Räta linjen Ma2c: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(68 mellanliggande sidversioner av 2 användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__
=Teori=
{{malruta | Räta linjen
{{malruta | Räta linjen


Rad 4: Rad 7:
: Begreppet kurva, '''räta linjens''' och parabelns '''ekvation''' samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.  
: Begreppet kurva, '''räta linjens''' och parabelns '''ekvation''' samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.  


Detta avsnitt kommer att behandlas genom fem perspektiv (på fem lektioner):
Detta avsnitt kommer att behandla:
* Repetition och problemlösning
* Repetition och problemlösning
* Att hitta k och m (algebraiskt)
* Att hitta k och m (algebraiskt)
* Riktningskoefficienten
* Riktningskoefficienten
* Parallella och vinkelräta linjer
* Parallella och vinkelräta linjer
* Avståndsformeln och mittpunktsformeln
}}  
}}  


== Teori ==
I Matte 1-kursen har vi använt oss av räta linjens ekvation för att beskriva vissa typer av samband. I det här avsnittet ska vi repetera grunderna för linjära funktioner och även bygga vidare på det genom att titta på parallella och vinkelräta linjer.


=== Repetition och problemlösning ===
===Grafiskt===


* [http://www.geogebra.se/ma_b/funktioner/lutning_vl/lutning_vlg_t.html Lutning på GeoGebra.se]
====Hur ser ekvationen ut för linjen i bilden?====
* [http://www.geogebrainstitut.se/resurser/ggb/taxi.ggb taxifärd] från Geogebrainstitutet
* [http://www.geogebrainstitut.se/resurser/ggb/linear_function_sliders.ggb linjär funktion med glidare] från Geogebrainstitutet


==== Hur ser ekvationen ut för linjen i bilden? ====
En rät linje går mellan punkterna.


En rät linje går mellan punkterna.
#Vad har linjen för lutning? '''k-värdet'''
# Vad har linjen för lutning? '''k-värdet'''
#Vad betyder et att k är negativt
# Vad betyder et att k är negativt
#Var skär den y-axeln? '''m-värdet'''
# Var skär den y-axeln? '''m-värdet'''
#Skriv räta linjens ekvation på formen y = kx + m
# Skriv räta linjens ekvation på formen y = kx + m


<html>
<html>
Rad 32: Rad 31:
</html>
</html>


=== Beräkna k och m algebraiskt ===
===Beräkna k och m algebraiskt===


hur gör man för att ta fram räta linjens ekvation?
hur gör man för att ta fram räta linjens ekvation?
Rad 50: Rad 49:
En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.
En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.


==== Hitta k  ====
===Riktningskoefficienten===


Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:
Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:


[[File:Slope picture.svg|thumb|Slope picture]]
{{#ev:youtube|vzkUI5W2sZQ |400|right}}
{{defruta|'''<big>Riktningskoefficienten</big>'''
<br />


: <math> k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>
: <math> k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>
}}
http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-4.png
http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-3.png
{{clear}}


==== Hitta m ====
===Hitta m===


Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.
Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.
Rad 63: Rad 76:
m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.
m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.


: <math> y = kx + m </math>
:<math> y = kx + m </math>


Då är det ju bara m som är obekant.
Då är det ju bara m som är obekant.


{{exruta|'''<big>Bestäm m</big>'''
Använd y = kx + m oxg sätt in koordinaterna för en punkt samt värdet för k. Lös ut m i ekvationen.
: <math> k = 2 </math> och en punkt är  <math> (3,5)</math>
{{clear}}


Sätter man in värdena så får man:
===Parallella och vinkelräta linjer===


: <math> 5 = 2 * 3 + m </math>
{{#ev:youtube|nZuko8vyVs4|400|right}}


Vilket ger:
====Parallella linjer====
[[File:Parallel Lines.svg|thumb|Parallel Lines]]


: <math> m=  5 -2 * 3  </math>
{{egenskaper|
Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.


: <math> m= 5 -6  </math>
: <math> k_1 = k_2 </math>
 
: <math> m=  -1  </math>
 
Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som
 
: <math> y=  2 x - 1 </math>
}}
}}
{{clear}}
{{clear}}


=== Riktningskoefficienten ===
====Vinkelräta linjer====
   
   
{{lm2c|Riktningskoefficienten|102 - 104}}
{{egenskaper|
Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.
 
: <math> k_1 \cdot k_2= -1  </math>
}}


[[File:Slope picture.svg|thumb|Slope picture]]
<html>
<iframe scrolling="no" title="Vinkelräta linjer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Hswgg3c7/width/506/height/568/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="506px" height="568px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
{{clear}}


{{#ev:youtube|vzkUI5W2sZQ |400|right}}
=Exempel=


{{defruta|'''<big>Riktningskoefficienten</big>'''
===Bestäm k-värdet===
<br />


: <math> k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>
}}
{{exruta|<big>Bestäm k</big>
{{exruta|<big>Bestäm k</big>


Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1.2) och (4.-3)
Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1,2) och (4,-3)


Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan:
Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan:
Rad 110: Rad 123:
}}
}}


===Hitta m===
{{exruta|'''<big>Bestäm m</big>'''
: <math> k = 2 </math> och en punkt är  <math> (3,5)</math>
Sätter man in värdena så får man:
: <math> 5 = 2 * 3 + m </math>
Vilket ger:
: <math> m=  5 -2 * 3  </math>
: <math> m=  5 -6  </math>
: <math> m=  -1  </math>


http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-4.png
Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som


http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-3.png
: <math> y=  2 x - 1  </math>
}}


{{clear}}
===Problemlösning===


{{exruta| '''Billig städning + uträkning till exemplet'''
{{exruta| '''Billig städning + uträkning till exemplet'''
Rad 137: Rad 167:
}}
}}


=== Parallella och vinkelräta linjer ===
=== Exempeluppgift ===
{{Lm2c|Parallella och vinkelräta linjer|110- 112}}
{{#ev:youtube|nZuko8vyVs4|400|right}}


==== Parallella linjer ====
<pdf>Fil:1240_lösning.pdf</pdf>
[[File:Parallel Lines.svg|thumb|Parallel Lines]]


{{defruta|
=== Exempeluppgift 2 ===
Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.


: <math> k_1 = k_2  </math>
<pdf>Fil:16170.pdf</pdf>
}}
{{clear}}


==== Vinkelräta linjer ====
=Bevis=
{{defruta|
Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.


: <math> k_1 \cdot k_2= -1 </math>
Bevis för att vinkelräta linjer innebär att <math>k_1 \cdot k_2 = -1 </math>
}}


<html>
<html>
<iframe scrolling="no" title="Vinkelräta linjer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Hswgg3c7/width/506/height/568/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="506px" height="568px" style="border:0px;"> </iframe>
<iframe scrolling="no" title="vinkelräta linjer Bevis" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/u4dgqnck/width/608/height/379/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="608px" height="379px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
</html>
{{clear}}


=== Avståndsformeln och mittpunktsformeln===
Om det är 90<sup>o</sup> mellan linjerna så gäller att:
{{#ev:youtube |FY6G0-ByfrA | 400 |right|Avståndsformeln}}
 
:<math>\alpha = \beta </math>
 
Då är enligt figuren (likformighet eller tangens)
 
:<math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d} </math> (1)
 
Förhållandet mellan sträckorna a/b och c/d ger oss riktingskoeficienterna <math> k_1</math> och <math> k_2</math>
 
:<math>k_1  = \frac{a}{b} </math>
 
och


{{defruta| '''Avståndsformeln'''
:<math>k_2 = - \frac{d}{c} </math> eller omskrivet <math>-\frac{1}{k_2} =  \frac{c}{d} </math>


Avståndsformeln används för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Den bygger på Pythagoras sats.
Om vi jämför med formel (1) ovan ser vi att


Avståndet d mellan två punkter i ett koordinatsystem, (x1, y1) och (x2, y2) kan skrivas
:<math>k_1  = -1 \cdot \frac{1}{k_2} </math>


: <math> d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} </math>
om vi skriver om det har vi den trevligare formen


}}
:<math>k_1 \cdot k_2  = -1 </math>


{{clear}}
:V.S.B.


{{#ev:youtube|EhRbyxoD6Io|340|right}}
=Bevis 2=


[[Bild:Mittpunktsformeln.png|thumb|200px|"P1" är punkten 1, "P2" är punkten 2, och "M" visar var exakt var mitten av punkterna P1 och P2 är. Bilden är tagen från Wikipedia.]]
<html>
<iframe scrolling="no" title="Vinkelräta linjer Bevis 2" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fdeedscj/width/1368/height/738/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1368px" height="738px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>


{{defruta| '''Mittpunktsformeln'''
= Genomgång =


'''[http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln Mittpunktsformeln]''' är en mattematisk ekvation.
Här tas enpunktsformeln upp. Den är praktisk men inte nödvändig. Den står inte i formelsamlingen.


Två punkter P1 och P2 som kan ligga precis var som helst i ett  kordinatsystem, med hjälp av mittpunktsformeln bestämma punkten mitt emellan Punkt1 och Punkt2 som har benämningen M.
{{defruta| '''Enpunktsformeln'''


: Punkterna (x_1,y_1) och (x_2,y_2)
<math> y-y_1 = k(x-x_1) </math>
: har mittpunkten <math>(x_M,y_M)= (\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})</math>
}}
}}
[http://www.youtube.com/watch?v=EhRbyxoD6Io Förklaras i videon]


{{exruta|'''Exmepel på problem'''
<pdf>Fil:Enpunktsformeln.pdf</pdf>
 
=GeoGebra=


Du har två punkter (1, -2) och (-3, 5), hitta mittpunkten av de två punkterna med hjälp av [http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln mittpunktsformeln].
{{GGB | Räta linjens ekvation


'''Lösning'''
[https://www.geogebra.org/m/f2DPJXwa Exempel i GGB där du kan ändra och flytta lnjen med glidare]
: <math> (x_m,y_m) = (\frac{1+(-3)}{2}), \frac{-2+5}{2}) = (-1, \frac{3}{2})  </math>
}}
}}


=== Allmän form (linjens ekvation) ===
=Laboration=
{{svwp |injär_ekvation }}
 
Vi ska göra en laboration med ett snöre. Ett snöre per person.
 
'''Ställ upp en modell för snörets längd som funktion av antalet knutar.'''
 
Följdfrågor
 
#Hur lång är en knut?
#Vilken definnitions- respektive värdemängd har modellen?
 
Rdovisa dina mätdata i tabeller och grafer samt skriv en redogörelse för modellens giltighet och felkällor. Använd Excel.
 
=Uppgifter=
 
===Obligatoriska uppgifter===
 
====Är linjen rät?====
 
Ligger punkterna (243,7), (244,18) och (250,84) på en rät linje?
 
====Vinkelräta linjer====
 
Bestäm funktionen för den räta linje som är vinkelrät mot linjen y = 0.25 x + 12 och skär x-axeln för x = 5.


{{lm2c|allmänn form|113- 115}}
===Interaktiv övning i GeoGebra===


En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:
{{GGB|[https://www.geogebra.org/m/CyNsYTKg  Interaktiv övning]}}


: <math> Ax + By + C = 0\,</math>
===Bra uppgifter===
eller på standardform:


: <math> A x +By = C.\,</math>
{{khanruta|[https://www.khanacademy.org/math/algebra/two-var-linear-equations/forms-of-two-var-linear-equations/e/writing-the-equation-of-a-line-in-any-form Räta linjens ekvation] }}
Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt (x_0, y_0) på linjen kan man skriva den på enpunktsform:


: <math> y-y_0 = k(x-x_0)\,</math>
*[[Typtal räta linjens ekvation]]. Grundläggande begrepp som lutning och m-värde.


== Aktiviteter för flera lektioner ==
===Repetion och enklare uppgifter===
=== Repetition och problemlösning ===


'''''Kort repetition'''''
*[http://olleh.se/start/frageprogramMa2.php OlleH]
*[[Typtal_räta_linjens_ekvation | Typtal räta linjens ekvation]]


{{GGB|[http://www.geogebratube.org/student/m36967 Interaktiv övning]}}
=Aktiviteter=
===Repetition och problemlösning===


'''''Problemlösning - Diskutera'''''
'''''Problemlösning - Diskutera'''''
Rad 246: Rad 298:
}}
}}


=== Att hitta k och m (algebraiskt) ===
===Att hitta k och m (algebraiskt)===


{{uppgruta|
{{uppgruta|
Rad 258: Rad 310:
}}
}}


==== Latex-tips ====
====Latex-tips====


<pre>
<pre>
Rad 266: Rad 318:
</pre>
</pre>


=== Riktningskoefficienten ===
===Riktningskoefficienten===


{{GGB|[https://www.geogebra.org/m/WHxmVN3F Slope]
{{GGB|[https://www.geogebra.org/m/WHxmVN3F Slope]
Rad 273: Rad 325:
}}
}}


=== Parallella och vinkelräta linjer ===
===Parallella och vinkelräta linjer===
{{uppgfacit|Bevis vinkelräta linjer
{{uppgfacit|Bevis vinkelräta linjer
Bevisa sambandet <math> vinkelräta linjer \Leftrightarrow k_1 * k_2 = -1</math> genom att:
Bevisa sambandet <math> vinkelräta linjer \Leftrightarrow k_1 * k_2 = -1</math> genom att:
Rad 281: Rad 333:
{{clear}}
{{clear}}
|
|
[[Fil: Perp solution low.jpg |600px|right]]
[[Fil: Bevis.png |600px|right]]
{{clear}}
{{clear}}
}}
}}


=== Avståndsformeln och mittpunktsformeln ===
=Python=


Om du behöver repetera och göra uppgifter så går det bra.
===Programmering - räta linjens k- och m-värde===


{{uppgruta| '''Skriv ett snyggt bevis'''
{{python|[[Räta_linjen_med_Python|Räta linjen med Python]]}}
 
{{clear}}
<html>
<span class="texhtml" style="font-family: 'CMU Serif', cmr10, LMRoman10-Regular, 'Nimbus Roman No9 L', 'Times New Roman', Times, serif;">L<span style="text-transform: uppercase; font-size: 70%; margin-left: -0.36em; vertical-align: 0.3em; line-height: 0; margin-right: -0.15em;">a</span>T<span style="text-transform: uppercase; margin-left: -0.1667em; vertical-align: -0.5ex; line-height: 0; margin-right: -0.125em;">e</span>X</span>.
</html>
 
Om ni är fyra i en grupp kan ni skapa beviset för vinkelräta linjer genom att två visat från vänster till höger och de andra två från höger till vänster. Lämplig uppdelning inom ett par är att en gör en GeoGebra och den andre skriver beviset i <math> LaTeX </math>
}}
 
{{uppgruta| '''Extra uppgift [[Pi-dagen]]'''}}


== Lär mer ==
=Lär mer=


{| align=right
{| align="right"
|-
|-
| {{sway | [https://sway.com/5BPdtYUg573T9wcC?ref{{=}}Link Räta linjen]}}<br />
|{{sway | [https://sway.com/5BPdtYUg573T9wcC?ref{{=}}Link Räta linjen]}}<br />
|-
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/5b65617b-1cca-4c59-98f6-ed706321c9e1  Räta linjen] }}<br />
|{{wplink| [http://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4r_ekvation Ekvation] }}<br />
|-
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/linjara-funktioner-och-ekvationssystem/linjara-funktioner  Linjära funktioner] }}<br />
|{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/linjara-funktioner-och-ekvationssystem/linjara-funktioner  Linjära funktioner] }}<br />
|}
|}


{{khanruta|[https://www.khanacademy.org/math/algebra/two-var-linear-equations/forms-of-two-var-linear-equations/e/writing-the-equation-of-a-line-in-any-form Räta linjens ekvation] }}
===Allmän form (linjens ekvation)===
 
{{svwp |injär_ekvation }}
 
En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:
 
:<math> Ax + By + C = 0\,</math>


* [[Typtal räta linjens ekvation]]. Grundläggande begrepp som lutning och m-värde.
eller på standardform:
* Häfte med enkla uppgifter på y=kx+m som heter '''Övningsblad räta linjens ekvation'''. Finns bara på min dator. Jag har delat ut det.
* Två sidor med '''Blandade svåra uppgifter på räta linjen'''. Även dessa är från Uppgiftsbanken och (c). Därför finns filen på min dator men kan skrivas ut vid behov.
* [http://www.malinc.se/math/functions/slopesv.php MalinC förklarar Räta linjen] Här finns det '''bra förklaringar''' och en del övningar. jag kan rekommendera fler delar av hemsidan. Sök efter sånt som har med vårt kapitel att göra.
* En laboration om '''knutar på ett snöre''' från sid 109 i boken.
* En '''stencil''' med två räta linjen där du gör en värdetabell, en graf och en ekvation. Tre representationer alltså.


=== Repetion och enklare uppgifter ===
:<math> A x +By = C.\,</math>


{{GGB | Räta linjens ekvation
===Enpunktsformen===


[http://www.geogebratube.org/student/m23581 Exempel i GGB där du kan ändra och flytta lnjen med glidare]
Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt <math>(x_0, y_0)</math> på linjen kan man skriva den på enpunktsform:
}}
* [http://olleh.se/start/frageprogramMa2.php OlleH]
* [[Typtal_räta_linjens_ekvation | Typtal räta linjens ekvation]]


=== Problemlösning ===
:<math> y-y_0 = k(x-x_0)\,</math>


==== Klurig läxa ====
<html>
<iframe scrolling="no" title="Enpunktsformeln" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/rkvwghd5/width/655/height/376/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="655px" height="376px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>


[[Kluring_läxa:_Tristan_och_Isolde|Tristan och Isolde]]
==Problemlösning==


=== Hitta k och m ===
*[[Kluring_läxa:_Tristan_och_Isolde|Tristan och Isolde]]
*[http://www.malinc.se/math/functions/slopesv.php MalinC förklarar Räta linjen] Här finns det '''bra förklaringar''' och en del övningar. jag kan rekommendera fler delar av hemsidan. Sök efter sånt som har med vårt kapitel att göra.


* http://www.youtube.com/watch?v=obtLcSrvE_Y
===Hitta k och m===
* http://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4r_ekvation


===  Riktningskoefficienten ===
*http://www.youtube.com/watch?v=obtLcSrvE_Y


=== Parallella och vinkelräta linjer ===
===Riktningskoefficienten===


: [http://www.malinc.se/math/functions/perpendicularlinessv.php Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D. ]
===Parallella och vinkelräta linjer===
: [http://mathbits.com/GeometryBits/Slope%20Criteria%20for%20Perpendicular%20Lines.pdf Bevis på engelska om vinkelräta linjer]. Observera att amerikaner använder m i stället för k!


===  Mittpunktsformeln ===
:[http://www.malinc.se/math/functions/perpendicularlinessv.php Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D.]
:[http://mathbits.com/GeometryBits/Slope%20Criteria%20for%20Perpendicular%20Lines.pdf Bevis på engelska om vinkelräta linjer]. Observera att amerikaner använder m i stället för k!


* [http://www.khanacademy.org/exercise/midpoint_formula Khan Acadamy]
==Exit ticket==


== Exit ticket ==
<headertabs />

Nuvarande version från 14 april 2020 kl. 09.15

[redigera]
Mål för undervisningen Räta linjen

Centralt innehåll:

Begreppet kurva, räta linjens och parabelns ekvation samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.

Detta avsnitt kommer att behandla:

  • Repetition och problemlösning
  • Att hitta k och m (algebraiskt)
  • Riktningskoefficienten
  • Parallella och vinkelräta linjer


I Matte 1-kursen har vi använt oss av räta linjens ekvation för att beskriva vissa typer av samband. I det här avsnittet ska vi repetera grunderna för linjära funktioner och även bygga vidare på det genom att titta på parallella och vinkelräta linjer.

Grafiskt

Hur ser ekvationen ut för linjen i bilden?

En rät linje går mellan punkterna.

  1. Vad har linjen för lutning? k-värdet
  2. Vad betyder et att k är negativt
  3. Var skär den y-axeln? m-värdet
  4. Skriv räta linjens ekvation på formen y = kx + m

Beräkna k och m algebraiskt

hur gör man för att ta fram räta linjens ekvation?

Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin linje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y = kx + m.

Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.

Definition
Att hitta räta linjens ekvation

För att rita en rät linje eller för att skriva dess ekvation behöver du antingen:

  1. två punkter på linjen eller
  2. en punkt på linjen och dess lutning


En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.

Riktningskoefficienten

Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:

Slope picture
Load video
YouTube
Definition
Riktningskoefficienten


[math]\displaystyle{ k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} }[/math]


http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-4.png

http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-3.png

Hitta m

Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.

m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.

[math]\displaystyle{ y = kx + m }[/math]

Då är det ju bara m som är obekant.

Använd y = kx + m oxg sätt in koordinaterna för en punkt samt värdet för k. Lös ut m i ekvationen.

Parallella och vinkelräta linjer

Load video
YouTube

Parallella linjer

Parallel Lines
Egenskaper

Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.

[math]\displaystyle{ k_1 = k_2 }[/math]

Vinkelräta linjer

Egenskaper

Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.

[math]\displaystyle{ k_1 \cdot k_2= -1 }[/math]


[redigera]

Bestäm k-värdet

Exempel
Bestäm k

Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1,2) och (4,-3)

Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan:

[math]\displaystyle{ k = \frac {-3-2}{4-1} = \frac{-5}{3} =- \frac {5}{3} }[/math]


Hitta m

Exempel
Bestäm m
[math]\displaystyle{ k = 2 }[/math] och en punkt är [math]\displaystyle{ (3,5) }[/math]

Sätter man in värdena så får man:

[math]\displaystyle{ 5 = 2 * 3 + m }[/math]

Vilket ger:

[math]\displaystyle{ m= 5 -2 * 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ m= 5 -6 }[/math]
[math]\displaystyle{ m= -1 }[/math]

Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som

[math]\displaystyle{ y= 2 x - 1 }[/math]


Problemlösning

Exempel
Billig städning + uträkning till exemplet

Uppgift

Erika anställer en städare och får betala för 4 timmar 450 kr och för 9 timmar 990 kr Erika betalar både grundavgift och en avgift per timme. Hur stor är timpenningen Erika måste betala?

Uträkning

Tänk så här:

Kostnaden ökar med [math]\displaystyle{ 990kr-450kr= 540kr }[/math]

Tiden ökar med [math]\displaystyle{ 9-4= 5 timmar }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{990-450}{9-4} = \frac{540}{5} = 108 kr/timme }[/math]

Avgiften per timme blir[math]\displaystyle{ = 108 kr }[/math]


Exempeluppgift

Exempeluppgift 2

[redigera]

Bevis för att vinkelräta linjer innebär att [math]\displaystyle{ k_1 \cdot k_2 = -1 }[/math]

Om det är 90o mellan linjerna så gäller att:

[math]\displaystyle{ \alpha = \beta }[/math]

Då är enligt figuren (likformighet eller tangens)

[math]\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} }[/math] (1)

Förhållandet mellan sträckorna a/b och c/d ger oss riktingskoeficienterna [math]\displaystyle{ k_1 }[/math] och [math]\displaystyle{ k_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ k_1 = \frac{a}{b} }[/math]

och

[math]\displaystyle{ k_2 = - \frac{d}{c} }[/math] eller omskrivet [math]\displaystyle{ -\frac{1}{k_2} = \frac{c}{d} }[/math]

Om vi jämför med formel (1) ovan ser vi att

[math]\displaystyle{ k_1 = -1 \cdot \frac{1}{k_2} }[/math]

om vi skriver om det har vi den trevligare formen

[math]\displaystyle{ k_1 \cdot k_2 = -1 }[/math]
V.S.B.
[redigera]

Här tas enpunktsformeln upp. Den är praktisk men inte nödvändig. Den står inte i formelsamlingen.

Definition
Enpunktsformeln

[math]\displaystyle{ y-y_1 = k(x-x_1) }[/math]


[redigera]

Geogebra Undersök med Geogebra-applet: Räta linjens ekvation

Exempel i GGB där du kan ändra och flytta lnjen med glidare


[redigera]

Vi ska göra en laboration med ett snöre. Ett snöre per person.

Ställ upp en modell för snörets längd som funktion av antalet knutar.

Följdfrågor

  1. Hur lång är en knut?
  2. Vilken definnitions- respektive värdemängd har modellen?

Rdovisa dina mätdata i tabeller och grafer samt skriv en redogörelse för modellens giltighet och felkällor. Använd Excel.

[redigera]

Obligatoriska uppgifter

Är linjen rät?

Ligger punkterna (243,7), (244,18) och (250,84) på en rät linje?

Vinkelräta linjer

Bestäm funktionen för den räta linje som är vinkelrät mot linjen y = 0.25 x + 12 och skär x-axeln för x = 5.

Interaktiv övning i GeoGebra

Geogebra Undersök med Geogebra-applet: Interaktiv övning


Bra uppgifter

Öva på Khan: Räta linjens ekvation


Repetion och enklare uppgifter

[redigera]

Repetition och problemlösning

Problemlösning - Diskutera

Jobba själv

Uppgift: Kostnaden för att hyra skidor i Romme

1. Priset för en vuxen att hyra skidutrustning under en dag är 290 kr. Om man hyr i fem dagar kostar det 910 kr. Gör en modell för detta och beräkna priset per dag och den eventuella startkostnaden. Redovisa en ekvation för priset som funktion av antalet dagar.

2. Gå in på länken nedan och studera priserna. Rita grafer. Är priset en linjär funktion av tiden? http://www.rommealpin.se/priser-1__1053

Facit: (klicka expandera till höger)

Se ett diagram över Rommepriserna 2007 här.

Ser du något som kunde gjorts bättre när det gäller skalan på x-axeln.



Att hitta k och m (algebraiskt)

Uppgift

En linje går genom punkterna (-3,4) och (5,-2).

Bestäm räta linjens ekvation.

Ta nu fram ett eget exempel (med lösning) där man bestämmer räta linjens ekvation när man känner två punkter.

Prova att skriv det i Latex på din användarsida i Wikiskola.


Latex-tips

<math>
\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot 
</math>

Riktningskoefficienten

Geogebra Undersök med Geogebra-applet: Slope

Tim Brzezinski (GeoGebra-guru) har skapat en GeoGebrabok med 22 övningar. Bläddra igenom dem och gör till exempel Quiz 1-3.


Parallella och vinkelräta linjer

Uppgift: Bevis vinkelräta linjer

Bevisa sambandet [math]\displaystyle{ vinkelräta linjer \Leftrightarrow k_1 * k_2 = -1 }[/math] genom att:

  1. Visa om vinkelräta linjer [math]\displaystyle{ \Rightarrow k_1 * k_2 = -1 }[/math]
  2. Visa om [math]\displaystyle{ k_1 * k_2 = -1 \Rightarrow }[/math] vinkelräta linjer

Facit: (klicka expandera till höger)



[redigera]

Programmering - räta linjens k- och m-värde

Programmeringsuppgift

Räta linjen med Python

[redigera]
Swayen till detta avsnitt: Räta linjen


Wikipedia Ekvation


Läs om Linjära funktioner


Allmän form (linjens ekvation)

Wikipedia skriver om injär_ekvation

En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:

[math]\displaystyle{ Ax + By + C = 0\, }[/math]

eller på standardform:

[math]\displaystyle{ A x +By = C.\, }[/math]

Enpunktsformen

Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt [math]\displaystyle{ (x_0, y_0) }[/math] på linjen kan man skriva den på enpunktsform:

[math]\displaystyle{ y-y_0 = k(x-x_0)\, }[/math]

Problemlösning

Hitta k och m

Riktningskoefficienten

Parallella och vinkelräta linjer

Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D.
Bevis på engelska om vinkelräta linjer. Observera att amerikaner använder m i stället för k!

Exit ticket

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Räta_linjen_Ma2c&oldid=54343”