Nollställe: Skillnad mellan sidversioner

VisuellWikitext

Nuvarande version från 26 februari 2020 kl. 18.36

[redigera]

Mål för undervisningen Nollställen

Vi lär oss vad nollställen är och hur de hänger ihop med andragradsekvationens rötter.

Definition

Nollställe

En punkt i en funktions definitionsmängd där funktionens värde är noll

Besläktade ord: nollställa.

Nollställena i en andragradsfunktion befinner sig på samma avstånd från symmetrilinjen.

Andragradsekvationer och rötter

Exempel

Lös ekvationen:

[math]\displaystyle{ x^2-8x+16=0 }[/math]

Vad händer?

Pröva nu ekvationen:

[math]\displaystyle{ x^2-8x+17=0 }[/math]

här har vi en ekvation som saknar reella lösningar.

Definition
En andragradsekvation kan ha två reella rötter eller en dubbelrot eller två komplexa rötter

Faktorisering och nollproduktsmetoden

Hitta funktionen om du vet hur grafen ser ut.

Nu vet vi att x-värden för punkterna där andragradfunktinens graf skär x-axeln motsvara lösningen till ekvationen där funktionen är lika med noll, f(x) = 0. Dessa x-värden kallas nollställen.

Ett annat sätt att hitta nollställena är att faktorisera andragradsfunktionens uttryck. Nollproduktssatsne säger då att om a b = 0 så är antingen a = 0 eller b = 0. Genom att faktorisera andragradsfunktionen fås ett uttryck på formen k (x-a) (x-b) = 0. Talen x = a och x = b utgör då lösningar (rötter) till ekvationen. Nollställena är punkterna där linjerna x = a och x = b skär x-axeln.

Uppdelning i faktorer med konjugatregeln

Vi gör nedanståendde övningar på kortast möjliga tid för att få upp tempo och automatisera procedurerna.

Uppgift

Först ska vi repetera konjugatregeln med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.

Sedan testar vi om du kan använda konjugatregeln baklänges. Dela upp följande uttryck i faktorer:

[math]\displaystyle{ x^2 - 9 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - 81 }[/math]
[math]\displaystyle{ c^2 - 4 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - 3.4 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - k^2 }[/math]

Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna

Exempel

Faktorisera för att hitta nollställena

Vilka rötter har ekvationen [math]\displaystyle{ x^2 - 6 x + 9 }[/math] ?

Faktorisering ger (x-3)(x-3) = 0 vilket innebär att x = 3 är ett nollställe och en dubbelrot.

Ekvationen kan även skrivas på formen [math]\displaystyle{ (x-3)^2 = 0 }[/math]

Uppgift

Här ska vi också repetera kvadreringsreglerna med ett lösblad.

Du ska även kunna kvadreringsreglerna baklänges.

Exempel:

1+2x+x² = (1+x)²

Testa nu om du kan kvadratern med kvadreingsregeln baklänges!

4+8x+4x²=
4-12x+9x²=
64+144x+81x²=
0.25-10x+100x²=
a²-2ab+b²=
a²+2abx+b²x²=
0.16a²+2.4ax+9x²=
9y²-12x²y+4x⁴=

Uppdelning i faktorer utan konjugat- eller kvadreringsreglerna

Det är ofta lätt att hur ett polynom av andra graden (andragradsfunktion) kan faktoriseras med hjälp av konjugat- eller kvadreringsreglerna men det går att faktorisera många andra polynom av andra graden men ekvationens form blir då [math]\displaystyle{ (x-a)(x-b) = 0 }[/math] och rötterna är a respektive b. Det motsvara fallen då andragradsfunktionen inte är symmetrisk med y-axeln.

Exempel

Ekvationen

[math]\displaystyle{ x^2 -x -6 = 0 }[/math]

kan skrivas som

[math]\displaystyle{ (x+2)(x-3) = 0 }[/math]

Rötterna är : [math]\displaystyle{ x= -2 }[/math] och [math]\displaystyle{ x=3 }[/math]

Observera den negativa roten. Faktorn : [math]\displaystyle{ (x+2) = 0 }[/math] om [math]\displaystyle{ x= -2 }[/math]

[redigera]

⧼embed_pdf_invalid_relative_domain⧽

[redigera]

Tempot är viktigt

Om du gör ett prov kanske det innehåller 12 uppgifter som du ska göra på en timme. Några uppgifter är lätta och går fort men några andra kräver mycket mer tid. Det ger oss anledning att fundera över hur fort man bör kunna lösa uppgifter. En rimlig hastighet är att du löser cirka 20 uppgifter per timme om uppgifterna är lagom svåra. Det innebär i snitt tre minuter per uppgift.

Uppgift

Se om du kan göra en uppgift på tre minuter

Välj en uppgift i Kunskapsmatrisen på den betygsnivå som ligger nära det betyg du hade i Ma1c.

Se om du kan göra uppgiften på tre minuter. Din lärare tar tid. Du ska redovisa din lösning iinom de tre minutrarna.

Allt du behöver veta om andragradsfunktionens graf

Uppgift

Studera GeoGebran

Den här GeoGebran är fullmatad med information. Titta igenom den och fundera vad allting betyder och hur det hänger ihop.

Låtsas att du spelar in en film och agera speaker till filmen men du behöver inte säga dina meningar högt. Tänk dem i huvudet.

Om du behöver visa begrepps- eller kommunikationsförmåga är du välkommen att spela in en film och lämna till din lärare. Du kan peka på grafen och de markerade punkterna och orden och förklara samtidigt. om du är duktig kan du börja med grafen och sedan klicka för att visa en sak i taget.

Av Jonas Hall.

[redigera]

Swayen till detta avsnitt: Nollställen

Wikipedia Nollställe

Läs om Potensfunktioner

Uppgift

Gör denna diagnos på ekvationssystem

Veckodiagnos 19 om andragradsfunktioner

Veckodiagnos 21 om andragradsfunktioners egenskaper

Många andra Geogebras

Testa dina kunskaper om andragradsfunktioner

Bland annat Jonas Halls GGB med allt man behöver veta om andragradsfunktionens graf. Bör rensas och infogas på denna sida.

Exit ticket

Kahoot

Det är lämpligt att testa kunskaperna både före och efter att vi övat oss. Då ser man resultat av ansträngning.

Gör en Kahoot: Kahooten är här.

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-{{malruta | xxx
+__NOTOC__
-Här undersöker vi xxx.
+= Teori =
+{{malruta | Nollställen
+Vi lär oss vad nollställen är och hur de hänger ihop med andragradsekvationens rötter.
 }}
-== Teori ==
+{{defruta|'''Nollställe'''
+En punkt i en funktions definitionsmängd där funktionens värde är noll
+Besläktade ord: nollställa.
+Nollställena i en andragradsfunktion befinner sig på samma avstånd från symmetrilinjen.
+}}
 === Andragradsekvationer och rötter ===
@@ Rad 30: / Rad 42: @@
 {{#ev:youtube|LTR1s87IC2I|320|right}}
+{{clear}}
+=== Faktorisering och nollproduktsmetoden ===
+''Hitta funktionen om du vet hur grafen ser ut.''
+Nu vet vi att x-värden för punkterna där andragradfunktinens graf skär x-axeln motsvara lösningen till ekvationen där funktionen är lika med noll, f(x) {{=}} 0. Dessa x-värden kallas nollställen.
+Ett annat sätt att hitta nollställena är att faktorisera andragradsfunktionens uttryck. Nollproduktssatsne säger då att om a b = 0 så är antingen a = 0 eller b = 0. Genom att faktorisera andragradsfunktionen fås ett uttryck på formen k (x-a) (x-b) = 0. Talen x = a och x = b utgör då lösningar (rötter) till ekvationen. Nollställena är punkterna där linjerna x = a och x = b skär x-axeln.
 === Uppdelning i faktorer med konjugatregeln ===
+Vi gör nedanståendde övningar på kortast möjliga tid  för att få upp tempo och automatisera procedurerna.
+[[Fil:Faktorisering andragradare.PNG|300px|höger]]
 {{uppgruta|
-Först ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.
+'''Först''' ska vi [[repetera konjugatregeln]] med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter.
+'''Sedan''' testar vi om du kan använda konjugatregeln baklänges. Dela upp följande uttryck i faktorer:
+# <math>x^2 - 9</math>
+# <math>x^2 - 81</math>
+# <math>c^2 - 4</math>
+# <math>x^2 - 6</math>
+# <math>x^2 - 3.4</math>
+# <math>x^2 - k^2</math>
 }}
 === Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna ===
+{{exruta| '''Faktorisera för att hitta nollställena'''
+Vilka rötter har ekvationen <math> x^2 - 6 x + 9</math> ?
+Faktorisering ger (x-3)(x-3) {{=}} 0 vilket innebär att x {{=}} 3 är ett nollställe och en dubbelrot.
+Ekvationen kan även skrivas på formen <math> (x-3)^2 = 0</math>
+}}
 {{uppgruta|
-Här ska vi också [[repetera kvadreringsreglerna]] med ett lösblad.
+Här ska vi också '''[[repetera kvadreringsreglerna]]''' med ett lösblad.
+Du ska även kunna kvadreringsreglerna baklänges.
+Exempel:
+: '''1+2x+x<sup>2</sup>''' {{=}} (1+x)<sup>2</sup>
+Testa nu om du kan kvadratern med kvadreingsregeln baklänges!
+# '''4+8x+4x<sup>2</sup>'''{{=}}
+# '''4-12x+9x<sup>2</sup>'''{{=}}
+# '''64+144x+81x<sup>2</sup>'''{{=}}
+# '''0.25-10x+100x<sup>2</sup>'''{{=}}
+# '''a<sup>2</sup>-2ab+b<sup>2</sup>'''{{=}}
+# '''a<sup>2</sup>+2abx+b<sup>2</sup>x<sup>2</sup>'''{{=}}
+# '''0.16a<sup>2</sup>+2.4ax+9x<sup>2</sup>'''{{=}}
+# '''9y<sup>2</sup>-12x<sup>2</sup>y+4x<sup>4</sup>'''{{=}}
+}}
+=== Uppdelning i faktorer utan konjugat- eller kvadreringsreglerna ===
+Det är ofta lätt att hur ett polynom av andra graden (andragradsfunktion) kan faktoriseras med hjälp av konjugat- eller kvadreringsreglerna men det går att faktorisera många andra polynom av andra graden men ekvationens form blir då <math> (x-a)(x-b) = 0 </math> och rötterna är a respektive b. Det motsvara fallen då andragradsfunktionen inte är symmetrisk med y-axeln.
+{{exruta|
+Ekvationen
+: <math> x^2 -x -6 = 0 </math>
+kan skrivas som
+: <math> (x+2)(x-3) = 0 </math>
+Rötterna är : <math> x= -2</math> och <math>x=3 </math>
+Observera den negativa roten. Faktorn : <math> (x+2) = 0 </math> om <math> x= -2 </math>
 }}
-== Aktivitet ==
+= Anteckningar =
+<pdf>Fil:Andragradsfunktioner.pdf </pdf>
+= Aktivitet =
-=== En tänkvärd övning i GeoGebra ===
+=== Tempot är viktigt ===
+Om du gör ett prov kanske det innehåller 12 uppgifter som du ska göra på en timme. Några uppgifter är lätta och går fort men några andra kräver mycket mer tid. Det ger oss anledning att fundera över hur fort man bör kunna lösa uppgifter. En rimlig hastighet är att du löser cirka 20 uppgifter per timme om uppgifterna är lagom svåra. Det innebär i snitt tre minuter per uppgift.
+{{uppgruta| '''Se om du kan göra en uppgift på tre minuter'''
+Välj en uppgift i Kunskapsmatrisen på den betygsnivå som ligger nära det betyg du hade i Ma1c.
+Se om du kan göra uppgiften på tre minuter. Din lärare tar tid. Du ska redovisa din lösning iinom de tre minutrarna.
+}}
+=== Allt du behöver veta om andragradsfunktionens graf ===
+{{uppgruta| '''Studera GeoGebran'''
+Den här GeoGebran är fullmatad med information. Titta igenom den och fundera vad allting betyder och hur det hänger ihop.
+Låtsas att du spelar in en film och agera speaker till filmen men du behöver inte säga dina meningar högt. Tänk dem i huvudet.
+'''Om''' du behöver visa begrepps- eller kommunikationsförmåga är du välkommen att spela in en film och lämna till din lärare. Du kan peka på grafen och de markerade punkterna och orden och förklara samtidigt. om du är duktig kan du börja med grafen och sedan klicka för att visa en sak i taget.
+}}
 <html>
-<iframe scrolling="no" title="Ekvationslösning övning" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/xaRvBMVH/width/1410/height/701/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="1410px" height="701px" style="border:0px;"> </iframe>
+<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/xTnwQDZs/width/1002/height/706/border/888888" width="1002px" height="706px" style="border:0px;"> </iframe>
 </html>
-== Lär mer ==
+''Av Jonas Hall.''
+= Lär mer =
 {| align=right
@@ Rad 56: / Rad 158: @@
 | {{sway | [https://sway.com/EfIfdQgnpniHJO2e?ref{{=}}Link Nollställen]}}<br />
 |-
-| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/10490255-dbf1-4a4d-89a1-2685d72235b5 Andragradsfunktioner] }}<br />
+| {{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Rot_(till_ekvation)#Nollst%C3%A4lle Nollställe] }}<br />
 |-
-| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/funktioner-och-grafer/funktionsbegreppet Funktionsbegreppet] }}<br />
+| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/funktioner-och-grafer/potensfunktioner Potensfunktioner] }}<br />
 |}
+{{uppgruta|Gör denna diagnos på ekvationssystem
+[[Media:Veckodiagnos_19.pdf| Veckodiagnos 19 om andragradsfunktioner ]]
+[[Media:Veckodiagnos_21.pdf| Veckodiagnos 21 om andragradsfunktioners egenskaper ]]
+}}
+=== Många andra Geogebras ===
+[[Testa dina kunskaper om andragradsfunktioner]]
+Bland annat Jonas Halls GGB med allt man behöver veta om andragradsfunktionens graf. ''Bör rensas och infogas på denna sida.''
 {{clear}}
 == Exit ticket ==
+=== Kahoot ===
+Det är lämpligt att testa kunskaperna både före och efter att vi övat oss. Då ser man resultat av ansträngning.
+{{kahoot | [https://play.kahoot.it/#/k/06d7e767-e4c7-43d1-840d-29f28ea73c1e Kahooten är här.] }}
+<headertabs />

Nollställe: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 26 februari 2020 kl. 18.36

Andragradsekvationer och rötter

Faktorisering och nollproduktsmetoden

Uppdelning i faktorer med konjugatregeln

Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna

Uppdelning i faktorer utan konjugat- eller kvadreringsreglerna

Tempot är viktigt

Allt du behöver veta om andragradsfunktionens graf

Många andra Geogebras

Exit ticket

Kahoot

Navigeringsmeny

Sök