Funktionsbegreppet

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
[redigera]
Target 10 points.svg
Mål för undervisningen Funktions-, definitions- och värdemängd

Här du lär dig vad definitionsmängd och värdemängd är.

Dessutom lär du dig om olika funktioner och vad en funktion är.

Det finns flera representationer av en funktion; algebraisk, graf, tabell och med ord.


Funktions-, definitions- och värdemängd

En funktion f tar ett invärde x, och returnerar ett utvärde f(x). En liknelse är att beskriva funktionen som en maskin eller hemlig låda som för vissa invärden returnerar bestämda utvärden.

Det mesta av det här teoriavsnittet är lånat (med CC) från matteboken.se.

Vad är en funktion?

För varje värde på x finns det exakt ett värde på y, och det värdet beror på värdet av x - ändras värdet på x, så ändras också värdet på y. Därför kallas y för den beroende variabeln och x för den oberoende variabeln; värdet på variabeln y är beroende av vilket värdet är på x. En funktion är ett samband, en regel. Den kan liknas vid en maskin, där man stoppar in ett värde i ena änden, som vi till exempel kan kalla x, och får ut ett annat värde i andra änden, som vi till exempel kan kalla y. Det värde vi får ut, kallar vi funktionsvärdet. För att visa att y verkligen beror av x (att y är den beroende variabeln) brukar man skriva

[math] y=y(x)[/math]

Detta utläses som att "y är en funktion av x", eller kort, "y av x". I vårt exempel med Annas lön skulle detta kunna skrivas så här:

[math]y(x)=80 x[/math]

En vanligt förekommande beteckning för funktioner som beror av en variabel x är f(x).

Definitionsmängd och värdemängd

En film av Mikael Bondestam om Linjära funktioners definitionsmängd och värdemängd
Definition
Definitions- och värdemängd

Det endast finns vissa värden på x där funktionen gäller - eller som det heter, där funktionen är definierad. Man brukar kalla alla tillåtna x-värden för funktionens definitionsmängd; detta är den mängd av värden på den oberoende variabeln, i detta fall x, som är tillåtna.

Varje tillåtet värde på x-axeln motsvarar ett specifikt värde på y-axeln. Alla möjliga värden på y kallas för funktionens värdemängd - värdemängden är de värden som funktionen kan anta.

Representation av en funktion med algebra, graf, tabell och med ord

Mikael Bondestam ger en introduktion till funktioner

En funktion kan beskrivas på flera olika sätt. Det vi tidigare har sett är beskrivning med hjälp av en formel, som i fallet här ovanför med Annas lön som kunde beskrivas med funktionen

[math]y(x) = 80 x [/math]

Vi kan också uttrycka funktionen med hjälp av ord. Vårt exempel blir då att funktionen för den totala lönen fås av att multiplicera timlönen, 80 kronor, med antalet timmar Anna arbetat.

Man kan också beskriva funktionen med hjälp av en värdetabell:

Antal timmar: x Total lön: y
1 80
2 160
3 240
4 320
5 400

En funktion kan också beskrivas med hjälp av att funktionens graf som åskådliggörs i ett koordinatsystem.

Värdemängd

20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Uppgift:

Funktionen [math]f(x) = 2x+3[/math] gäller för definitionsmängden [math]1≤x≤7[/math].

Facit: (klicka expandera till höger)

[5, 17]



Definitionsmängd

20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Uppgift:

Funktionen [math]f(x)=2x+1[/math] har värdemängden [math]5≤f(x)≤17[/math].

Facit: (klicka expandera till höger)

[2, 8]



Uppgifterna kommer från Matteboke.se

Grafiskt

Def_o_värdemängd.JPG

vad har funktionen för definitions- och värdemängd?

Nu kan du öva dig i att rita grafer för andragradsfunktioner på olika sätt i GeoGebra samtidigt som du lär dig vad definitionsmängd och värdemängd är.

Exempel med andragradsfunktioner

Exempel
Tre sätt att rita en andragradsfunktion

Följande GeoGebrafil har jag gjort själv. Den visar tre sätt att rita parabler.

  1. genom att mata in ordet polynomial samt ange tre punkter
  2. genom att ange linje och en punkt (styrlinje och brännpunkt) till kommandot parabola
  3. genom att ange funktionen (inklusive start och stoppvärden = definitionsmängd). skriv helt enkelt func i GeoGebra och du får förslag på kommando.




Filen finns på GeoGebraTube och heter Funktionsbegreppet med parabler.

Diskutera ålder

Uppgift
När är du född och hur gammal är du?

Skriv ditt födelsedatum på formen åå-mm-dd. Vilka värden har variablerna åå, mm, dd i ditt fall?

Skriv ett uttryck för din ålder n som funktion av åå, mm, dd.

Ange definitionsmängderna för åå, mm, dd.

Diskutera er fram till en lämplig värdemängd.


Canvas: Öva definitions- och värdemängd

Sway logo.svg
Swayen till detta avsnitt: Sway om funktionsbegreppet


20px-Tango style Wikipedia Icon.svg.png
Wikipedia Definitionsmängd



Exit ticket