}
+{{#ev:youtube| LHdNik4YAhU |340|right|Sid 138-139 - Tillämpningar på derivata och tolkning av derivatan. Av Åke Dahllöf, Youtubelicens.}}
-{{lm3c|Tillämpningar på derivata|138-139}}
+{{#ev:youtube| Mz58eQkiksA |340|right|Sid 148-150 - Hitta största och minsta värdet för en funktion}}
+{{#ev:youtube|dhqdVGk_bNw|340|right|Extrempunkter}}
+=== Derivatan ger extrempunkterna ===
+Fiffigt sätt att hitta extrempunkter:
+# derivera funktionen
+# sätt derivatan lika med noll
+# lösningens x-värde ger max- eller minpunkten
+<br>
+{{clear}}
 Uppgifterna i det här avsnittet handlar om att du ska kunna läsa av eller räkna ut funktionens värde och derivatans värde för funktioner som beskriver verkliga händelser eller samband. Kopplingen till verkligheten gör det relevant, vilket inte är helt vanligt inom våra mattekurser.
@@ Rad 22: / Rad 51: @@
 {{clear}}
+== Tillämpningar - Lufttryck ==
+Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken.
+{{exruta|'''Tryck'''
+Antag att <math>p(h)</math> betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden <math>h</math> (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan <math>p'(h)</math> att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ.
+{{wp}}
+}}
 == Digitala övningar (fördjupning) ==
@@ Rad 66: / Rad 105: @@
 ==== Uppgifter ====
-# Rita grafen för <math> V(t) </math> och bestäm tidskonstanten <math> \Tau </math>.
+# Rita grafen för <math> V(t) </math> och bestäm tidskonstanten <math> \tau </math>.
 # Sätt in lämpliga värden R och C i din funktion, gärna med glidare.
 # I denna uppgift dyker talet e upp igen. Hur kommer det sig?
@@ Rad 77: / Rad 116: @@
 [[Ett par geoGebras]]
+=== Övning i GGB ===
+https://ggbm.at/d9ymqxvm Bra övning av Tim B
 == Vi ska ha en övning för mattelyftet ==
 [[Klassificering av uppgifter]]