Funktionsbegreppet: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(38 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
== Funktions-, definitions- och värdemängd ==
__NOTOC__
= Teori=


{|
{{malruta | '''Funktions-, definitions- och värdemängd'''
|-
| {{malruta | Definitioner, satser och bevis


Här du lär dig vad definitionsmängd och värdemängd är.
Här du lär dig vad definitionsmängd och värdemängd är.
Rad 10: Rad 9:


Det finns flera representationer av en funktion; algebraisk, graf, tabell och med ord.
Det finns flera representationer av en funktion; algebraisk, graf, tabell och med ord.
}} |
}}
| {{sway | [procent]}}<br />
 
{{gleerups| [ procent] }}<br />
== Funktions-, definitions- och värdemängd ==
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/funktioner/funktionsbegreppet Funktionsbegreppet] }}<br />
|}


== Teori==
[[Fil:Function machine2-sv.svg|miniatyr|höger|En funktion ''f'' tar ett invärde ''x'', och returnerar ett utvärde ''f(x)''. En liknelse är att beskriva funktionen som en maskin eller hemlig låda som för vissa invärden returnerar bestämda utvärden.]]


Det mesta av det här teoriavsnittet är lånat (med CC) från [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/funktioner/funktionsbegreppet matteboken.se].
Det mesta av det här teoriavsnittet är lånat (med CC) från [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/funktioner/funktionsbegreppet matteboken.se].
Rad 25: Rad 22:
En funktion är ett samband, en regel. Den kan liknas vid en maskin, där man stoppar in ett värde i ena änden, som vi till exempel kan kalla x, och får ut ett annat värde i andra änden, som vi till exempel kan kalla y. Det värde vi får ut, kallar vi funktionsvärdet.
En funktion är ett samband, en regel. Den kan liknas vid en maskin, där man stoppar in ett värde i ena änden, som vi till exempel kan kalla x, och får ut ett annat värde i andra änden, som vi till exempel kan kalla y. Det värde vi får ut, kallar vi funktionsvärdet.
För att visa att y verkligen beror av x (att y är den beroende variabeln) brukar man skriva
För att visa att y verkligen beror av x (att y är den beroende variabeln) brukar man skriva
: y=y(x)
:<math> y=y(x)</math>


Detta utläses som att "y är en funktion av x", eller kort, "y av x". I vårt exempel med Annas lön skulle detta kunna skrivas så här:
Detta utläses som att "y är en funktion av x", eller kort, "y av x". I vårt exempel med Annas lön skulle detta kunna skrivas så här:
: y(x)=80x
: <math>y(x)=80 x</math>


En vanligt förekommande beteckning för funktioner som beror av en variabel x är f(x).
En vanligt förekommande beteckning för funktioner som beror av en variabel x är f(x).
: <math>f(x)=80 x</math>


=== Definitionsmängd och värdemängd  ===
=== Definitionsmängd och värdemängd  ===
{{Lm1c | 201-203 }}
 
{{#ev:youtube| lpRzDdmDkAE |300 |right|En film av Mikael Bondestam om Linjära funktioners definitionsmängd och värdemängd}}
{{#ev:youtube| lpRzDdmDkAE |300 |right|En film av Mikael Bondestam om Linjära funktioners definitionsmängd och värdemängd}}


{{defruta| '''Definitions- och värdemängd'''
{{defruta| '''Definitions- och värdemängd'''


Det endast finns vissa värden på x där funktionen gäller - eller som det heter, där funktionen är definierad. Man brukar kalla alla tillåtna x-värden för funktionens '''definitionsmängd'''; detta är den mängd av värden på den oberoende variabeln, i detta fall x, som är tillåtna.
Då det endast finns vissa värden på x där funktionen gäller - eller som det heter, där funktionen är definierad. Man brukar kalla alla tillåtna x-värden för funktionens '''definitionsmängd'''; detta är den mängd av värden på den oberoende variabeln, i detta fall x, som är tillåtna.


Varje tillåtet värde på x-axeln motsvarar ett specifikt värde på y-axeln. Alla möjliga värden på y kallas för funktionens '''värdemängd''' - värdemängden är de värden som funktionen kan anta.
Varje tillåtet värde på x-axeln motsvarar ett specifikt värde på y-axeln. Alla möjliga värden på y kallas för funktionens '''värdemängd''' - värdemängden är de värden som funktionen kan anta.}}
{{clear}}
{{clear}}


=== Representation av en funktion med  algebra, graf, tabell och med ord ===
= Exempel =


En funktion kan beskrivas på flera olika sätt. Det vi tidigare har sett är beskrivning med hjälp av en formel, som i fallet här ovanför med Annas lön som kunde beskrivas med funktionen
=== Värdemängd ===
y(x)=80x
y(x)=80x
Vi kan också uttrycka funktionen med hjälp av ord. Vårt exempel blir då att funktionen för den totala lönen fås av att multiplicera timlönen, 80 kronor, med antalet timmar Anna arbetat.
Man kan också beskriva funktionen med hjälp av en värdetabell:


{| class="wikitable"
{{uppgfacit|
|-
Vilken värdemängd har funktionen <math>f(x) = 2x+3</math> med definitionsmängden <math>1≤x≤7</math>.
! Antal timmar: x!! Total lön: y
|
|-
[5, 17]
| 1|| 80
}}
|-
 
| 2|| 160
=== Definitionsmängd ===
|-
 
| 3|| 240
{{uppgfacit|
|-
Vilken är definitionsmängden för funktionen <math>f(x)=2x+1</math> då värdemängden ges av <math>5≤f(x)≤17</math>.
| 4|| 320
|
|-
[2, 8]
| 5|| 400
}}
|}
 
 
En funktion kan också beskrivas med hjälp av att funktionens graf åskådliggörs i ett koordinatsystem, som för vår funktion kan se ut så här:
Uppgifterna kommer från [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/funktioner/funktionsbegreppet/uppgifter#/exercises/9200/9202 Matteboke.se]
 
=== Grafiskt ===
 
[[Fil:Def o värdemängd.JPG|400px|vänster]]
 
vad har funktionen för definitions- och värdemängd?
{{clear}}


== Aktivitet ==
= Aktivitet =


Nu kan du öva dig i att rita grafer för andragradsfunktioner på olika sätt i GeoGebra samtidigt som du lär dig vad definitionsmängd och värdemängd är.
Nu kan du öva dig i att rita grafer för andragradsfunktioner på olika sätt i GeoGebra samtidigt som du lär dig vad definitionsmängd och värdemängd är.


==== Exempel med andragradsfunktioner ====
==== Exempel med andragradsfunktioner ====
{{Lm1c | 196-200 }}
 
{{exruta| Tre sätt att rita en andragradsfunktion
{{exruta| Tre sätt att rita en andragradsfunktion


Följande GeoGebrafil har jag gjort själv. Den visar tre sätt att rita parabler.  
Följande GeoGebrafil har jag gjort själv. Den visar tre sätt att rita parabler.  
# genom att mata in ordet polynomial samt ange tre punkter  
# genom att mata in ordet polynomial samt ange tre punkter  
# genom att angen linje och en punkt (styrlinje och brännpunkt
# genom att ange linje och en punkt (styrlinje och brännpunkt) till kommandot parabola
# genom att ange funktionen (inklusive start och stoppvärden {{=}} definitionsmängd)
# genom att ange funktionen (inklusive start och stoppvärden {{=}} definitionsmängd). skriv helt enkelt func i GeoGebra och du får förslag på kommando.


}}
}}
Rad 89: Rad 90:
Filen finns på GeoGebraTube och heter [http://www.geogebratube.org/material/show/id/53577 Funktionsbegreppet med parabler.]
Filen finns på GeoGebraTube och heter [http://www.geogebratube.org/material/show/id/53577 Funktionsbegreppet med parabler.]


== Lär mer ==
==== Diskutera ålder ====


{{#ev:youtube| SQRhX281QT0| 300|right|Mikael Bondestam ger en introduktion till funktioner}}
{{uppgruta | '''När är du född och hur gammal är du?'''
{{clear}}
 
Skriv ditt födelsedatum på formen åå-mm-dd. Vilka värden har variablerna åå, mm, dd i ditt fall?
 
Skriv ett uttryck för din ålder n som funktion av åå, mm, dd.
 
Ange definitionsmängderna för åå, mm, dd.
 
Diskutera er fram till en lämplig värdemängd.
}}
 
= Uppgifter =
 
Canvas: '''Öva definitions- och värdemängd'''
 
<pdf>Fil:Öva_definitions-_och_värdemängd.pdf</pdf>
 
= Lär mer =
 
{| wikitable align=right
|-
| |
| {{sway | [https://sway.com/e0Ux5HnD0aE6SNZW?re{{=}}Link Sway om funktionsbegreppet]}}<br />
{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Definitionsm%C3%A4ngd Definitionsmängd] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/funktioner/funktionsbegreppet Funktionsbegreppet] }}<br />
|}


== Exit ticket ==
== Exit ticket ==
{{clear}}
<headertabs />

Nuvarande version från 18 november 2019 kl. 10.45

[redigera]
Mål för undervisningen Funktions-, definitions- och värdemängd

Här du lär dig vad definitionsmängd och värdemängd är.

Dessutom lär du dig om olika funktioner och vad en funktion är.

Det finns flera representationer av en funktion; algebraisk, graf, tabell och med ord.


Funktions-, definitions- och värdemängd

En funktion f tar ett invärde x, och returnerar ett utvärde f(x). En liknelse är att beskriva funktionen som en maskin eller hemlig låda som för vissa invärden returnerar bestämda utvärden.

Det mesta av det här teoriavsnittet är lånat (med CC) från matteboken.se.

Vad är en funktion?

För varje värde på x finns det exakt ett värde på y, och det värdet beror på värdet av x - ändras värdet på x, så ändras också värdet på y. Därför kallas y för den beroende variabeln och x för den oberoende variabeln; värdet på variabeln y är beroende av vilket värdet är på x. En funktion är ett samband, en regel. Den kan liknas vid en maskin, där man stoppar in ett värde i ena änden, som vi till exempel kan kalla x, och får ut ett annat värde i andra änden, som vi till exempel kan kalla y. Det värde vi får ut, kallar vi funktionsvärdet. För att visa att y verkligen beror av x (att y är den beroende variabeln) brukar man skriva

[math]\displaystyle{ y=y(x) }[/math]

Detta utläses som att "y är en funktion av x", eller kort, "y av x". I vårt exempel med Annas lön skulle detta kunna skrivas så här:

[math]\displaystyle{ y(x)=80 x }[/math]

En vanligt förekommande beteckning för funktioner som beror av en variabel x är f(x).

[math]\displaystyle{ f(x)=80 x }[/math]

Definitionsmängd och värdemängd

Load video
YouTube
En film av Mikael Bondestam om Linjära funktioners definitionsmängd och värdemängd
Definition
Definitions- och värdemängd

Då det endast finns vissa värden på x där funktionen gäller - eller som det heter, där funktionen är definierad. Man brukar kalla alla tillåtna x-värden för funktionens definitionsmängd; detta är den mängd av värden på den oberoende variabeln, i detta fall x, som är tillåtna.

Varje tillåtet värde på x-axeln motsvarar ett specifikt värde på y-axeln. Alla möjliga värden på y kallas för funktionens värdemängd - värdemängden är de värden som funktionen kan anta.

[redigera]

Värdemängd

Uppgift:

Vilken värdemängd har funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = 2x+3 }[/math] med definitionsmängden [math]\displaystyle{ 1≤x≤7 }[/math].

Facit: (klicka expandera till höger)

[5, 17]



Definitionsmängd

Uppgift:

Vilken är definitionsmängden för funktionen [math]\displaystyle{ f(x)=2x+1 }[/math] då värdemängden ges av [math]\displaystyle{ 5≤f(x)≤17 }[/math].

Facit: (klicka expandera till höger)

[2, 8]



Uppgifterna kommer från Matteboke.se

Grafiskt

vad har funktionen för definitions- och värdemängd?

[redigera]

Nu kan du öva dig i att rita grafer för andragradsfunktioner på olika sätt i GeoGebra samtidigt som du lär dig vad definitionsmängd och värdemängd är.

Exempel med andragradsfunktioner

Exempel
Tre sätt att rita en andragradsfunktion

Följande GeoGebrafil har jag gjort själv. Den visar tre sätt att rita parabler.

  1. genom att mata in ordet polynomial samt ange tre punkter
  2. genom att ange linje och en punkt (styrlinje och brännpunkt) till kommandot parabola
  3. genom att ange funktionen (inklusive start och stoppvärden = definitionsmängd). skriv helt enkelt func i GeoGebra och du får förslag på kommando.




Filen finns på GeoGebraTube och heter Funktionsbegreppet med parabler.

Diskutera ålder

Uppgift
När är du född och hur gammal är du?

Skriv ditt födelsedatum på formen åå-mm-dd. Vilka värden har variablerna åå, mm, dd i ditt fall?

Skriv ett uttryck för din ålder n som funktion av åå, mm, dd.

Ange definitionsmängderna för åå, mm, dd.

Diskutera er fram till en lämplig värdemängd.


[redigera]

Canvas: Öva definitions- och värdemängd

[redigera]
Swayen till detta avsnitt: Sway om funktionsbegreppet


Wikipedia Definitionsmängd


Läs om Funktionsbegreppet


Exit ticket

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Funktionsbegreppet&oldid=53212”