Funktionsbegreppet: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
Ingen redigeringssammanfattning
 
(53 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__
= Teori=
{{malruta | '''Funktions-, definitions- och värdemängd'''
Här du lär dig vad definitionsmängd och värdemängd är.
Dessutom lär du dig om olika funktioner och vad en funktion är.
Det finns flera representationer av en funktion; algebraisk, graf, tabell och med ord.
}}
== Funktions-, definitions- och värdemängd ==
== Funktions-, definitions- och värdemängd ==


{|
[[Fil:Function machine2-sv.svg|miniatyr|höger|En funktion ''f'' tar ett invärde ''x'', och returnerar ett utvärde ''f(x)''. En liknelse är att beskriva funktionen som en maskin eller hemlig låda som för vissa invärden returnerar bestämda utvärden.]]
|-
 
| {{malruta | Definitioner, satser och bevis
Det mesta av det här teoriavsnittet är lånat (med CC) från [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/funktioner/funktionsbegreppet matteboken.se].
 
=== Vad är en funktion? ===
 
För varje värde på x finns det exakt ett värde på y, och det värdet beror på värdet av x - ändras värdet på x, så ändras också värdet på y. Därför kallas y för den beroende variabeln och x för den oberoende variabeln; värdet på variabeln y är beroende av vilket värdet är på x.
En funktion är ett samband, en regel. Den kan liknas vid en maskin, där man stoppar in ett värde i ena änden, som vi till exempel kan kalla x, och får ut ett annat värde i andra änden, som vi till exempel kan kalla y. Det värde vi får ut, kallar vi funktionsvärdet.
För att visa att y verkligen beror av x (att y är den beroende variabeln) brukar man skriva
:<math> y=y(x)</math>
 
Detta utläses som att "y är en funktion av x", eller kort, "y av x". I vårt exempel med Annas lön skulle detta kunna skrivas så här:
: <math>y(x)=80 x</math>
 
En vanligt förekommande beteckning för funktioner som beror av en variabel x är f(x).
: <math>f(x)=80 x</math>
 
=== Definitionsmängd och värdemängd  ===
 
{{#ev:youtube| lpRzDdmDkAE |300 |right|En film av Mikael Bondestam om Linjära funktioners definitionsmängd och värdemängd}}
 
{{defruta| '''Definitions- och värdemängd'''
 
Då det endast finns vissa värden på x där funktionen gäller - eller som det heter, där funktionen är definierad. Man brukar kalla alla tillåtna x-värden för funktionens '''definitionsmängd'''; detta är den mängd av värden på den oberoende variabeln, i detta fall x, som är tillåtna.
 
Varje tillåtet värde på x-axeln motsvarar ett specifikt värde på y-axeln. Alla möjliga värden på y kallas för funktionens '''värdemängd''' - värdemängden är de värden som funktionen kan anta.}}
{{clear}}
 
= Exempel =
 
=== Värdemängd ===
 
{{uppgfacit|
Vilken värdemängd har funktionen <math>f(x) = 2x+3</math> med definitionsmängden <math>1≤x≤7</math>.
|
[5, 17]
}}
 
=== Definitionsmängd ===
 
{{uppgfacit|
Vilken är definitionsmängden för funktionen <math>f(x)=2x+1</math> då värdemängden ges av <math>5≤f(x)≤17</math>.
|
[2, 8]
}}
 
 
Uppgifterna kommer från [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/funktioner/funktionsbegreppet/uppgifter#/exercises/9200/9202 Matteboke.se]
 
=== Grafiskt ===
 
[[Fil:Def o värdemängd.JPG|400px|vänster]]
 
vad har funktionen för definitions- och värdemängd?
{{clear}}
 
= Aktivitet =
 
Nu kan du öva dig i att rita grafer för andragradsfunktioner på olika sätt i GeoGebra samtidigt som du lär dig vad definitionsmängd och värdemängd är.


Här repeterar vi de definitioner, begrepp och procedurer som du behöver för att räkna uppgifter och lösa problem med procent.
==== Exempel med andragradsfunktioner ====
}} |
| {{sway | [procent]}}<br />
{{gleerups| [ procent] }}<br />
{{matteboken |[ procent] }}<br />
|}


{{exruta| Tre sätt att rita en andragradsfunktion


== Aktivitet ==
=== Vad är en funktion? 196-200 ===
Följande GeoGebrafil har jag gjort själv. Den visar tre sätt att rita parabler.  
Följande GeoGebrafil har jag gjort själv. Den visar tre sätt att rita parabler.  
genom att mata in ordet parabel samt ange tre punkter  
# genom att mata in ordet polynomial samt ange tre punkter  
genom att angen linje och en punkt (styrlinje och brännpunkt
# genom att ange linje och en punkt (styrlinje och brännpunkt) till kommandot parabola
genom att ange funktionen (inklusive start och stoppvärden = definitionsmängd)
# genom att ange funktionen (inklusive start och stoppvärden {{=}} definitionsmängd). skriv helt enkelt func i GeoGebra och du får förslag på kommando.


Observera att de tre punkterna I, G, H på den blå parabeln motsvarar lösningen på Exempel 1 i boken sidan 197.
}}


<html>
<html>
Rad 29: Rad 90:
Filen finns på GeoGebraTube och heter [http://www.geogebratube.org/material/show/id/53577 Funktionsbegreppet med parabler.]
Filen finns på GeoGebraTube och heter [http://www.geogebratube.org/material/show/id/53577 Funktionsbegreppet med parabler.]


=== Definitionsmängd och värdemängd, 201-203 ===
==== Diskutera ålder ====
{{flipped2 | lpRzDdmDkAE |En film av Mikael Bondestam om
 
Linjära funktioners definitionsmängd och värdemängd
{{uppgruta | '''När är du född och hur gammal är du?'''
 
Skriv ditt födelsedatum på formen åå-mm-dd. Vilka värden har variablerna åå, mm, dd i ditt fall?
 
Skriv ett uttryck för din ålder n som funktion av åå, mm, dd.
 
Ange definitionsmängderna för åå, mm, dd.
 
Diskutera er fram till en lämplig värdemängd.
}}
}}


== Lär mer ==
= Uppgifter =


{{#ev:youtube| SQRhX281QT0| 300|right|Mikael Bondestam ger en introduktion till funktioner}}
Canvas: '''Öva definitions- och värdemängd'''
 
<pdf>Fil:Öva_definitions-_och_värdemängd.pdf</pdf>
 
= Lär mer =
 
{| wikitable align=right
|-
|  |
| {{sway | [https://sway.com/e0Ux5HnD0aE6SNZW?re{{=}}Link Sway om funktionsbegreppet]}}<br />
{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Definitionsm%C3%A4ngd Definitionsmängd] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/funktioner/funktionsbegreppet Funktionsbegreppet] }}<br />
|}


== Exit ticket ==
== Exit ticket ==
{{clear}}
<headertabs />

Nuvarande version från 18 november 2019 kl. 10.45

[redigera]
Mål för undervisningen Funktions-, definitions- och värdemängd

Här du lär dig vad definitionsmängd och värdemängd är.

Dessutom lär du dig om olika funktioner och vad en funktion är.

Det finns flera representationer av en funktion; algebraisk, graf, tabell och med ord.


Funktions-, definitions- och värdemängd

En funktion f tar ett invärde x, och returnerar ett utvärde f(x). En liknelse är att beskriva funktionen som en maskin eller hemlig låda som för vissa invärden returnerar bestämda utvärden.

Det mesta av det här teoriavsnittet är lånat (med CC) från matteboken.se.

Vad är en funktion?

För varje värde på x finns det exakt ett värde på y, och det värdet beror på värdet av x - ändras värdet på x, så ändras också värdet på y. Därför kallas y för den beroende variabeln och x för den oberoende variabeln; värdet på variabeln y är beroende av vilket värdet är på x. En funktion är ett samband, en regel. Den kan liknas vid en maskin, där man stoppar in ett värde i ena änden, som vi till exempel kan kalla x, och får ut ett annat värde i andra änden, som vi till exempel kan kalla y. Det värde vi får ut, kallar vi funktionsvärdet. För att visa att y verkligen beror av x (att y är den beroende variabeln) brukar man skriva

[math]\displaystyle{ y=y(x) }[/math]

Detta utläses som att "y är en funktion av x", eller kort, "y av x". I vårt exempel med Annas lön skulle detta kunna skrivas så här:

[math]\displaystyle{ y(x)=80 x }[/math]

En vanligt förekommande beteckning för funktioner som beror av en variabel x är f(x).

[math]\displaystyle{ f(x)=80 x }[/math]

Definitionsmängd och värdemängd

Load video
YouTube
En film av Mikael Bondestam om Linjära funktioners definitionsmängd och värdemängd
Definition
Definitions- och värdemängd

Då det endast finns vissa värden på x där funktionen gäller - eller som det heter, där funktionen är definierad. Man brukar kalla alla tillåtna x-värden för funktionens definitionsmängd; detta är den mängd av värden på den oberoende variabeln, i detta fall x, som är tillåtna.

Varje tillåtet värde på x-axeln motsvarar ett specifikt värde på y-axeln. Alla möjliga värden på y kallas för funktionens värdemängd - värdemängden är de värden som funktionen kan anta.

[redigera]

Värdemängd

Uppgift:

Vilken värdemängd har funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = 2x+3 }[/math] med definitionsmängden [math]\displaystyle{ 1≤x≤7 }[/math].

Facit: (klicka expandera till höger)

[5, 17]



Definitionsmängd

Uppgift:

Vilken är definitionsmängden för funktionen [math]\displaystyle{ f(x)=2x+1 }[/math] då värdemängden ges av [math]\displaystyle{ 5≤f(x)≤17 }[/math].

Facit: (klicka expandera till höger)

[2, 8]



Uppgifterna kommer från Matteboke.se

Grafiskt

vad har funktionen för definitions- och värdemängd?

[redigera]

Nu kan du öva dig i att rita grafer för andragradsfunktioner på olika sätt i GeoGebra samtidigt som du lär dig vad definitionsmängd och värdemängd är.

Exempel med andragradsfunktioner

Exempel
Tre sätt att rita en andragradsfunktion

Följande GeoGebrafil har jag gjort själv. Den visar tre sätt att rita parabler.

  1. genom att mata in ordet polynomial samt ange tre punkter
  2. genom att ange linje och en punkt (styrlinje och brännpunkt) till kommandot parabola
  3. genom att ange funktionen (inklusive start och stoppvärden = definitionsmängd). skriv helt enkelt func i GeoGebra och du får förslag på kommando.




Filen finns på GeoGebraTube och heter Funktionsbegreppet med parabler.

Diskutera ålder

Uppgift
När är du född och hur gammal är du?

Skriv ditt födelsedatum på formen åå-mm-dd. Vilka värden har variablerna åå, mm, dd i ditt fall?

Skriv ett uttryck för din ålder n som funktion av åå, mm, dd.

Ange definitionsmängderna för åå, mm, dd.

Diskutera er fram till en lämplig värdemängd.


[redigera]

Canvas: Öva definitions- och värdemängd

[redigera]
Swayen till detta avsnitt: Sway om funktionsbegreppet


Wikipedia Definitionsmängd


Läs om Funktionsbegreppet


Exit ticket

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Funktionsbegreppet&oldid=53212”