Räta linjen Ma2c: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(114 mellanliggande sidversioner av 3 användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__
=Teori=
{{malruta | Räta linjen
{{malruta | Räta linjen


Rad 4: Rad 7:
: Begreppet kurva, '''räta linjens''' och parabelns '''ekvation''' samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.  
: Begreppet kurva, '''räta linjens''' och parabelns '''ekvation''' samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.  


Detta avsnitt kommer att behandlas genom fem perspektiv (på fem lektioner):
Detta avsnitt kommer att behandla:
* Repetition och problemlösning
* Repetition och problemlösning
* Att hitta k och m (algebraiskt)
* Att hitta k och m (algebraiskt)
* Riktningskoefficienten
* Riktningskoefficienten
* Parallella och vinkelräta linjer
* Parallella och vinkelräta linjer
* Avståndsformeln och mittpunktsformeln
}}  
}}  


== Teori ==
I Matte 1-kursen har vi använt oss av räta linjens ekvation för att beskriva vissa typer av samband. I det här avsnittet ska vi repetera grunderna för linjära funktioner och även bygga vidare på det genom att titta på parallella och vinkelräta linjer.


=== Repetition och problemlösning ===
===Grafiskt===


* [http://www.geogebra.se/ma_b/funktioner/lutning_vl/lutning_vlg_t.html Lutning på GeoGebra.se]
====Hur ser ekvationen ut för linjen i bilden?====
* [http://www.geogebrainstitut.se/resurser/ggb/taxi.ggb taxifärd] från Geogebrainstitutet
* [http://www.geogebrainstitut.se/resurser/ggb/linear_function_sliders.ggb linjär funktion med glidare] från Geogebrainstitutet


==== Hur ser ekvationen ut för linjen i bilden? ====
En rät linje går mellan punkterna.


En rät linje går mellan punkterna.
#Vad har linjen för lutning? '''k-värdet'''
# Vad har linjen för lutning? '''k-värdet'''
#Vad betyder et att k är negativt
# Vad betyder et att k är negativt
#Var skär den y-axeln? '''m-värdet'''
# Var skär den y-axeln? '''m-värdet'''
#Skriv räta linjens ekvation på formen y = kx + m
# Skriv räta linjens ekvation på formen y = kx + m


<html>
<html>
Rad 32: Rad 31:
</html>
</html>


=== Beräkna k och m algebraiskt ===
===Beräkna k och m algebraiskt===


hur gör man för att ta fram räta linjens ekvation?
hur gör man för att ta fram räta linjens ekvation?


Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin lenje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y = kx + m.
Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin linje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y = kx + m.


Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.
Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.
Rad 50: Rad 49:
En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.
En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.


==== Hitta k  ====
===Riktningskoefficienten===


Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:
Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:


[[File:Slope picture.svg|thumb|Slope picture]]
{{#ev:youtube|vzkUI5W2sZQ |400|right}}
{{defruta|'''<big>Riktningskoefficienten</big>'''
<br />


: <math> k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>
: <math> k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>
}}
http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-4.png
http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-3.png
{{clear}}


==== Hitta m ====
===Hitta m===


Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.
Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.
Rad 63: Rad 76:
m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.
m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.


: <math> y = kx + m </math>
:<math> y = kx + m </math>


Då är det ju bara m som är obekant.
Då är det ju bara m som är obekant.
Använd y = kx + m oxg sätt in koordinaterna för en punkt samt värdet för k. Lös ut m i ekvationen.
{{clear}}
===Parallella och vinkelräta linjer===
{{#ev:youtube|nZuko8vyVs4|400|right}}
====Parallella linjer====
[[File:Parallel Lines.svg|thumb|Parallel Lines]]
{{egenskaper|
Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.
: <math> k_1 = k_2  </math>
}}
{{clear}}
====Vinkelräta linjer====
{{egenskaper|
Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.
: <math> k_1 \cdot k_2= -1  </math>
}}
<html>
<iframe scrolling="no" title="Vinkelräta linjer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Hswgg3c7/width/506/height/568/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="506px" height="568px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
{{clear}}
=Exempel=
===Bestäm k-värdet===
{{exruta|<big>Bestäm k</big>
Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1,2) och (4,-3)
Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan:
: <math> k = \frac {-3-2}{4-1} = \frac{-5}{3} =- \frac {5}{3} </math>
}}
===Hitta m===


{{exruta|'''<big>Bestäm m</big>'''
{{exruta|'''<big>Bestäm m</big>'''
Rad 86: Rad 144:
: <math> y=  2 x - 1  </math>
: <math> y=  2 x - 1  </math>
}}
}}
{{clear}}


[[Fil:FuncionLineal04.svg|right|340px]]
===Problemlösning===


        K = lutningen. Man kan räkna ut K om man har två koordinater t ex x1-x2/y1-y2 = K
{{exruta| '''Billig städning + uträkning till exemplet'''
        M = Var linjen skär y-axeln
        Exempel uträkning med koordinater.
        (-1,1) (1,5)
        y= valfri Y-koordinat, vi väljer 5. Formeln blir då 5=kx+m
        vi räknar ut k
        k=(x1-x2)/(y1-y2)= 5-1/1-(-1) = 4/2 = 2, k=2. Formeln blir då 5 = 2x+m
        x = 1. Formeln blir: 5 = 2*1+m. Tar bort 2 på båda sidor.
        M= 3


=== Riktningskoefficienten ===
'''Uppgift'''
{{lm2c|Riktningskoefficienten|102 - 104}}


[[File:Slope picture.svg|thumb|Slope picture]]
Erika anställer en städare och får betala för ''4 timmar 450 kr'' och för ''9 timmar 990 kr''
Erika betalar både grundavgift och en avgift per timme. Hur stor är timpenningen Erika måste betala?


{{#ev:youtube|vzkUI5W2sZQ |400|right}}
'''Uträkning'''


{{defruta|'''<big>Riktningskoefficienten</big>'''
Tänk så här:
<br />


: <math> k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>
Kostnaden ökar med <math>990kr-450kr= 540kr </math>
}}
{{exruta|<big>Bestäm k</big>


Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1.2) och (4.-3)
Tiden ökar med <math>9-4= 5 timmar</math>


Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan:
<math>\frac{990-450}{9-4} = \frac{540}{5} = 108 kr/timme</math>


: <math> k = \frac {-3-2}{4-1} = \frac{-5}{3} =- \frac {5}{3} </math>
Avgiften per timme blir<math> = 108 kr</math>
}}
}}


=== Exempeluppgift ===
<pdf>Fil:1240_lösning.pdf</pdf>


http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-4.png
=== Exempeluppgift 2 ===


http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-3.png
<pdf>Fil:16170.pdf</pdf>


=Bevis=


''' Definition - räta linjens ekvation'''
Bevis för att vinkelräta linjer innebär att <math>k_1 \cdot k_2 = -1 </math>
:<math> y = kx+m </math>
 
{{clear}}


'''Ett Exempel + uträkning till exemplet'''
<html>
<iframe scrolling="no" title="vinkelräta linjer Bevis" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/u4dgqnck/width/608/height/379/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="608px" height="379px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
</html>


'''Fråga 1'''
Om det är 90<sup>o</sup> mellan linjerna så gäller att:


Erika anställer en städslav och får betala för ''4 timmar 450 kr'' och för ''9 timmar 990 kr''
:<math>\alpha = \beta </math>
Erika betalar både grundavgift och en avgift per timme. Hur stor är avgiften Erika måste betala?


'''Uträkning till fråga 1'''
Då är enligt figuren (likformighet eller tangens)


Tänk så här:  
:<math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d} </math> (1)


Kostnaden ökar med
Förhållandet mellan sträckorna a/b och c/d ger oss riktingskoeficienterna <math> k_1</math> och <math> k_2</math>
990kr-450kr= 540kr


Tiden ökar med 9-4= 5timmar
:<math>k_1  = \frac{a}{b} </math>
990-450/9-5=540/2= 225


Avgiften per timme blir = 225 kr
och


=== Parallella och vinkelräta linjer ===
:<math>k_2 = - \frac{d}{c} </math> eller omskrivet <math>-\frac{1}{k_2} =  \frac{c}{d} </math>
{{Lm2c|Parallella och vinkelräta linjer|110- 112}}
{{#ev:youtube|nZuko8vyVs4|400|right}}
{{clear}}


==== Parallella linjer ====
Om vi jämför med formel (1) ovan ser vi att
[[File:Parallel Lines.svg|thumb|Parallel Lines]]


Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.
:<math>k_1  = -1 \cdot \frac{1}{k_2} </math>


k<sub>1</sub> = k<sub>2</sub>
om vi skriver om det har vi den trevligare formen


Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.
:<math>k_1 \cdot k_2  = -1 </math>
{{clear}}


==== Vinkelräta linjer ====
:V.S.B.
k<sub>1</sub> * k<sub>2</sub> = -1


<br>
=Bevis 2=


<html>
<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Hswgg3c7/width/506/height/568/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="506px" height="568px" style="border:0px;"> </iframe>
<iframe scrolling="no" title="Vinkelräta linjer Bevis 2" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fdeedscj/width/1368/height/738/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1368px" height="738px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
</html>


=== Avståndsformeln och mittpunktsformeln===
= Genomgång =
{{#ev:youtube |FY6G0-ByfrA | 400 |right|Avståndsformeln}}
 
Här tas enpunktsformeln upp. Den är praktisk men inte nödvändig. Den står inte i formelsamlingen.
 
{{defruta| '''Enpunktsformeln'''
 
<math> y-y_1 = k(x-x_1) </math>
}}
 
<pdf>Fil:Enpunktsformeln.pdf</pdf>
 
=GeoGebra=


Avståndsformeln använs för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Den bygger på Pythagoras sats.
{{GGB | Räta linjens ekvation
{{clear}}
 
[https://www.geogebra.org/m/f2DPJXwa Exempel i GGB där du kan ändra och flytta lnjen med glidare]
}}
 
=Laboration=
 
Vi ska göra en laboration med ett snöre. Ett snöre per person.
 
'''Ställ upp en modell för snörets längd som funktion av antalet knutar.'''


{{#ev:youtube|EhRbyxoD6Io|340|right}}
Följdfrågor


[[Bild:Mittpunktsformeln.png|thumb|200px|"P1" är punkten 1, "P2" är punkten 2, och "M" visar var exakt var mitten av punkterna P1 och P2 är. Bilden är tagen från Wikipedia.]]
#Hur lång är en knut?
#Vilken definnitions- respektive värdemängd har modellen?


'''[http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln Mittpunktsformeln]''' är en mattematisk ekvation.
Rdovisa dina mätdata i tabeller och grafer samt skriv en redogörelse för modellens giltighet och felkällor. Använd Excel.
Två punkter P1 och P2 som kan ligga precis var som helst i
ett  kordinatsystem, med hjälp av mittpunktsformeln bestämma
punkten mitt emellan Punkt1 och Punkt2 som har benämningen M.


'''Definition 1:'''
=Uppgifter=


(X1,Y1) och (X2,Y2)
===Obligatoriska uppgifter===
(Xm,Ym)= (X1+X2/2),(Y1+Y2/2)
[http://www.youtube.com/watch?v=EhRbyxoD6Io Förklaras i videon]
'''Definition 2:'''
Det gick inte att placera definitionen från Wikipedia, eftersom den inte stöds,
gå in på länken och se efter själv:[http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln Wikipedia, Mittpunktsformeln]
O = Origo.
M = Punkten mellan P1 och P2.
P1 = Punkt1.
P2 = Punkt2.


'''Exepel på problem'''
====Är linjen rät?====
Du har två punkter (1, -2) och (-3, 5), hitta mittpunkten av de två punkterna med hjälp
av [http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln mittpunktsformeln].


'''Lösning'''
Ligger punkterna (243,7), (244,18) och (250,84) på en rät linje?
y 1 = -2, x 2 = -3 och y 2 = 5.


=== Allmän form (linjens ekvation) ===
====Vinkelräta linjer====
{{svwp |injär_ekvation }}


{{lm2c|allmänn form|113- 115}}
Bestäm funktionen för den räta linje som är vinkelrät mot linjen y = 0.25 x + 12 och skär x-axeln för x = 5.


En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:
===Interaktiv övning i GeoGebra===


: <math> Ax + By + C = 0\,</math>
{{GGB|[https://www.geogebra.org/m/CyNsYTKg  Interaktiv övning]}}
eller på standardform:


: <math> A x +By = C.\,</math>
===Bra uppgifter===
Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt (x_0, y_0) på linjen kan man skriva den på enpunktsform:


: <math> y-y_0 = k(x-x_0)\,</math>
{{khanruta|[https://www.khanacademy.org/math/algebra/two-var-linear-equations/forms-of-two-var-linear-equations/e/writing-the-equation-of-a-line-in-any-form Räta linjens ekvation] }}


== Aktiviteter för flera lektioner ==
*[[Typtal räta linjens ekvation]]. Grundläggande begrepp som lutning och m-värde.
=== Repetition och problemlösning ===


{{uppgruta| '''Repetition och problemlösning'''
===Repetion och enklare uppgifter===


'''''Repetera'''''
*[http://olleh.se/start/frageprogramMa2.php OlleH]
*[[Typtal_räta_linjens_ekvation | Typtal räta linjens ekvation]]


{{GGB|[http://www.geogebratube.org/student/m36967 Interaktiv övning]}}
=Aktiviteter=
===Repetition och problemlösning===


'''''Problemlösning'''''
'''''Problemlösning - Diskutera'''''


<html>
<html>
<iframe scrolling="no" title="Sätt skala på axlarna" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/nDM74ccY/width/678/height/412/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="678px" height="412px" style="border:0px;"> </iframe>
<iframe scrolling="no" title="Sätt skala på axlarna" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/nDM74ccY/width/678/height/412/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="678px" height="412px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
</html>
}}


'''''Jobba själv'''''
{{uppgfacit|Kostnaden för att hyra skidor i Romme
{{uppgfacit|Kostnaden för att hyra skidor i Romme


Rad 260: Rad 298:
}}
}}


=== Att hitta k och m (algebraiskt) ===
===Att hitta k och m (algebraiskt)===
 
{{uppgruta|
En linje går genom punkterna (-3,4) och (5,-2).
 
Bestäm räta linjens ekvation.
 
Ta nu fram ett eget exempel (med lösning) där man bestämmer  räta linjens ekvation när man känner två punkter.
 
Prova att skriv det i Latex på din användarsida i Wikiskola.
}}
 
====Latex-tips====
 
<pre>
<math>
\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot
</math>
</pre>
 
===Riktningskoefficienten===
 
{{GGB|[https://www.geogebra.org/m/WHxmVN3F Slope]
 
[https://www.geogebra.org/tbrzezinski Tim Brzezinski] (GeoGebra-guru) har skapat en GeoGebrabok med 22 övningar. Bläddra igenom dem och gör till exempel Quiz 1-3.
}}
 
===Parallella och vinkelräta linjer===
{{uppgfacit|Bevis vinkelräta linjer
Bevisa sambandet <math> vinkelräta linjer \Leftrightarrow k_1 * k_2 = -1</math> genom att:
#Visa om vinkelräta linjer  <math> \Rightarrow k_1 * k_2 = -1</math>
#Visa om <math>k_1 * k_2 = -1 \Rightarrow</math>  vinkelräta linjer
[[Fil:Grid perp.png|600px|right]]
{{clear}}
|
[[Fil: Bevis.png |600px|right]]
{{clear}}
}}


=== Riktningskoefficienten ===
=Python=


=== Parallella och vinkelräta linjer ===
===Programmering - räta linjens k- och m-värde===


=== Avståndsformeln och mittpunktsformeln ===
{{python|[[Räta_linjen_med_Python|Räta linjen med Python]]}}
{{clear}}


== Lär mer ==
=Lär mer=


{| align=right
{| align="right"
|-
|-
| {{sway | [https://sway.com/5BPdtYUg573T9wcC?ref{{=}}Link Räta linjen]}}<br />
|{{sway | [https://sway.com/5BPdtYUg573T9wcC?ref{{=}}Link Räta linjen]}}<br />
|-
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/5b65617b-1cca-4c59-98f6-ed706321c9e1  Räta linjen] }}<br />
|{{wplink| [http://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4r_ekvation Ekvation] }}<br />
|-
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/linjara-funktioner-och-ekvationssystem/linjara-funktioner  Linjära funktioner] }}<br />
|{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/linjara-funktioner-och-ekvationssystem/linjara-funktioner  Linjära funktioner] }}<br />
|}
|}


* [[Typtal räta linjens ekvation]]. Grundläggande begrepp som lutning och m-värde.
===Allmän form (linjens ekvation)===
* [http://www.khanacademy.org/exercise/interpreting_linear_equations Khan-övning i att förstå räta linjer.] Den är enkel men det kommer fler med ökande svårighet sedan.
* Häfte med enkla uppgifter på y=kx+m som heter '''Övningsblad räta linjens ekvation'''. Finns bara på min dator. Jag har delat ut det.
* Två sidor med '''Blandade svåra uppgifter på räta linjen'''. Även dessa är från Uppgiftsbanken och (c). Därför finns filen på min dator men kan skrivas ut vid behov.
* [http://www.malinc.se/math/functions/slopesv.php MalinC förklarar Räta linjen] Här finns det '''bra förklaringar''' och en del övningar. jag kan rekommendera fler delar av hemsidan. Sök efter sånt som har med vårt kapitel att göra.
* En laboration om '''knutar på ett snöre''' från sid 109 i boken.
* En '''stencil''' med två räta linjen där du gör en värdetabell, en graf och en ekvation. Tre representationer alltså.


=== Repetion och enklare uppgifter ===
{{svwp |injär_ekvation }}


{{GGB | Räta linjens ekvation  
En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:
 
:<math> Ax + By + C = 0\,</math>


[http://www.geogebratube.org/student/m23581 Exempel i GGB där du kan ändra och flytta lnjen med glidare]
eller på standardform:
}}


* [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-3-och-c/polynom-och-ekvationer/rata-linjens-ekvation Matteboken, Ma3]
:<math> A x +By = C.\,</math>
* [http://olleh.se/start/frageprogramMa2.php OlleH]
* [[Typtal_räta_linjens_ekvation | Typtal räta linjens ekvation]]


=== Problemlösning ===
===Enpunktsformen===


==== Klurig läxa ====
Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt <math>(x_0, y_0)</math> på linjen kan man skriva den på enpunktsform:


[[Kluring_läxa:_Tristan_och_Isolde|Tristan och Isolde]]
:<math> y-y_0 = k(x-x_0)\,</math>


=== Hitta k och m ===
<html>
<iframe scrolling="no" title="Enpunktsformeln" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/rkvwghd5/width/655/height/376/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="655px" height="376px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>


* http://www.youtube.com/watch?v=obtLcSrvE_Y
==Problemlösning==
* http://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4r_ekvation


===  Riktningskoefficienten ===
*[[Kluring_läxa:_Tristan_och_Isolde|Tristan och Isolde]]
* [http://www.theducation.se/natstod/ma-nv/exempel/trana_pa_ekvation_till_rat_linje/ Theeducation]
*[http://www.malinc.se/math/functions/slopesv.php MalinC förklarar Räta linjen] Här finns det '''bra förklaringar''' och en del övningar. jag kan rekommendera fler delar av hemsidan. Sök efter sånt som har med vårt kapitel att göra.
* [http://www.khanacademy.org/exercise/graphing_linear_equations Khan: Graphing linear Equations]
* [http://www.khanacademy.org/exercise/line_graph_intuition Intuitiv Khan]


=== Parallella och vinkelräta linjer ===
===Hitta k och m===
http://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/funktioner/linjara-funktioner-y-=-kx-plus-m


Ytterligare en sida för dej som fortfarande inte förstår vad det handlar om.
*http://www.youtube.com/watch?v=obtLcSrvE_Y


http://www.malinc.se/math/functions/perpendicularlinessv.php
===Riktningskoefficienten===


Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D.  c:
===Parallella och vinkelräta linjer===


===  Mittpunktsformeln ===
:[http://www.malinc.se/math/functions/perpendicularlinessv.php Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D.]
:[http://mathbits.com/GeometryBits/Slope%20Criteria%20for%20Perpendicular%20Lines.pdf Bevis på engelska om vinkelräta linjer]. Observera att amerikaner använder m i stället för k!


* [http://translate.google.se/translate?hl=sv&langpair=en%7Csv&u=http://cs.selu.edu/~rbyrd/math/midpoint/ Exempeluppgift]
==Exit ticket==
* [http://ungdomar.se/forum.php?thread_id=223534&page=1 Svårare Exempeluppgift]
* [http://www.khanacademy.org/exercise/midpoint_formula Khan Acadamy]


== Exit ticket ==
<headertabs />

Nuvarande version från 14 april 2020 kl. 09.15

[redigera]
Mål för undervisningen Räta linjen

Centralt innehåll:

Begreppet kurva, räta linjens och parabelns ekvation samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.

Detta avsnitt kommer att behandla:

  • Repetition och problemlösning
  • Att hitta k och m (algebraiskt)
  • Riktningskoefficienten
  • Parallella och vinkelräta linjer


I Matte 1-kursen har vi använt oss av räta linjens ekvation för att beskriva vissa typer av samband. I det här avsnittet ska vi repetera grunderna för linjära funktioner och även bygga vidare på det genom att titta på parallella och vinkelräta linjer.

Grafiskt

Hur ser ekvationen ut för linjen i bilden?

En rät linje går mellan punkterna.

  1. Vad har linjen för lutning? k-värdet
  2. Vad betyder et att k är negativt
  3. Var skär den y-axeln? m-värdet
  4. Skriv räta linjens ekvation på formen y = kx + m

Beräkna k och m algebraiskt

hur gör man för att ta fram räta linjens ekvation?

Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin linje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y = kx + m.

Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.

Definition
Att hitta räta linjens ekvation

För att rita en rät linje eller för att skriva dess ekvation behöver du antingen:

  1. två punkter på linjen eller
  2. en punkt på linjen och dess lutning


En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.

Riktningskoefficienten

Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:

Slope picture
Load video
YouTube
Definition
Riktningskoefficienten


[math]\displaystyle{ k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} }[/math]


http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-4.png

http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-3.png

Hitta m

Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.

m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.

[math]\displaystyle{ y = kx + m }[/math]

Då är det ju bara m som är obekant.

Använd y = kx + m oxg sätt in koordinaterna för en punkt samt värdet för k. Lös ut m i ekvationen.

Parallella och vinkelräta linjer

Load video
YouTube

Parallella linjer

Parallel Lines
Egenskaper

Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.

[math]\displaystyle{ k_1 = k_2 }[/math]

Vinkelräta linjer

Egenskaper

Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.

[math]\displaystyle{ k_1 \cdot k_2= -1 }[/math]


[redigera]

Bestäm k-värdet

Exempel
Bestäm k

Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1,2) och (4,-3)

Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan:

[math]\displaystyle{ k = \frac {-3-2}{4-1} = \frac{-5}{3} =- \frac {5}{3} }[/math]


Hitta m

Exempel
Bestäm m
[math]\displaystyle{ k = 2 }[/math] och en punkt är [math]\displaystyle{ (3,5) }[/math]

Sätter man in värdena så får man:

[math]\displaystyle{ 5 = 2 * 3 + m }[/math]

Vilket ger:

[math]\displaystyle{ m= 5 -2 * 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ m= 5 -6 }[/math]
[math]\displaystyle{ m= -1 }[/math]

Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som

[math]\displaystyle{ y= 2 x - 1 }[/math]


Problemlösning

Exempel
Billig städning + uträkning till exemplet

Uppgift

Erika anställer en städare och får betala för 4 timmar 450 kr och för 9 timmar 990 kr Erika betalar både grundavgift och en avgift per timme. Hur stor är timpenningen Erika måste betala?

Uträkning

Tänk så här:

Kostnaden ökar med [math]\displaystyle{ 990kr-450kr= 540kr }[/math]

Tiden ökar med [math]\displaystyle{ 9-4= 5 timmar }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{990-450}{9-4} = \frac{540}{5} = 108 kr/timme }[/math]

Avgiften per timme blir[math]\displaystyle{ = 108 kr }[/math]


Exempeluppgift

Exempeluppgift 2

[redigera]

Bevis för att vinkelräta linjer innebär att [math]\displaystyle{ k_1 \cdot k_2 = -1 }[/math]

Om det är 90o mellan linjerna så gäller att:

[math]\displaystyle{ \alpha = \beta }[/math]

Då är enligt figuren (likformighet eller tangens)

[math]\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} }[/math] (1)

Förhållandet mellan sträckorna a/b och c/d ger oss riktingskoeficienterna [math]\displaystyle{ k_1 }[/math] och [math]\displaystyle{ k_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ k_1 = \frac{a}{b} }[/math]

och

[math]\displaystyle{ k_2 = - \frac{d}{c} }[/math] eller omskrivet [math]\displaystyle{ -\frac{1}{k_2} = \frac{c}{d} }[/math]

Om vi jämför med formel (1) ovan ser vi att

[math]\displaystyle{ k_1 = -1 \cdot \frac{1}{k_2} }[/math]

om vi skriver om det har vi den trevligare formen

[math]\displaystyle{ k_1 \cdot k_2 = -1 }[/math]
V.S.B.
[redigera]

Här tas enpunktsformeln upp. Den är praktisk men inte nödvändig. Den står inte i formelsamlingen.

Definition
Enpunktsformeln

[math]\displaystyle{ y-y_1 = k(x-x_1) }[/math]


[redigera]

Geogebra Undersök med Geogebra-applet: Räta linjens ekvation

Exempel i GGB där du kan ändra och flytta lnjen med glidare


[redigera]

Vi ska göra en laboration med ett snöre. Ett snöre per person.

Ställ upp en modell för snörets längd som funktion av antalet knutar.

Följdfrågor

  1. Hur lång är en knut?
  2. Vilken definnitions- respektive värdemängd har modellen?

Rdovisa dina mätdata i tabeller och grafer samt skriv en redogörelse för modellens giltighet och felkällor. Använd Excel.

[redigera]

Obligatoriska uppgifter

Är linjen rät?

Ligger punkterna (243,7), (244,18) och (250,84) på en rät linje?

Vinkelräta linjer

Bestäm funktionen för den räta linje som är vinkelrät mot linjen y = 0.25 x + 12 och skär x-axeln för x = 5.

Interaktiv övning i GeoGebra

Geogebra Undersök med Geogebra-applet: Interaktiv övning


Bra uppgifter

Öva på Khan: Räta linjens ekvation


Repetion och enklare uppgifter

[redigera]

Repetition och problemlösning

Problemlösning - Diskutera

Jobba själv

Uppgift: Kostnaden för att hyra skidor i Romme

1. Priset för en vuxen att hyra skidutrustning under en dag är 290 kr. Om man hyr i fem dagar kostar det 910 kr. Gör en modell för detta och beräkna priset per dag och den eventuella startkostnaden. Redovisa en ekvation för priset som funktion av antalet dagar.

2. Gå in på länken nedan och studera priserna. Rita grafer. Är priset en linjär funktion av tiden? http://www.rommealpin.se/priser-1__1053

Facit: (klicka expandera till höger)

Se ett diagram över Rommepriserna 2007 här.

Ser du något som kunde gjorts bättre när det gäller skalan på x-axeln.



Att hitta k och m (algebraiskt)

Uppgift

En linje går genom punkterna (-3,4) och (5,-2).

Bestäm räta linjens ekvation.

Ta nu fram ett eget exempel (med lösning) där man bestämmer räta linjens ekvation när man känner två punkter.

Prova att skriv det i Latex på din användarsida i Wikiskola.


Latex-tips

<math>
\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot 
</math>

Riktningskoefficienten

Geogebra Undersök med Geogebra-applet: Slope

Tim Brzezinski (GeoGebra-guru) har skapat en GeoGebrabok med 22 övningar. Bläddra igenom dem och gör till exempel Quiz 1-3.


Parallella och vinkelräta linjer

Uppgift: Bevis vinkelräta linjer

Bevisa sambandet [math]\displaystyle{ vinkelräta linjer \Leftrightarrow k_1 * k_2 = -1 }[/math] genom att:

  1. Visa om vinkelräta linjer [math]\displaystyle{ \Rightarrow k_1 * k_2 = -1 }[/math]
  2. Visa om [math]\displaystyle{ k_1 * k_2 = -1 \Rightarrow }[/math] vinkelräta linjer

Facit: (klicka expandera till höger)



[redigera]

Programmering - räta linjens k- och m-värde

Programmeringsuppgift

Räta linjen med Python

[redigera]
Swayen till detta avsnitt: Räta linjen


Wikipedia Ekvation


Läs om Linjära funktioner


Allmän form (linjens ekvation)

Wikipedia skriver om injär_ekvation

En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:

[math]\displaystyle{ Ax + By + C = 0\, }[/math]

eller på standardform:

[math]\displaystyle{ A x +By = C.\, }[/math]

Enpunktsformen

Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt [math]\displaystyle{ (x_0, y_0) }[/math] på linjen kan man skriva den på enpunktsform:

[math]\displaystyle{ y-y_0 = k(x-x_0)\, }[/math]

Problemlösning

Hitta k och m

Riktningskoefficienten

Parallella och vinkelräta linjer

Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D.
Bevis på engelska om vinkelräta linjer. Observera att amerikaner använder m i stället för k!

Exit ticket

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Räta_linjen_Ma2c&oldid=54343”