Proportionalitet: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(40 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
{|
__NOTOC__
|-
= Teori =
| {{malruta | Definitioner, satser och bevis


Här repeterar vi de definitioner, begrepp och procedurer som du behöver för att räkna uppgifter och lösa problem med procent.
{{#ev:youtube| vBuxL1RIVWI |400|right|Mikael Bondestam om proportionalitet, 2.54 min}}
}} |
| {{sway | [procent]}}<br />
{{gleerups| [ procent] }}<br />
{{matteboken |[ procent] }}<br />
|}


== Teori ==
{{malruta | Proportionalitet


{{#ev:youtube| vBuxL1RIVWI |400|right|Mikael Bondestam om proportionalitet, 2.54 min}}
Vi tittar på hur proportionaliteten är ett specialfall av linjära funktioner.
}}


=== Proportionaliteten är ett specialfall av linjära funktionen ===
=== Direkt proportionalitet  ===


För vilka värden på k och m råder proportionalitet?
[[Fil:Proportionalitet_A-F.png|400|right]]


<html>
Direkt proportionalitet är å ena sida enklare än räta linjen. Det är ett specialfall när m = 0. Det betyder att linjen går genom origo.  
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/CetJspCb/width/726/height/184/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="726px" height="184px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>


<br>
Å andra sidan dyker proportionaliteten upp i en mängd sammanhang i exempelvis fysiken. Här kommer ett sträcka-tid-diagram (st-diagram).


Denna GGB finns på GeoGebraTube och heter [http://www.geogebratube.org/material/show/id/53574 Busenkel linjär funktion]
{| class="wikitable"
|-
! Tid!! Sträcka
|-
| 1|| 12
|-
| 2|| 24
|-
| 3|| 36
|-
| 4|| 48
|-
| 5|| 60
|-
| 6|| 72
|}
{{clear}}


=== Övningar ===
{{defruta| '''Proportionalitet'''


Här är en som är enkel:
Variabeln ''y'' är '''proportionell''' (ibland '''direkt proportionell''') mot variabeln ''x'', om det existerar en konstant '''k''', som är skild från noll, sådan att
:<math>y = kx\,</math>


http://geogebratube.org/student/m23347
Relationen skrivs ofta
:<math>y \propto x</math>


Här är en bra men den ser inte snygg ut i Mac-Kan fixas till.
och den konstanta kvoten
:<math> k =  \frac{y}{x}</math>


http://geogebratube.org/student/m23346
kallas för '''proportionalitetskonstant'''.
}}
<br>
<br>
{{k2}}


''De bör bäddas in i sidan.''
= Exempel =


=== Direkt proportionalitet, 209-212 ===
==== Exempel från fysiken ====
 
==== Teori ====
[[Fil:Proportionalitet_A-F.png|400|right]]


Direkt proportionalitet är å ena sida enklare än räta linjen. Det är ett specialfall när m = 0. Det betyder att linjen går genom origo.  
* Om ett objekt förflyttas med konstant fart, då är det tillryggalagda avståndet proportionellt mot tiden för förflyttningen, med farten som proportionalitetskonstant.
* En cirkels omkrets är proportionell mot dess diameter, med proportionalitetskonstanten π.
* På en skalenlig karta, är avståndet mellan två punkter på kartan proportionerligt mot avståndet mellan de två platserna som punkterna representerar, där proportionalitetskonstanten är kartans skala.
* Den kraft varmed ett objekt påverkas av jordens gravitation vid havsnivå är proportionell mot objektets massa, där proportionalitetskonstanten är gravitationskonstanten.


Å andra sidan dyker proportionaliteten upp i en mängd sammanhang i exempelvis fysiken. Här kommer ett sträcka-tid-diagram (st-diagram). Det är teoriavsnittet i boken sid 209.
==== Exempel på en funktion som inte är proportionell ====


[[Fil:Ex2sid210.png|left]]
{{clear}}
{{clear}}


==== Exempel 1 ====
==== Exempel med timllön ====


Kommer snart
Detta är ett exempel på proportionalitet.
<br />


==== Exempel 2, sid 210 ====
<html>
[[Fil:Ex2sid210.png]]
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/js9r72nR/width/758/height/503/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="758px" height="503px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>


Den interaktiva GeoGebrafilen finns här: [[Ma1C Ex 2 s 210]]
= Aktivitet =


=== Genomgång av Veckodiagnosen ===
=== Kan du de olika representationerna? ===


Vi går igenom uppgift 3 och 5 från [[Media:Veckodiagnos_9.pdf|Diagnos 9]]. Trean kommer nedan men femman var enbart på tavlan.
<html>
<iframe scrolling="no" title="Är det en proportionalitet?" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cQMtTvNj/width/1000/height/516/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="516px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>


'''Uppgift 3''' löd så här:
=== En övning på norska ===


3. Ulla lånar 180 000 för att köpa en bil. Lånet är med rak amortering på sex år och räntan är 5,6 %. Hur mycket måste Ulla betala varje månad?
<html>
<iframe scrolling="no" title="Ligefrem proportionalitet" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/QYevvHg2/width/775/height/373/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="775px" height="373px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>


Detta kan bli en mycket jobbig uppgift om man ska ge ett svar för varje månad. Det är ju 72 månader på sex år. Här får man själv göra några avgränsningar av uppgiften så att den blir rimlig.
= Uppgifter =


Till att börja med kan man ju visa att man förstår att rak amortering innebär att beloppet delas upp i lika stora delar per månad.
=== Proportionaliteten är ett specialfall av linjära funktionen ===


180 000 / 6 = 30 000 kr per år
För vilka värden på k och m råder proportionalitet?
30 000 /12 = 2 500 per månad i amortering


Till detta kommer en ränta på det kvarvarande beloppet. Räntan kommer därför att sjunka månad för månad.
<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/CetJspCb/width/726/height/184/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="726px" height="184px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>


Här kan det räcka med att visa vad räntan blir för två eller tre månade, exempelvis efter en månad, 12 månader och 24 månader.
<br>


'''Excel'''
Denna GGB finns på GeoGebraTube och heter [http://www.geogebratube.org/material/show/id/53574 Busenkel linjär funktion]


Om man vill kan man göra en [[Media:Rak_amorteringOO.xls|kalkyl i Excel]] över lånekostnaden månad för månad.
=== Uppgiftsblad ===


'''Algebraisk lösning av uppgift 3'''
Finns på Canvas och heter: '''Öva proportionalitet'''


180 000 kr ==> Amortering 2500 per månad
= Lär mer =
ränta 5.6 % ==> förändringsfaktorn 1.056


månad    lån [tKr]        räntekostnad          att betala
{| wikitable align=right
  1        180              180*1.056            2500+180*1.056
|-
  2        177.5            177.5*1.056          2500+177.5*1.056
| {{sway | [https://sway.com/7OK0zsz11XF6xpmR?ref{{=}}Link Proportionalitet]}}<br />
  3        175              175*1.056            2500+175*1.056
{{wplink| [https://en.wikipedia.org/wiki/Proportionality_(mathematics) Proportionality] }}<br />
  ..
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/funktioner/linjara-funktioner Linjära funktioner inte explicit Proportionalitet] }}<br />
  n        180-2500(n-1)    180-2500(n-1)*1.056  2500+(180-2500(n-1))*1.056
|}


Månadskostnaden för månad nummer n är alltså 2500+(180-2500(n-1))*1.056
=== Kunskapsmatrisen ===


=== Intro -  Fritt fall ===
Lös gärna många uppgifter i Kunskapsmatrisen


[[onskebrunnen|Önskebrunnen på Tom Tits]]
== Lös och läs - Tristan och Isolde ===
 
== Lär mer ==
 
=== Lös och läs - Tristan och Isolde ===


[[Kluring_läxa:_Tristan_och_Isolde|Tristan och Isolde]]
[[Kluring_läxa:_Tristan_och_Isolde|Tristan och Isolde]]
Rad 108: Rad 125:
== Exit ticket ==
== Exit ticket ==


Gån in på [https://kahoot.it/ Kahoot]. Du får en PIN-kod av din lärare.
Gå in på [https://kahoot.it/ Kahoot]. Du får en PIN-kod av din lärare.
 
<headertabs />

Nuvarande version från 20 november 2019 kl. 22.30

[redigera]
Load video
YouTube
Mikael Bondestam om proportionalitet, 2.54 min
Mål för undervisningen Proportionalitet

Vi tittar på hur proportionaliteten är ett specialfall av linjära funktioner.


Direkt proportionalitet

400
400

Direkt proportionalitet är å ena sida enklare än räta linjen. Det är ett specialfall när m = 0. Det betyder att linjen går genom origo.

Å andra sidan dyker proportionaliteten upp i en mängd sammanhang i exempelvis fysiken. Här kommer ett sträcka-tid-diagram (st-diagram).

Tid Sträcka
1 12
2 24
3 36
4 48
5 60
6 72
Definition
Proportionalitet

Variabeln y är proportionell (ibland direkt proportionell) mot variabeln x, om det existerar en konstant k, som är skild från noll, sådan att

[math]\displaystyle{ y = kx\, }[/math]

Relationen skrivs ofta

[math]\displaystyle{ y \propto x }[/math]

och den konstanta kvoten

[math]\displaystyle{ k = \frac{y}{x} }[/math]

kallas för proportionalitetskonstant.



Fungerande läromedel: Den här sidan används i undervisning men behöver redigering och kanske mer innehåll. Hjälp gärna till att förbättra den! Kontakt


[redigera]

Exempel från fysiken

  • Om ett objekt förflyttas med konstant fart, då är det tillryggalagda avståndet proportionellt mot tiden för förflyttningen, med farten som proportionalitetskonstant.
  • En cirkels omkrets är proportionell mot dess diameter, med proportionalitetskonstanten π.
  • På en skalenlig karta, är avståndet mellan två punkter på kartan proportionerligt mot avståndet mellan de två platserna som punkterna representerar, där proportionalitetskonstanten är kartans skala.
  • Den kraft varmed ett objekt påverkas av jordens gravitation vid havsnivå är proportionell mot objektets massa, där proportionalitetskonstanten är gravitationskonstanten.

Exempel på en funktion som inte är proportionell

Exempel med timllön

Detta är ett exempel på proportionalitet.

[redigera]

Kan du de olika representationerna?

En övning på norska

[redigera]

Proportionaliteten är ett specialfall av linjära funktionen

För vilka värden på k och m råder proportionalitet?


Denna GGB finns på GeoGebraTube och heter Busenkel linjär funktion

Uppgiftsblad

Finns på Canvas och heter: Öva proportionalitet

[redigera]
Swayen till detta avsnitt: Proportionalitet


Wikipedia Proportionality


Läs om Linjära funktioner inte explicit Proportionalitet


Kunskapsmatrisen

Lös gärna många uppgifter i Kunskapsmatrisen

Lös och läs - Tristan och Isolde =

Tristan och Isolde

Exit ticket

Gå in på Kahoot. Du får en PIN-kod av din lärare.

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Proportionalitet&oldid=53250”