Komplexa tal Ma2c: Skillnad mellan sidversioner

VisuellWikitext

Nuvarande version från 21 februari 2019 kl. 22.06

[redigera]

Imaginary Numbers Are Real, Part 1: Introduction

Mål för undervisningen Komplxa tal

Nu lär vi oss att använda komplxa tal för att lösa andragradsekvationer med ickereella rötter.

Komplexa tal

De komplexa talen kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som

[math]\displaystyle{ z\ = a + b\,\mathrm i }[/math]

där det reella talet a är realdelen, det reella talet b är imaginärdelen och i är den imaginära enheten med egenskapen

[math]\displaystyle{ \ \mathrm i^2\ = {-1} }[/math]

Komplexa rötter

Komplexa tal

Andragradsekvationer med ickereella rötter uppstår när vi behöver ta roten ur ett negativt tal. Då använder vi komplexa tal. Repetera gärna genom att titta på sidan Tal och talmängder

Definition

Komplexa tal

[math]\displaystyle{ i^2 = -1 }[/math]

Det är praktiskt att se det som att

[math]\displaystyle{ i = \sqrt{-1} }[/math]

även om det inte är matematiskt korrekt, se engelska Wikipedia om Imaginary number.

Ett komplext tal består av en realdel [math]\displaystyle{ a }[/math] och en imaginärdel [math]\displaystyle{ b }[/math].

[math]\displaystyle{ z = a + bi }[/math]

[math]\displaystyle{ Re z = a }[/math]

[math]\displaystyle{ Im z = b }[/math]

Imaginärdelen är ett reellt tal.

Komplexa tal och andragradsekvationer

Utifrån den generella beskrivning av andragradsekvationen:

[math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math]

med lösningen:

[math]\displaystyle{ x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} }[/math]

Ser vi att vi får komplexa rötter om diskriminanten

[math]\displaystyle{ \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} \lt 0 }[/math]

Exempel 1

Exempel

En andragradsekvation har två rötter

En andragradsekvation

[math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0, a\neq 0 }[/math]

har alltid två rötter. Dessa är

[math]\displaystyle{ x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} }[/math]

Om uttrycket under rottecknet är

större än noll, är rötterna olika och reella
mindre än noll, är rötterna olika och icke-reella
lika med noll, är rötterna lika och reella

[redigera]

Exempel

x² = -16 har ingen reell rot men däremot två komplexa.

[math]\displaystyle{ x^2 = -16 }[/math]

[math]\displaystyle{ x = \pm \sqrt{-16} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = \pm \sqrt{i^2 * 16} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = \pm \sqrt{i^2} * \sqrt{16} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = \pm i * 4 }[/math]

[math]\displaystyle{ x_1 = 4i }[/math]

[math]\displaystyle{ x_2 = -4i }[/math]

x²-4x+13=0 har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel.

[math]\displaystyle{ x^2 - 4x + 13 = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ {{pq-formeln}} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{ (\frac{4}{2})^2 - 13 } }[/math]

[math]\displaystyle{ x = 2 \pm \sqrt{4 - 13} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = 2 \pm \sqrt{-9} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = 2 \pm \sqrt{9*i^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = 2 \pm 3i }[/math]

[math]\displaystyle{ x_1 = 2 +3i }[/math]

[math]\displaystyle{ x_2 = 2 - 3i }[/math]

Läs mer: Komplexa tal på wikipedia

[redigera]

Öva online

Öva på Khan: Graphically add & subtract complex numbers

Uppgift

Uppgift

CAS i Geogebra

Lär dig lösa andragradsekvationer med CAS-modulen i GeoGebra.

CAS står för Computer Algebra System.

GeoGebra Quickstart Tutorial.

[redigera]

Vad ska man ha komplexa tal till?

Förutom det rent teoretiska värdet som komplexa tal har, då de erbjuder ett sätt att uttrycka icke-reella lösningar på andragradsekvationer, så har man stor användning för komplexa tal inom fysiken, bland annat vid beskrivning av vågrörelser inom elektromagnetismens område.

Komplexa tal används när man räknar på växelström.
- j-omegametoden

[redigera]

Visualisera komplexa rötter

[redigera]

Swayen till detta avsnitt: [https xxx]

Wikipedia Komplexa tal

Läs om Komplexatal

Fördjupning som hör till Ma4

Magnus Rönnholm, CC

Konjugatet

Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i x-axeln:

Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som

[math]\displaystyle{ \bar{z} = a - b\,\mathrm i }[/math]

För konjugatet gäller

[math]\displaystyle{ \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\ }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\ }[/math]

[math]\displaystyle{ \left| \overline{z} \right| = \left| z \right| }[/math]

Absolutbeloppet

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som

[math]\displaystyle{ r= \sqrt{a^2 + b^2} }[/math]

eller

[math]\displaystyle{ r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2} }[/math]

För absolutbeloppet gäller

[math]\displaystyle{ |z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2| }[/math]

[math]\displaystyle{ \left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|} }[/math]

Komplexa tal Ma2c: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 21 februari 2019 kl. 22.06

Komplexa tal

Komplexa rötter

Komplexa tal och andragradsekvationer

Exempel 1

Öva online

Uppgift

Vad ska man ha komplexa tal till?

Visualisera komplexa rötter

Texter från högskolan

En wiki med mycket teknik

Bruno Kevius

Fördjupning som hör till Ma4

Konjugatet

Absolutbeloppet

Exit ticket

Navigeringsmeny

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-{|
-|-
-| {{malruta | xxx
-Här undersöker vi xxx.
+__NOTOC__
-}} |
+=Teori=
-| {{sway | [https xxx]}}<br />
+[[Fil:NumberSetinC.svg|alt=|höger|324x324px]]
-{{gleerups| [https xxx] }}<br />
+<br />
-{{matteboken |[https xxx] }}<br />
+{{#ev:youtube|T647CGsuOVU|320|right|Imaginary Numbers Are Real, Part 1: Introduction}}
-|}
+{{malruta | Komplxa tal
+Nu lär vi oss att använda komplxa tal för att lösa andragradsekvationer med ickereella rötter.
+}}
+===Komplexa tal===
+[[Fil:ComplexaTalplanet-3.png|miniatyr|upright=1.2|Det komplexa talplanet (arganddiagram). Varje komplext tal representeras av en realdel (''Re'') och en imaginärdel (''Im'')]]
+De '''komplexa talen''' kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som
+:<math>z\ = a + b\,\mathrm i</math>
+där det reella talet ''a'' är '''realdelen''', det reella talet ''b'' är '''imaginärdelen''' och '''i''' är den imaginära enheten med egenskapen
+:<math>\ \mathrm i^2\ = {-1}</math>
+{{clear}}
-== Teori ==
+===Komplexa rötter===
+{{#ev:youtube|DHoRnxqnWrw|320|right|Komplexa tal}}
+[[File:Complex number illustration.svg|400|right|Complex number illustration]]
+Andragradsekvationer med ickereella rötter uppstår när vi behöver ta roten ur ett negativt tal. Då använder vi komplexa tal. Repetera gärna genom att titta på sidan [https://wikiskola.se/index.php?title=Tal_och_talm%C3%A4ngder Tal och talmängder]
 {{defruta|'''Komplexa tal'''
 <br />
-:<math>\sqrt{-1} = i </math>
 : <math> i^2 = -1 </math>
 <br />
+Det är praktiskt att se det som att
+: <math> i = \sqrt{-1} </math>
+även om det inte är matematiskt korrekt, se engelska Wikipedia om [https://en.wikipedia.org/w/index.php?title{{=}}Imaginary_number&stable{{=}}0#Square_roots_of_negative_numbers Imaginary number].
 Ett komplext tal består av en realdel <math>a</math> och en imaginärdel <math>b</math>.
 <br />
 : <math> z = a + bi </math>
+: <math>Re z = a</math>
+: <math>Im z = b</math>
+Imaginärdelen är ett reellt tal.
+}}
+===Komplexa tal och andragradsekvationer===
+Utifrån den generella beskrivning av andragradsekvationen:
+:<math> x^2 + px + q = 0 </math>
+med lösningen:
+:<math> x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} </math>
+Ser vi att vi får komplexa rötter om diskriminanten
+:<math>  \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} < 0 </math>
+==Exempel 1==
+{{exruta|'''En andragradsekvation har två rötter'''
+En andragradsekvation
+:<math>ax^2 + bx + c = 0, a\neq 0</math>
+har alltid '''två''' rötter. Dessa är
+:<math>x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}</math>
+Om uttrycket under rottecknet är
+* större än noll, är rötterna olika och reella
+* mindre än noll, är rötterna olika och icke-reella
+* lika med noll, är rötterna lika och reella
+}}
+=Exempel=
+{{exruta|
+[http://www.wolframalpha.com/input/?i{{=}}x^2%3D-16 x<sup>2</sup> {{=}} -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa.
+: <math>x^2 = -16</math>
+: <math>x = \pm \sqrt{-16}</math>
+: <math>x = \pm \sqrt{i^2 * 16}</math>
+: <math>x = \pm \sqrt{i^2} * \sqrt{16}</math>
+: <math>x = \pm i * 4</math>
+: <math>x_1 = 4i</math>
+: <math>x_2 = -4i</math>
+[http://www.wolframalpha.com/input/?i{{=}}x%5E2+-4x+%2B13 x<sup>2</sup>-4x+13{{=}}0] har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel.
+: <math> x^2 - 4x + 13 = 0 </math>
+: <math>{{pq-formeln}}</math>
+: <math> x = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{ (\frac{4}{2})^2 - 13 }</math>
+: <math> x = 2 \pm \sqrt{4 - 13} </math>
+: <math> x = 2 \pm \sqrt{-9} </math>
+: <math> x = 2 \pm \sqrt{9*i^2} </math>
+: <math> x = 2 \pm 3i </math>
+: <math> x_1 = 2 +3i</math>
+: <math> x_2 = 2 - 3i</math>
 }}
 <br />
 '''Läs mer:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal på wikipedia]
-=== Vad ska man ha komplexa tal till? ===
+{{clear}}
-{{#ev:youtube|DHoRnxqnWrw|320|right|komplexa tal}}
-* Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
+=Anteckningar=
-** Titta på denna [http://www.tsl.uu.se/~pomp/elektroteknik/del_3_a_liten.pdf ppt från Uppsala].
-** [http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]
-=== Komplexa rötter ===
+<pdf>Fil:Anteckningar_Komplexa_rötter.pdf</pdf>
-[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%3D-16 x<sup>2</sup> = -16] har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.
+=Uppgifter=
+===Öva online===
-[http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B3x%2B16%3D0 x<sup>2</sup>+3x+16=0] har också två komplexa rötter fast här består varje rot av både en realdel och en imaginärdel.
+{{khanruta |  [https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary-and-complex-numbers/adding-and-subtracting-complex-numbers/e/complex_plane_operations Graphically add & subtract complex numbers]
+}}
+===Uppgift===
+{{uppgruta| '''CAS i Geogebra'''
+[[Fil:CSolve.PNG|280px|höger]]
+Lär dig lösa andragradsekvationer med [https://www.geogebra.org/m/yz2ynJMR CAS-modulen i GeoGebra].
+CAS står för [https://en.wikipedia.org/wiki/Computer_algebra_system Computer Algebra System].
+[https://www.geogebra.org/m/ogeMbIiF GeoGebra Quickstart Tutorial].
+}}
+=Relevans=
+===Vad ska man ha komplexa tal till?===
+Förutom det rent teoretiska värdet som komplexa tal har, då de erbjuder ett sätt att uttrycka icke-reella lösningar på andragradsekvationer, så har man stor användning för komplexa tal inom fysiken, bland annat vid beskrivning av vågrörelser inom elektromagnetismens område.
+*Komplexa tal '''används''' när man räknar på växelström.
+**[http://sv.wikipedia.org/wiki/J%CF%89-metoden j-omegametoden]
 {{clear}}
-== [[Inledning komplexa tal]] ==
+=Aktivitet=
-== Aktivitet ==
+===Visualisera komplexa rötter===
-{{uppgruta| '''xxx''''
-}}
+:[https://www.geogebra.org/m/jRfwmrVf Visualisera komplexa rötter]
 <html>
+<iframe scrolling="no" title="Andragradsekvation, Visualisera komplexa rötter." src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/x2kvXvpb/width/839/height/448/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="839px" height="448px" style="border:0px;"> </iframe>
 </html>
-== Lär mer ==
+=Lär mer=
+{| align="right"
+|-
+|{{sway | [https xxx]}}<br />
+|-
+|{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Komplexa_tal Komplexa tal] }}<br />
+|-
+|{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/komplexa-tal Komplexatal] }}<br />
+|}
+===Texter från högskolan===
+*[http://www.eit.lth.se/fileadmin/eit/courses/etia01/1112/Frekvensplanet.pdf Komplexa tal i elläran]
+===En wiki med mycket teknik===
+*[http://wiki.sikvall.se/index.php/J%CF%89-metoden j-omegametoden]
+=== Bruno Kevius ===
+: [http://matmin.kevius.com/komplext.php Komplexa tal]
+===Fördjupning som hör till Ma4===
+{{#ev:youtube | eAr3YbPgrIY | 340 | right |Magnus Rönnholm, CC}}
+====Konjugatet====
+Ett komplext tals konjugat kan bildas genom att spegla dess imaginärdel i ''x''-axeln:
+:[[Fil:ComplexaTalplanet.svg|left|140px]]
+{{clear|left}}
+Konjugatet till ett komplext tal z = a + b i definieras som
+:<math> \bar{z} = a - b\,\mathrm i </math>
+För konjugatet gäller
+:<math>\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} \!\  </math>
+:<math>\overline{zw} = \overline{z}\; \overline{w} \!\  </math>
+:<math>\left| \overline{z} \right| = \left| z \right| </math>
+====Absolutbeloppet====
+Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i kan i det komplexa talplanet tolkas som avståndet från origo till punkten (a, b) och beräknas som
+:<math>r= \sqrt{a^2 + b^2}</math>
+eller
+:<math>r= \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2}</math>
+För absolutbeloppet gäller
+:<math>|z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|</math>
+:<math>\left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|}</math>
+==Exit ticket==
-== Exit ticket ==
+<headertabs />

Komplexa tal Ma2c: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 21 februari 2019 kl. 22.06

Komplexa tal

Komplexa rötter

Komplexa tal och andragradsekvationer

Exempel 1

Öva online

Uppgift

Vad ska man ha komplexa tal till?

Visualisera komplexa rötter

Texter från högskolan

En wiki med mycket teknik

Bruno Kevius

Fördjupning som hör till Ma4

Konjugatet

Absolutbeloppet

Exit ticket

Navigeringsmeny

Sök