Räta linjen Ma2c: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
 
(162 mellanliggande sidversioner av 3 användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
{|
__NOTOC__
|-
=Teori=
| {{malruta | xxx
 
{{malruta | Räta linjen
 
Centralt innehåll:
: Begreppet kurva, '''räta linjens''' och parabelns '''ekvation''' samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.


Här undersöker vi xxx.
Detta avsnitt kommer att behandla:
}} |
* Repetition och problemlösning
| {{sway | [https xxx]}}<br />
* Att hitta k och m (algebraiskt)
{{gleerups| [https xxx] }}<br />
* Riktningskoefficienten
{{matteboken |[https xxx] }}<br />
* Parallella och vinkelräta linjer
[[Linjära_funktioner|Ma1c - Linjära funktioner]]<br />
}}  
|}


== Teori ==
I Matte 1-kursen har vi använt oss av räta linjens ekvation för att beskriva vissa typer av samband. I det här avsnittet ska vi repetera grunderna för linjära funktioner och även bygga vidare på det genom att titta på parallella och vinkelräta linjer.


=== Räta linjens funktion ===
===Grafiskt===
Repetition: Förra gången stiftade vi bekantskap med [[Media:Funktionsbegreppet_parabel.ggb|en parabel]] som naturligtvis låter sig ritas i GeoGebra. En av kurvorna är precis den som kommer ur bokens Exempel 1 på sidan 197.


Man kan naturligtvis rita kurvan i [http://www.wolframalpha.com/input/?i=1.56667%20x%C2%B2%20-%200.83333%20x%20%2B%203.4 Wolfram Alpha] oxå. Det är bara att högerlicka på uttrycket i GeoGebra och kopiera till inmatningsfältet. Wolfram Alpha finns förresten som en [http://www.wolframalpha.com/downloads.html?open=ffmtb&rv=84 Gadget] till er som har Vistra eller 7:an.
====Hur ser ekvationen ut för linjen i bilden?====


* [http://www.geogebra.se/ma_b/funktioner/lutning_vl/lutning_vlg_t.html Lutning på GeoGebra.se]
En rät linje går mellan punkterna.
* [http://www.geogebrainstitut.se/resurser/ggb/taxi.ggb taxifärd] från Geogebrainstitutet
* [http://www.geogebrainstitut.se/resurser/ggb/linear_function_sliders.ggb linjär funktion med glidare] från Geogebrainstitutet


Här kommer en grafisk lösning till exempel 2 sidan 106 (GeoGebra):
#Vad har linjen för lutning? '''k-värdet'''
#Vad betyder et att k är negativt
#Var skär den y-axeln? '''m-värdet'''
#Skriv räta linjens ekvation formen y = kx + m


<html>
<html>
Rad 28: Rad 31:
</html>
</html>


== Andra ställen att öva grunderna i räta linjen ==
===Beräkna k och m algebraiskt===
 
hur gör man för att ta fram räta linjens ekvation?
 
Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin linje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y = kx + m.
 
Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.
 
{{defruta|'''<big>Att hitta räta linjens ekvation</big>'''
 
För att rita en rät linje eller för att skriva dess ekvation behöver du antingen:
 
# två punkter på linjen ''eller''
# en punkt på linjen och dess lutning
}}
 
En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.


* [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-3-och-c/polynom-och-ekvationer/rata-linjens-ekvation matteboken]
===Riktningskoefficienten===
* [http://olleh.se/start/frageprogramMa2.php OlleH]
* [[Typtal_räta_linjens_ekvation | Typtal räta linjens ekvation]]


=== Klurig läxa ===
Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:


[[Kluring_läxa:_Tristan_och_Isolde|Tristan och Isolde]]
[[File:Slope picture.svg|thumb|Slope picture]]


== Koordinatgeometri ==
{{#ev:youtube|vzkUI5W2sZQ |400|right}}
 
s. 92- 101
{{defruta|'''<big>Riktningskoefficienten</big>'''
<br />


=== RikardM - Avståndsformeln ===
: <math> k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>
{{#ev:youtube |FY6G0-ByfrA | 400 |right}}
}}


===  Mittpunktsformeln ===
{{#ev:youtube|EhRbyxoD6Io|340|right}}


[[Bild:Mittpunktsformeln.png|thumb|200px|"P1" är punkten 1, "P2" är punkten 2, och "M" visar var exakt var mitten av punkterna P1 och P2 är. Bilden är tagen från Wikipedia.]]
http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-4.png


'''[http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln Mittpunktsformeln]''' är en mattematisk ekvation.
http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-3.png
Två punkter P1 och P2 som kan ligga precis var som helst i
ett  kordinatsystem, med hjälp av mittpunktsformeln bestämma
punkten mitt emellan Punkt1 och Punkt2 som har benämningen M.


{{clear}}


'''Definition 1:'''
===Hitta m===


(X1,Y1) och (X2,Y2)
Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.
(Xm,Ym)= (X1+X2/2),(Y1+Y2/2)
[http://www.youtube.com/watch?v=EhRbyxoD6Io Förklaras i videon]
'''Definition 2:'''
Det gick inte att placera definitionen från Wikipedia, eftersom den inte stöds,
gå in på länken och se efter själv:[http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln Wikipedia, Mittpunktsformeln]
O = Origo.
M = Punkten mellan P1 och P2.
P1 = Punkt1.
P2 = Punkt2.


'''Exepel problem'''
m-värdet får vi genom att använda en punkt linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.
Du har två punkter (1, -2) och (-3, 5), hitta mittpunkten av de två punkterna med hjälp
av [http://sv.wikipedia.org/wiki/Mittpunktsformeln mittpunktsformeln].


'''Lösning'''
:<math> y = kx + m </math>
y 1 = -2, x 2 = -3 och y 2 = 5.


==== Länkar - Mittpunktsformeln ====
Då är det ju bara m som är obekant.


* [http://translate.google.se/translate?hl=sv&langpair=en%7Csv&u=http://cs.selu.edu/~rbyrd/math/midpoint/ Exempeluppgift]
Använd y = kx + m oxg sätt in koordinaterna för en punkt samt värdet för k. Lös ut m i ekvationen.
* [http://ungdomar.se/forum.php?thread_id=223534&page=1 Svårare Exempeluppgift]
{{clear}}
* [http://www.khanacademy.org/exercise/midpoint_formula Khan Acadamy]


=== y=kx+m ===
===Parallella och vinkelräta linjer===
[[Fil:FuncionLineal04.svg|right|340px]]


        K = lutningen. Man kan räkna ut K om man har två koordinater t ex x1-x2/y1-y2 = K
{{#ev:youtube|nZuko8vyVs4|400|right}}
        M = Var linjen skär y-axeln
        Exempel uträkning med koordinater.
        (-1,1) (1,5)
        y= valfri Y-koordinat, vi väljer 5. Formeln blir då 5=kx+m
        vi räknar ut k
        k=(x1-x2)/(y1-y2)= 5-1/1-(-1) = 4/2 = 2, k=2. Formeln blir då 5 = 2x+m
        x = 1. Formeln blir: 5 = 2*1+m. Tar bort 2 på båda sidor.
        M= 3


{{GGB | Räta linjens ekvation
====Parallella linjer====
[[File:Parallel Lines.svg|thumb|Parallel Lines]]
 
{{egenskaper|
Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.


[http://www.geogebratube.org/student/m23581 Exempel i GGB där du kan ändra och flytta lnjen med glidare]
: <math> k_1 = k_2  </math>
}}
}}
==== Länkar: ====
{{clear}}


* http://www.youtube.com/watch?v=obtLcSrvE_Y
====Vinkelräta linjer====
* http://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4r_ekvation
{{egenskaper|
Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.


== Riktningskoefficienten ==
: <math> k_1 \cdot k_2= -1 </math>
   
}}
{{lm2c|Riktningskoefficienten|102 - 104}}


'''Håkan länkar'''
<html>
* [http://www.theducation.se/natstod/ma-nv/exempel/trana_pa_ekvation_till_rat_linje/ Theeducation]
<iframe scrolling="no" title="Vinkelräta linjer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Hswgg3c7/width/506/height/568/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="506px" height="568px" style="border:0px;"> </iframe>
* [http://www.khanacademy.org/exercise/graphing_linear_equations Khan: Graphing linear Equations]
</html>
* [http://www.khanacademy.org/exercise/line_graph_intuition Intuitiv Khan]
{{clear}}


===  riktningskoefficienten ===
=Exempel=
[[File:Slope picture.svg|thumb|Slope picture]]


{{defruta|'''<big>Riktningskoefficienten</big>'''
===Bestäm k-värdet===
<br />


: <math> k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>
}}
{{exruta|<big>Bestäm k</big>
{{exruta|<big>Bestäm k</big>


Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1.2) och (4.-3)
Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1,2) och (4,-3)


Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan:
Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan:
Rad 131: Rad 123:
}}
}}


===Hitta m===
{{exruta|'''<big>Bestäm m</big>'''
: <math> k = 2 </math> och en punkt är  <math> (3,5)</math>
Sätter man in värdena så får man:
: <math> 5 = 2 * 3 + m </math>
Vilket ger:


http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-4.png
: <math> m=  5 -2 * 3  </math>
 
: <math> m=  5 -6  </math>


http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-3.png
: <math> m=  -1  </math>


Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som


''' Definition - räta linjens ekvation'''
: <math> y= 2 x - 1  </math>
}}
:<math> y = kx+m </math>
 
 
===Problemlösning===
{{clear}}


'''Ett Exempel + uträkning till exemplet'''
{{exruta| '''Billig städning + uträkning till exemplet'''


'''Fråga 1'''
'''Uppgift'''


Erika anställer en städslav och får betala för ''4 timmar 450 kr'' och för ''9 timmar 990 kr''  
Erika anställer en städare och får betala för ''4 timmar 450 kr'' och för ''9 timmar 990 kr''  
Erika betalar både grundavgift och en avgift per timme. Hur stor är avgiften Erika måste betala?
Erika betalar både grundavgift och en avgift per timme. Hur stor är timpenningen Erika måste betala?


'''Uträkning till fråga 1'''
'''Uträkning'''


Tänk så här:  
Tänk så här:  


Kostnaden ökar med  
Kostnaden ökar med <math>990kr-450kr= 540kr </math>
990kr-450kr= 540kr  


Tiden ökar med 9-4= 5timmar
Tiden ökar med <math>9-4= 5 timmar</math>
990-450/9-5=540/2= 225


Avgiften per timme blir = 225 kr  
<math>\frac{990-450}{9-4} = \frac{540}{5} = 108 kr/timme</math>


'''Länk'''
Avgiften per timme blir<math> = 108 kr</math>
}}


[[http://www.youtube.com/watch?v=vzkUI5W2sZQ riktningskoefficienten ]]
=== Exempeluppgift ===


== Ta fram räta linjens ekvation ==
<pdf>Fil:1240_lösning.pdf</pdf>


Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin lenje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y 0 kx + m.
=== Exempeluppgift 2 ===


Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.
<pdf>Fil:16170.pdf</pdf>


{{defruta|'''<big>Att hitta räta linjens ekvation</big>'''
=Bevis=


För att rita en rät linje eller för att skriva dess ekvation behöver du antingen:
Bevis för att vinkelräta linjer innebär att <math>k_1 \cdot k_2 = -1 </math>


# två punkter på linjen ''eller''
<html>
# en punkt på linjen och dess lutning
<iframe scrolling="no" title="vinkelräta linjer Bevis" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/u4dgqnck/width/608/height/379/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="608px" height="379px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
}}
</html>


En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.
Om det är 90<sup>o</sup> mellan linjerna så gäller att:


=== Hitta k  ===
:<math>\alpha = \beta </math>


Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:
Då är enligt figuren (likformighet eller tangens)


:<math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d} </math> (1)


: <math> k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>
Förhållandet mellan sträckorna a/b och c/d ger oss riktingskoeficienterna <math> k_1</math> och <math> k_2</math>


=== Hitta m ===
:<math>k_1  = \frac{a}{b} </math>


Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.
och


m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.
:<math>k_2 = - \frac{d}{c} </math> eller omskrivet <math>-\frac{1}{k_2} =  \frac{c}{d} </math>


: <math> y = kx + m </math>
Om vi jämför med formel (1) ovan ser vi att


Då är det ju bara m som är obekant.
:<math>k_1  = -1 \cdot \frac{1}{k_2} </math>


{{exruta|'''<big>Bestäm m</big>'''
om vi skriver om det har vi den trevligare formen
: <math> k = 2 </math> och en punkt är  <math> (3,5)</math>


Sätter man in värdena så får man:
:<math>k_1 \cdot k_2  = -1 </math>


: <math> 5 = 2 * 3 + m </math>
:V.S.B.


Vilket ger:
=Bevis 2=


: <math> m= 5 -2 * 3  </math>
<html>
<iframe scrolling="no" title="Vinkelräta linjer Bevis 2" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fdeedscj/width/1368/height/738/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1368px" height="738px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>


: <math> m= 5 -6  </math>
= Genomgång =


: <math> m=  -1  </math>
Här tas enpunktsformeln upp. Den är praktisk men inte nödvändig. Den står inte i formelsamlingen.


Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som
{{defruta| '''Enpunktsformeln'''


: <math> y= 2 x - </math>
<math> y-y_1 = k(x-x_1) </math>
}}
}}


== Parallella och vinkelräta linjer ==
<pdf>Fil:Enpunktsformeln.pdf</pdf>


Onsdag 10.30-12
=GeoGebra=


s. 110- 112
{{GGB | Räta linjens ekvation


Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.
[https://www.geogebra.org/m/f2DPJXwa Exempel i GGB där du kan ändra och flytta lnjen med glidare]
}}


'''Parallella linjer'''
=Laboration=
k<sub>1</sub> = k<sub>2</sub>


Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.
Vi ska göra en laboration med ett snöre. Ett snöre per person.


'''Vinkelräta linjer'''
'''Ställ upp en modell för snörets längd som funktion av antalet knutar.'''
k<sub>1</sub> * k<sub>2</sub> = -1


<br>
Följdfrågor
<html>
<head>
<title>Vinkelr&#228;ta linjer - GeoGebra Dynamisk arbetsbok</title>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
<meta name="generator" content="GeoGebra" />
<style type="text/css"><!--body { font-family:Arial,Helvetica,sans-serif; margin-left:40px }--></style>
</head>
<body>
<table border="0" width="600">
<tr><td>


<p>
#Hur lång är en knut?
Vinkelr&#228;ta linjer</p>
#Vilken definnitions- respektive värdemängd har modellen?


<script type="text/javascript" language="javascript" src="
Rdovisa dina mätdata i tabeller och grafer samt skriv en redogörelse för modellens giltighet och felkällor. Använd Excel.
http://www.geogebra.org/web/4.2/web/web.nocache.js"></script><article class="geogebraweb" data-param-width="506" data-param-height="628"
data-param-showResetIcon="false" data-param-enableLabelDrags="false" data-param-showMenuBar="false" data-param-showToolBar="false" data-param-showAlgebraInput="false" enableLabelDrags="true" data-param-ggbbase64="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"></article>


<p>
=Uppgifter=
</p>
<p><span style="font-size:small">18 April 2013, Skapat med <a href="http://www.geogebra.org/" target="_blank" >GeoGebra</a></span></p>
Räta linjer finns på <a href="http://www.geogebratube.org/material/show/id/35902"" target="_blank" >GeoGebraTube</a>
</td></tr>
</table><script type="text/javascript">
var ggbApplet = document.ggbApplet;
function ggbOnInit() {}


</script>
===Obligatoriska uppgifter===
</body>
</html>


<br>
====Är linjen rät?====
<br>
=== Parallella och vinkelräta linjer ===
[[File:Parallel Lines.svg|thumb|Parallel Lines]]


http://www.youtube.com/watch?v=nZuko8vyVs4
Ligger punkterna (243,7), (244,18) och (250,84) på en rät linje?
<youtube>nZuko8vyVs4</youtube>


http://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/funktioner/linjara-funktioner-y-=-kx-plus-m
====Vinkelräta linjer====


Ytterligare en sida för dej som fortfarande inte förstår vad det handlar om.
Bestäm funktionen för den räta linje som är vinkelrät mot linjen y = 0.25 x + 12 och skär x-axeln för x = 5.


http://www.malinc.se/math/functions/perpendicularlinessv.php
===Interaktiv övning i GeoGebra===


Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/Dc:
{{GGB|[https://www.geogebra.org/m/CyNsYTKg Interaktiv övning]}}


== Allmän form (linjens ekvation) ==
===Bra uppgifter===
{{svwp |injär_ekvation }}


{{lm2c|allmänn form|113- 115}}
{{khanruta|[https://www.khanacademy.org/math/algebra/two-var-linear-equations/forms-of-two-var-linear-equations/e/writing-the-equation-of-a-line-in-any-form Räta linjens ekvation] }}


En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:
*[[Typtal räta linjens ekvation]]. Grundläggande begrepp som lutning och m-värde.


: <math> Ax + By + C = 0\,</math>
===Repetion och enklare uppgifter===
eller på standardform:


: <math> A x +By = C.\,</math>
*[http://olleh.se/start/frageprogramMa2.php OlleH]
Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt (x_0, y_0) på linjen kan man skriva den på enpunktsform:
*[[Typtal_räta_linjens_ekvation | Typtal räta linjens ekvation]]


: <math> y-y_0 = k(x-x_0)\,</math>
=Aktiviteter=
===Repetition och problemlösning===


== Verklighetsbaserad uppgift på linjära samband ==
'''''Problemlösning - Diskutera'''''


=== Hyr skidutrustning ===
<html>
<iframe scrolling="no" title="Sätt skala på axlarna" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/nDM74ccY/width/678/height/412/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="678px" height="412px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>


'''''Jobba själv'''''
{{uppgfacit|Kostnaden för att hyra skidor i Romme
{{uppgfacit|Kostnaden för att hyra skidor i Romme


'''1.''' Priset för en vuxen at hyra skidutrustning under en dag är 270 kr. Om man hyr i fem dagar kostar det 850 kr. Gör en modell för detta och beräkan priset per dag och den eventuella startkostnaden. Redovisa en ekvation för priset som funktion av antalet dagar.
'''1.''' Priset för en vuxen att hyra skidutrustning under en dag är 290 kr. Om man hyr i fem dagar kostar det 910 kr. Gör en modell för detta och beräkna priset per dag och den eventuella startkostnaden. Redovisa en ekvation för priset som funktion av antalet dagar.


'''2.''' Gå in på länken nedan och studera priserna. Rita grafer. Är priset en linjär funktion av tiden?
'''2.''' Gå in på länken nedan och studera priserna. Rita grafer. Är priset en linjär funktion av tiden?
http://www.rommealpin.se/priser-1__1053
http://www.rommealpin.se/priser-1__1053
|Se ett [http://wikiskola.se/images/Romme_skidhyra.xlsx diagram över Rommepriserna] här.
|Se ett [http://wikiskola.se/images/Romme_skidhyra.xlsx diagram över Rommepriserna] 2007 här.


[[Fil:Rommepriser.png|right]]
[[Fil:Rommepriser.png|right]]
Ser du något som kunde gjorts bättre när det gäller skalan på x-axeln.
{{clear}}
{{clear}}
}}
}}


===Att hitta k och m (algebraiskt)===
{{uppgruta|
En linje går genom punkterna (-3,4) och (5,-2).
Bestäm räta linjens ekvation.
Ta nu fram ett eget exempel (med lösning) där man bestämmer  räta linjens ekvation när man känner två punkter.
Prova att skriv det i Latex på din användarsida i Wikiskola.
}}
====Latex-tips====


== Aktivitet ==
<pre>
<math>
{{uppgruta| '''xxx''''
\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot
</math>
</pre>
 
===Riktningskoefficienten===
 
{{GGB|[https://www.geogebra.org/m/WHxmVN3F Slope]
 
[https://www.geogebra.org/tbrzezinski Tim Brzezinski] (GeoGebra-guru) har skapat en GeoGebrabok med 22 övningar. Bläddra igenom dem och gör till exempel Quiz 1-3.
}}


===Parallella och vinkelräta linjer===
{{uppgfacit|Bevis vinkelräta linjer
Bevisa sambandet <math> vinkelräta linjer \Leftrightarrow k_1 * k_2 = -1</math> genom att:
#Visa om vinkelräta linjer  <math> \Rightarrow k_1 * k_2 = -1</math>
#Visa om <math>k_1 * k_2 = -1 \Rightarrow</math>  vinkelräta linjer
[[Fil:Grid perp.png|600px|right]]
{{clear}}
|
[[Fil: Bevis.png |600px|right]]
{{clear}}
}}
}}


<html>
=Python=
</html>
 
===Programmering - räta linjens k- och m-värde===
 
{{python|[[Räta_linjen_med_Python|Räta linjen med Python]]}}
{{clear}}


== Lär mer ==
=Lär mer=


{| align=right
{| align="right"
|-
|-
| {{sway | [https xxx]}}<br />
|{{sway | [https://sway.com/5BPdtYUg573T9wcC?ref{{=}}Link Räta linjen]}}<br />
|-
|-
| {{gleerups| [https://gl  xxxxx] }}<br />
|{{wplink| [http://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4r_ekvation Ekvation] }}<br />
|-
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/geometri xxxxx] }}<br />
|{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/linjara-funktioner-och-ekvationssystem/linjara-funktioner  Linjära funktioner] }}<br />
|}
|}


===Allmän form (linjens ekvation)===
{{svwp |injär_ekvation }}
En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:
:<math> Ax + By + C = 0\,</math>
eller på standardform:
:<math> A x +By = C.\,</math>
===Enpunktsformen===
Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt <math>(x_0, y_0)</math> på linjen kan man skriva den på enpunktsform:
:<math> y-y_0 = k(x-x_0)\,</math>
<html>
<iframe scrolling="no" title="Enpunktsformeln" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/rkvwghd5/width/655/height/376/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="655px" height="376px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
==Problemlösning==
*[[Kluring_läxa:_Tristan_och_Isolde|Tristan och Isolde]]
*[http://www.malinc.se/math/functions/slopesv.php MalinC förklarar Räta linjen] Här finns det '''bra förklaringar''' och en del övningar. jag kan rekommendera fler delar av hemsidan. Sök efter sånt som har med vårt kapitel att göra.
===Hitta k och m===
*http://www.youtube.com/watch?v=obtLcSrvE_Y
===Riktningskoefficienten===
===Parallella och vinkelräta linjer===


:[http://www.malinc.se/math/functions/perpendicularlinessv.php Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D.]
:[http://mathbits.com/GeometryBits/Slope%20Criteria%20for%20Perpendicular%20Lines.pdf Bevis på engelska om vinkelräta linjer]. Observera att amerikaner använder m i stället för k!


* [[Typtal räta linjens ekvation]]. Grundläggande begrepp som lutning och m-värde.
==Exit ticket==
* [http://www.khanacademy.org/exercise/interpreting_linear_equations Khan-övning i att förstå räta linjer.] Den är enkel men det kommer fler med ökande svårighet sedan.
* Häfte med enkla uppgifter på y=kx+m som heter '''Övningsblad räta linjens ekvation'''. Finns bara på min dator. Jag har delat ut det.
* Två sidor med '''Blandade svåra uppgifter på räta linjen'''. Även dessa är från Uppgiftsbanken och (c). Därför finns filen på min dator men kan skrivas ut vid behov.
* [http://www.malinc.se/math/functions/slopesv.php MalinC förklarar Räta linjen] Här finns det '''bra förklaringar''' och en del övningar. jag kan rekommendera fler delar av hemsidan. Sök efter sånt som har med vårt kapitel att göra.
* En laboration om '''knutar på ett snöre''' från sid 109 i boken.
* En '''stencil''' med två räta linjen där du gör en värdetabell, en graf och en ekvation. Tre representationer alltså.


== Exit ticket ==
<headertabs />

Nuvarande version från 14 april 2020 kl. 09.15

[redigera]
Mål för undervisningen Räta linjen

Centralt innehåll:

Begreppet kurva, räta linjens och parabelns ekvation samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp.

Detta avsnitt kommer att behandla:

  • Repetition och problemlösning
  • Att hitta k och m (algebraiskt)
  • Riktningskoefficienten
  • Parallella och vinkelräta linjer


I Matte 1-kursen har vi använt oss av räta linjens ekvation för att beskriva vissa typer av samband. I det här avsnittet ska vi repetera grunderna för linjära funktioner och även bygga vidare på det genom att titta på parallella och vinkelräta linjer.

Grafiskt

Hur ser ekvationen ut för linjen i bilden?

En rät linje går mellan punkterna.

  1. Vad har linjen för lutning? k-värdet
  2. Vad betyder et att k är negativt
  3. Var skär den y-axeln? m-värdet
  4. Skriv räta linjens ekvation på formen y = kx + m

Beräkna k och m algebraiskt

hur gör man för att ta fram räta linjens ekvation?

Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin linje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y = kx + m.

Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.

Definition
Att hitta räta linjens ekvation

För att rita en rät linje eller för att skriva dess ekvation behöver du antingen:

  1. två punkter på linjen eller
  2. en punkt på linjen och dess lutning


En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.

Riktningskoefficienten

Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:

Slope picture
Definition
Riktningskoefficienten


[math]\displaystyle{ k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} }[/math]


http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-4.png

http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-3.png

Hitta m

Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.

m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.

[math]\displaystyle{ y = kx + m }[/math]

Då är det ju bara m som är obekant.

Använd y = kx + m oxg sätt in koordinaterna för en punkt samt värdet för k. Lös ut m i ekvationen.

Parallella och vinkelräta linjer

Parallella linjer

Parallel Lines
Egenskaper

Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.

[math]\displaystyle{ k_1 = k_2 }[/math]

Vinkelräta linjer

Egenskaper

Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.

[math]\displaystyle{ k_1 \cdot k_2= -1 }[/math]


[redigera]

Bestäm k-värdet

Exempel
Bestäm k

Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1,2) och (4,-3)

Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan:

[math]\displaystyle{ k = \frac {-3-2}{4-1} = \frac{-5}{3} =- \frac {5}{3} }[/math]


Hitta m

Exempel
Bestäm m
[math]\displaystyle{ k = 2 }[/math] och en punkt är [math]\displaystyle{ (3,5) }[/math]

Sätter man in värdena så får man:

[math]\displaystyle{ 5 = 2 * 3 + m }[/math]

Vilket ger:

[math]\displaystyle{ m= 5 -2 * 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ m= 5 -6 }[/math]
[math]\displaystyle{ m= -1 }[/math]

Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som

[math]\displaystyle{ y= 2 x - 1 }[/math]


Problemlösning

Exempel
Billig städning + uträkning till exemplet

Uppgift

Erika anställer en städare och får betala för 4 timmar 450 kr och för 9 timmar 990 kr Erika betalar både grundavgift och en avgift per timme. Hur stor är timpenningen Erika måste betala?

Uträkning

Tänk så här:

Kostnaden ökar med [math]\displaystyle{ 990kr-450kr= 540kr }[/math]

Tiden ökar med [math]\displaystyle{ 9-4= 5 timmar }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{990-450}{9-4} = \frac{540}{5} = 108 kr/timme }[/math]

Avgiften per timme blir[math]\displaystyle{ = 108 kr }[/math]


Exempeluppgift

Exempeluppgift 2

[redigera]

Bevis för att vinkelräta linjer innebär att [math]\displaystyle{ k_1 \cdot k_2 = -1 }[/math]

Om det är 90o mellan linjerna så gäller att:

[math]\displaystyle{ \alpha = \beta }[/math]

Då är enligt figuren (likformighet eller tangens)

[math]\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} }[/math] (1)

Förhållandet mellan sträckorna a/b och c/d ger oss riktingskoeficienterna [math]\displaystyle{ k_1 }[/math] och [math]\displaystyle{ k_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ k_1 = \frac{a}{b} }[/math]

och

[math]\displaystyle{ k_2 = - \frac{d}{c} }[/math] eller omskrivet [math]\displaystyle{ -\frac{1}{k_2} = \frac{c}{d} }[/math]

Om vi jämför med formel (1) ovan ser vi att

[math]\displaystyle{ k_1 = -1 \cdot \frac{1}{k_2} }[/math]

om vi skriver om det har vi den trevligare formen

[math]\displaystyle{ k_1 \cdot k_2 = -1 }[/math]
V.S.B.
[redigera]

Här tas enpunktsformeln upp. Den är praktisk men inte nödvändig. Den står inte i formelsamlingen.

Definition
Enpunktsformeln

[math]\displaystyle{ y-y_1 = k(x-x_1) }[/math]


[redigera]

Geogebra Undersök med Geogebra-applet: Räta linjens ekvation

Exempel i GGB där du kan ändra och flytta lnjen med glidare


[redigera]

Vi ska göra en laboration med ett snöre. Ett snöre per person.

Ställ upp en modell för snörets längd som funktion av antalet knutar.

Följdfrågor

  1. Hur lång är en knut?
  2. Vilken definnitions- respektive värdemängd har modellen?

Rdovisa dina mätdata i tabeller och grafer samt skriv en redogörelse för modellens giltighet och felkällor. Använd Excel.

[redigera]

Obligatoriska uppgifter

Är linjen rät?

Ligger punkterna (243,7), (244,18) och (250,84) på en rät linje?

Vinkelräta linjer

Bestäm funktionen för den räta linje som är vinkelrät mot linjen y = 0.25 x + 12 och skär x-axeln för x = 5.

Interaktiv övning i GeoGebra

Geogebra Undersök med Geogebra-applet: Interaktiv övning


Bra uppgifter

Öva på Khan: Räta linjens ekvation


Repetion och enklare uppgifter

[redigera]

Repetition och problemlösning

Problemlösning - Diskutera

Jobba själv

Uppgift: Kostnaden för att hyra skidor i Romme

1. Priset för en vuxen att hyra skidutrustning under en dag är 290 kr. Om man hyr i fem dagar kostar det 910 kr. Gör en modell för detta och beräkna priset per dag och den eventuella startkostnaden. Redovisa en ekvation för priset som funktion av antalet dagar.

2. Gå in på länken nedan och studera priserna. Rita grafer. Är priset en linjär funktion av tiden? http://www.rommealpin.se/priser-1__1053

Facit: (klicka expandera till höger)

Se ett diagram över Rommepriserna 2007 här.

Ser du något som kunde gjorts bättre när det gäller skalan på x-axeln.



Att hitta k och m (algebraiskt)

Uppgift

En linje går genom punkterna (-3,4) och (5,-2).

Bestäm räta linjens ekvation.

Ta nu fram ett eget exempel (med lösning) där man bestämmer räta linjens ekvation när man känner två punkter.

Prova att skriv det i Latex på din användarsida i Wikiskola.


Latex-tips

<math>
\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot 
</math>

Riktningskoefficienten

Geogebra Undersök med Geogebra-applet: Slope

Tim Brzezinski (GeoGebra-guru) har skapat en GeoGebrabok med 22 övningar. Bläddra igenom dem och gör till exempel Quiz 1-3.


Parallella och vinkelräta linjer

Uppgift: Bevis vinkelräta linjer

Bevisa sambandet [math]\displaystyle{ vinkelräta linjer \Leftrightarrow k_1 * k_2 = -1 }[/math] genom att:

  1. Visa om vinkelräta linjer [math]\displaystyle{ \Rightarrow k_1 * k_2 = -1 }[/math]
  2. Visa om [math]\displaystyle{ k_1 * k_2 = -1 \Rightarrow }[/math] vinkelräta linjer

Facit: (klicka expandera till höger)



[redigera]

Programmering - räta linjens k- och m-värde

Programmeringsuppgift

Räta linjen med Python

[redigera]
Swayen till detta avsnitt: Räta linjen


Wikipedia Ekvation



Allmän form (linjens ekvation)

Wikipedia skriver om injär_ekvation

En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:

[math]\displaystyle{ Ax + By + C = 0\, }[/math]

eller på standardform:

[math]\displaystyle{ A x +By = C.\, }[/math]

Enpunktsformen

Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt [math]\displaystyle{ (x_0, y_0) }[/math] på linjen kan man skriva den på enpunktsform:

[math]\displaystyle{ y-y_0 = k(x-x_0)\, }[/math]

Problemlösning

Hitta k och m

Riktningskoefficienten

Parallella och vinkelräta linjer

Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D.
Bevis på engelska om vinkelräta linjer. Observera att amerikaner använder m i stället för k!

Exit ticket