Nollställe: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
Ingen redigeringssammanfattning
 
(29 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
{{malruta | xxx
__NOTOC__


Här undersöker vi xxx.  
= Teori =
 
{{malruta | Nollställen
 
Vi lär oss vad nollställen är och hur de hänger ihop med andragradsekvationens rötter.  
}}  
}}  


== Teori ==
{{defruta|'''Nollställe'''
 
En punkt i en funktions definitionsmängd där funktionens värde är noll
 
Besläktade ord: nollställa.
 
Nollställena i en andragradsfunktion befinner sig på samma avstånd från symmetrilinjen.
 
}}


=== Andragradsekvationer och rötter ===
=== Andragradsekvationer och rötter ===
Rad 32: Rad 44:
{{clear}}
{{clear}}


=== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ===
=== Faktorisering och nollproduktsmetoden ===
 
''Hitta funktionen om du vet hur grafen ser ut.''


Nu vet vi att x-värden för punkterna där andragradfunktinens graf skär x-axeln motsvara lösningen till ekvationen där funktionen är lika med noll, f(x) {{=}} 0. Dessa x-värden kallas nollställen.
Nu vet vi att x-värden för punkterna där andragradfunktinens graf skär x-axeln motsvara lösningen till ekvationen där funktionen är lika med noll, f(x) {{=}} 0. Dessa x-värden kallas nollställen.


Ett annat sätt att hitta nollställena är att faktorisera andragradsfunktionens uttryck. Nollproduktssatsne säger då att om a b = 0 så är antingen a = 0 eller b = 0. Genom att faktorisera andragradsfunktionen fås ett uttryck på formen k (x-a) (x-b) = 0. Nollställena x = a och x = b utgör då lösningar (rötter) till ekvationen.  
Ett annat sätt att hitta nollställena är att faktorisera andragradsfunktionens uttryck. Nollproduktssatsne säger då att om a b = 0 så är antingen a = 0 eller b = 0. Genom att faktorisera andragradsfunktionen fås ett uttryck på formen k (x-a) (x-b) = 0. Talen x = a och x = b utgör då lösningar (rötter) till ekvationen. Nollställena är punkterna där linjerna x = a och x = b skär x-axeln.


{{exruta| '''Faktorisera för att hitta nollställena'''
=== Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ===


Vilka rötter har ekvationen <math> x^2 - 6 x + 9</math> ?
Vi gör nedanståendde övningar på kortast möjliga tid  för att få upp tempo och automatisera procedurerna.
 
Faktorisering ger (x-3)(x-3) {{=}} 0 vilket innebär att x {{=}} 3 är ett nollställe och en dubbelrot.
 
Ekvationen kan även skrivas på formen <math> (x-3)^2 = 0</math>


[[Fil:Faktorisering andragradare.PNG|300px|höger]]
{{uppgruta|
{{uppgruta|
'''Först''' ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.
'''Först''' ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.
Rad 60: Rad 71:


=== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ===
=== Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ===
{{exruta| '''Faktorisera för att hitta nollställena'''
Vilka rötter har ekvationen <math> x^2 - 6 x + 9</math> ?
Faktorisering ger (x-3)(x-3) {{=}} 0 vilket innebär att x {{=}} 3 är ett nollställe och en dubbelrot.
Ekvationen kan även skrivas på formen <math> (x-3)^2 = 0</math>
}}
{{uppgruta|
{{uppgruta|
Här ska vi också '''[[repetera kvadreringsreglerna]]''' med ett lösblad.
Här ska vi också '''[[repetera kvadreringsreglerna]]''' med ett lösblad.
Rad 67: Rad 88:
Exempel:
Exempel:


: '''1+2x+x<sup>2</sup>''' {{=}} 1(1+x)<sup>2</sup>  
: '''1+2x+x<sup>2</sup>''' {{=}} (1+x)<sup>2</sup>  


Testa nu om du kan kvadratern med kvadreingsregeln baklänges!
Testa nu om du kan kvadratern med kvadreingsregeln baklänges!
Rad 82: Rad 103:
}}
}}


== Aktivitet ==
=== Uppdelning i faktorer utan konjugat- eller kvadreringsreglerna ===
 
Det är ofta lätt att hur ett polynom av andra graden (andragradsfunktion) kan faktoriseras med hjälp av konjugat- eller kvadreringsreglerna men det går att faktorisera många andra polynom av andra graden men ekvationens form blir då <math> (x-a)(x-b) = 0 </math> och rötterna är a respektive b. Det motsvara fallen då andragradsfunktionen inte är symmetrisk med y-axeln.
 
{{exruta|
 
Ekvationen
: <math> x^2 -x -6 = 0 </math>
kan skrivas som
: <math> (x+2)(x-3) = 0 </math>
Rötterna är : <math> x= -2</math> och <math>x=3 </math>
 
Observera den negativa roten. Faktorn : <math> (x+2) = 0 </math> om <math> x= -2 </math>
}}
 
= Anteckningar =
 
<pdf>Fil:Andragradsfunktioner.pdf </pdf>
 
= Aktivitet =
   
   
=== Tempot är viktigt ===
=== Tempot är viktigt ===
Rad 95: Rad 135:
}}
}}


=== Många andra Geogebras ===
=== Allt du behöver veta om andragradsfunktionens graf ===


[[Testa dina kunskaper om andragradsfunktioner]]
{{uppgruta| '''Studera GeoGebran'''


Bland annat Jonas Halls GGB med allt man behöver veta om andragradsfunktionens graf. ''Bör rensas och infogas på denna sida.''
Den här GeoGebran är fullmatad med information. Titta igenom den och fundera vad allting betyder och hur det hänger ihop.


=== En tänkvärd övning i GeoGebra ===
Låtsas att du spelar in en film och agera speaker till filmen men du behöver inte säga dina meningar högt. Tänk dem i huvudet.
 
'''Om''' du behöver visa begrepps- eller kommunikationsförmåga är du välkommen att spela in en film och lämna till din lärare. Du kan peka på grafen och de markerade punkterna och orden och förklara samtidigt. om du är duktig kan du börja med grafen och sedan klicka för att visa en sak i taget.
}}


<html>
<html>
<iframe scrolling="no" title="Ekvationslösning övning" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/xaRvBMVH/width/1410/height/701/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="1410px" height="701px" style="border:0px;"> </iframe>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/xTnwQDZs/width/1002/height/706/border/888888" width="1002px" height="706px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
</html>


== Lär mer ==
''Av Jonas Hall.''
 
= Lär mer =


{| align=right
{| align=right
Rad 113: Rad 158:
| {{sway | [https://sway.com/EfIfdQgnpniHJO2e?ref{{=}}Link Nollställen]}}<br />
| {{sway | [https://sway.com/EfIfdQgnpniHJO2e?ref{{=}}Link Nollställen]}}<br />
|-
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/10490255-dbf1-4a4d-89a1-2685d72235b5 Andragrads­funktioner] }}<br />
| {{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Rot_(till_ekvation)#Nollst%C3%A4lle Nollställe] }}<br />
|-
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/funktioner-och-grafer/funktionsbegreppet Funktionsbegreppet] }}<br />
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/funktioner-och-grafer/potensfunktioner Potensfunktioner] }}<br />
|}
|}


{{uppgruta|Gör denna diagnos på ekvationssystem
[[Media:Veckodiagnos_19.pdf| Veckodiagnos 19 om andragradsfunktioner ]]
[[Media:Veckodiagnos_21.pdf| Veckodiagnos 21 om andragradsfunktioners egenskaper ]]
}}
=== Många andra Geogebras ===
[[Testa dina kunskaper om andragradsfunktioner]]
Bland annat Jonas Halls GGB med allt man behöver veta om andragradsfunktionens graf. ''Bör rensas och infogas på denna sida.''


{{clear}}
{{clear}}


== Exit ticket ==
== Exit ticket ==
=== Kahoot ===
Det är lämpligt att testa kunskaperna både före och efter att vi övat oss. Då ser man resultat av ansträngning.
{{kahoot | [https://play.kahoot.it/#/k/06d7e767-e4c7-43d1-840d-29f28ea73c1e Kahooten är här.] }}
<headertabs />

Nuvarande version från 26 februari 2020 kl. 18.36


[redigera]
Mål för undervisningen Nollställen

Vi lär oss vad nollställen är och hur de hänger ihop med andragradsekvationens rötter.


Definition
Nollställe

En punkt i en funktions definitionsmängd där funktionens värde är noll

Besläktade ord: nollställa.

Nollställena i en andragradsfunktion befinner sig på samma avstånd från symmetrilinjen.



Andragradsekvationer och rötter

Exempel
Lös ekvationen:
[math]\displaystyle{ x^2-8x+16=0 }[/math]

Vad händer?

Pröva nu ekvationen:

[math]\displaystyle{ x^2-8x+17=0 }[/math]

här har vi en ekvation som saknar reella lösningar.


CC By --hakan 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)
CC By --hakan 3 februari 2012 kl. 17.50 (UTC)
Definition 
En andragradsekvation kan ha 
två reella rötter eller
en dubbelrot eller
två komplexa rötter


Load video
YouTube

Faktorisering och nollproduktsmetoden

Hitta funktionen om du vet hur grafen ser ut.

Nu vet vi att x-värden för punkterna där andragradfunktinens graf skär x-axeln motsvara lösningen till ekvationen där funktionen är lika med noll, f(x) = 0. Dessa x-värden kallas nollställen.

Ett annat sätt att hitta nollställena är att faktorisera andragradsfunktionens uttryck. Nollproduktssatsne säger då att om a b = 0 så är antingen a = 0 eller b = 0. Genom att faktorisera andragradsfunktionen fås ett uttryck på formen k (x-a) (x-b) = 0. Talen x = a och x = b utgör då lösningar (rötter) till ekvationen. Nollställena är punkterna där linjerna x = a och x = b skär x-axeln.

Uppdelning i faktorer med konjugatregeln

Vi gör nedanståendde övningar på kortast möjliga tid för att få upp tempo och automatisera procedurerna.

Uppgift

Först ska vi repetera konjugatregeln med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.

Sedan testar vi om du kan använda konjugatregeln baklänges. Dela upp följande uttryck i faktorer:

  1. [math]\displaystyle{ x^2 - 9 }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ x^2 - 81 }[/math]
  3. [math]\displaystyle{ c^2 - 4 }[/math]
  4. [math]\displaystyle{ x^2 - 6 }[/math]
  5. [math]\displaystyle{ x^2 - 3.4 }[/math]
  6. [math]\displaystyle{ x^2 - k^2 }[/math]


Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna

Exempel
Faktorisera för att hitta nollställena

Vilka rötter har ekvationen [math]\displaystyle{ x^2 - 6 x + 9 }[/math] ?

Faktorisering ger (x-3)(x-3) = 0 vilket innebär att x = 3 är ett nollställe och en dubbelrot.

Ekvationen kan även skrivas på formen [math]\displaystyle{ (x-3)^2 = 0 }[/math]


Uppgift

Här ska vi också repetera kvadreringsreglerna med ett lösblad.

Du ska även kunna kvadreringsreglerna baklänges.

Exempel:

1+2x+x2 = (1+x)2

Testa nu om du kan kvadratern med kvadreingsregeln baklänges!

  1. 4+8x+4x2=
  2. 4-12x+9x2=
  3. 64+144x+81x2=
  4. 0.25-10x+100x2=
  5. a2-2ab+b2=
  6. a2+2abx+b2x2=
  7. 0.16a2+2.4ax+9x2=
  8. 9y2-12x2y+4x4=



Uppdelning i faktorer utan konjugat- eller kvadreringsreglerna

Det är ofta lätt att hur ett polynom av andra graden (andragradsfunktion) kan faktoriseras med hjälp av konjugat- eller kvadreringsreglerna men det går att faktorisera många andra polynom av andra graden men ekvationens form blir då [math]\displaystyle{ (x-a)(x-b) = 0 }[/math] och rötterna är a respektive b. Det motsvara fallen då andragradsfunktionen inte är symmetrisk med y-axeln.

Exempel

Ekvationen

[math]\displaystyle{ x^2 -x -6 = 0 }[/math]

kan skrivas som

[math]\displaystyle{ (x+2)(x-3) = 0 }[/math]

Rötterna är : [math]\displaystyle{ x= -2 }[/math] och [math]\displaystyle{ x=3 }[/math]

Observera den negativa roten. Faktorn : [math]\displaystyle{ (x+2) = 0 }[/math] om [math]\displaystyle{ x= -2 }[/math]


[redigera]

⧼embed_pdf_invalid_relative_domain⧽

[redigera]

Tempot är viktigt

Om du gör ett prov kanske det innehåller 12 uppgifter som du ska göra på en timme. Några uppgifter är lätta och går fort men några andra kräver mycket mer tid. Det ger oss anledning att fundera över hur fort man bör kunna lösa uppgifter. En rimlig hastighet är att du löser cirka 20 uppgifter per timme om uppgifterna är lagom svåra. Det innebär i snitt tre minuter per uppgift.

Uppgift
Se om du kan göra en uppgift på tre minuter

Välj en uppgift i Kunskapsmatrisen på den betygsnivå som ligger nära det betyg du hade i Ma1c.

Se om du kan göra uppgiften på tre minuter. Din lärare tar tid. Du ska redovisa din lösning iinom de tre minutrarna.


Allt du behöver veta om andragradsfunktionens graf

Uppgift
Studera GeoGebran

Den här GeoGebran är fullmatad med information. Titta igenom den och fundera vad allting betyder och hur det hänger ihop.

Låtsas att du spelar in en film och agera speaker till filmen men du behöver inte säga dina meningar högt. Tänk dem i huvudet.

Om du behöver visa begrepps- eller kommunikationsförmåga är du välkommen att spela in en film och lämna till din lärare. Du kan peka på grafen och de markerade punkterna och orden och förklara samtidigt. om du är duktig kan du börja med grafen och sedan klicka för att visa en sak i taget.


Av Jonas Hall.

[redigera]
Swayen till detta avsnitt: Nollställen


Wikipedia Nollställe


Läs om Potensfunktioner



Uppgift
Gör denna diagnos på ekvationssystem

Veckodiagnos 19 om andragradsfunktioner

Veckodiagnos 21 om andragradsfunktioners egenskaper


Många andra Geogebras

Testa dina kunskaper om andragradsfunktioner

Bland annat Jonas Halls GGB med allt man behöver veta om andragradsfunktionens graf. Bör rensas och infogas på denna sida.

Exit ticket

Kahoot

Det är lämpligt att testa kunskaperna både före och efter att vi övat oss. Då ser man resultat av ansträngning.

Gör en Kahoot: Kahooten är här.


Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Nollställe&oldid=54221”