Tillämpningar på derivata

'

Teori

Exempel

Ekonomiska modeller

Aktivitet

Uppgifter

Bedömning- derivatans tillämpningar

[redigera]

Om problemlösning med derivator

Titta gärna igen på uppgiften med lådan. Där finns lösningsförslag.

Innan man ger sig i kast med att lösa en uppgift algebraiskt kan det vara bra att bekanta sig med uppgiften.

1. Sammanfatta alla fakta i uppgiften
2. Rita en bild
3. Pröva att gissa en lösning.
4. Testa lite olika värden och se om det finns något mönster eller någon tendens. kanske ser du ungefär var max ligger.
5. Rita en graf
6. Formulera problemet med ord
7. Skriv samband, begränsningar och liknande som uttryck, ex r + h = 12.
8. Skapa ett uttryck även om det innehåller flera variabler.
9. Sätt in samband så att uttrycket beror av endast en variabel.
10. Sätt derivatan lika med noll och hittaextremvärdet
11. Tolka och sammanfatta din lösning.

Metod: Derivatan ger extrempunkterna

Fiffigt sätt att hitta extrempunkter:

1. derivera funktionen
2. sätt derivatan lika med noll
3. lösningens x-värde ger max- eller minpunkten

Repetition till tillämpningar av derivatan

En bra Prezi

[redigera]

Övingsuppgifter och exempel

De här tre lösta exempeluppgifterna ska vi studera för att bekanta oss med några standardproblem vid tillämpning av derivatan vid lösandet av problem med verklighetsanknytning.

Intro - till lådan

Volymen för en A4-cylinder. Praktisk laboration.

Lådan - en praktisk övning

Tag med A4-papper

Cylindern - en tillämpad övning

Lösning i GeoGebra.

[redigera]

https://www.math24.net/optimization-problems-economics/

https://www.ck12.org/section/functions-and-mathematical-models-of-analyzing-functions/

https://www.businessmanagementideas.com/management/models/mathematical-models-used-by-a-corporate-strategy-analyst-management/11329

https://en.wikipedia.org/wiki/Business_model

[redigera]

Uppgift

Fokus på redovisning av uppgifter Börja med att lösa så många uppgifter du kan på egen hand. Ni får även jobba i grupper om max tre personer. Ni ska välja en uppgift lösa den med metoderna som vi visat här. Ni ska ha en algebraisk lösning och en GeoGebra. Du ska vara beredd att visa någon slumpvis lösning för klassen. En kommande lektion får alla grupper presentera sina lösningar med projektor och dator.

[redigera]

Matematiska problem

1. Funktionens max

Rita grafen för funktionen

[math]\displaystyle{ f(x) = - x^2 + 2 x + 1 }[/math]

Var har funktionen sitt största värde?

Derivera funktionen. Lös ekvationen som du får genom att sätta derivatan lika med noll. Hur stämmer ditt x-värde med grafen ovan?

2. Funktionens extrempunkter

När har funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 - 2 x^2 - 3 x + 4 }[/math] sina lokala maximum och minimum?

3. Fler extrempunkter

Bestäm de lokala extrempunkterna till funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^4 - 8x^2 + 0,5 }[/math]

Lös uppgiften först utan dator eller miniräknare sedan verifiera din lösning med GeoGebra

4. Avståndet mellan graferna

Vilket är det största avståndet (i y-led) mellan graferna i området mellan skärningspunkterna?

Extrauppgift. Ovanstående uppgift var enkel på det viset att x-termerna tog ut varandra. Skapa en svårare uppgift med andra funktioner. Du behöver inte hålla dig till andragradsfunktioner.

GGB-filen ligger på GeoGebraTube.

5. Den inneslutna rektangeln

Rita t. ex. GeoGebra en rektangel som är innesluten av kurvan [math]\displaystyle{ y = 9 - x^2 }[/math] i första kvadranten.

a. Bestäm funktionen för rektangelns area [math]\displaystyle{ A(x) }[/math]

b. Bestäm den största värdet som rektangeln kan anta.

Tillämpade problem

6. Varför vinner kvadraten?

Fence twig

Ett klassiskt problem är detta.

Tänk dig att du har ett staket som är 100 m långt och du ska hägna in ett så stort område som möjligt. Du får välja mellan olika breda rektanglar och en kvadrat.

7. Maximera hagen om den står mot en vägg

Nu har vi 70 m staket men denna gång bygger vi hagen mot en ladugårdsvägg. Tre sidor staket och en vägg. Ladan är 35 meter lång.

Vilka mått har den största möjliga hagen?

8. Cylinderns begränsningsarea - Konservburken

Empty tin can2009-01-19

Facit: (klicka expandera till höger)

Volymen tecknas [math]\displaystyle{ V(r) = \pi r^2 \cdot h = 240 }[/math] vilket ger [math]\displaystyle{ h = \frac{240}{\pi r^2} }[/math]

Arean tecknas [math]\displaystyle{ A(r) = 2 \pi r^2 + 2 \pi r \cdot h = 240 }[/math]

Ersätt h med uttrycket ovan ger:

[math]\displaystyle{ A(r) = 2 \pi r^2 + \frac{2 \pi~r~240}{\pi~r^2} = 2 \pi r^2 + \frac{480}{r} }[/math]

[math]\displaystyle{ A'(r) = 4 \pi r - \frac{480}{r^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ A'(r) = 0 }[/math] medför att [math]\displaystyle{ 4 \pi r = \frac{480}{r^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ r^3 = \frac{480}{4 \pi} = \frac{120}{\pi} }[/math]

[math]\displaystyle{ r = ( \frac{120}{\pi} )^{\frac{1}{3}} = 3.37 }[/math]

Insätting ovan ger [math]\displaystyle{ h = 6.74 }[/math]

Tabellen till höger visar några olika värden på r och h och den resulterande arean vilken har sitt minimum för vårt värde på r. GeoGebran Konservburken visar grafen för areans funktion.

9. Maximera volymen av en pyramid

Pyramid med kvadratisk botten.

I en pyramid med kvadratisk basyta är summan av basytans sida och pyramidens höjd är 80 meter. Hur hög är den pyramid som har störst volym?

Volymen V för en pyramid är:

[math]\displaystyle{ V={B \cdot h \over 3} }[/math]

där B är arean av basen och h är pyramidens höjd. Detta gäller oavsett pyramidens form.

10. Kanonkulan

här är en simulering av en kanon som skjuter iväg projektiler.

Från den engelska sidan på Wikipedia hämtar vi funktionen för projektilens höjd:

[math]\displaystyle{ y = v_0 t \sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2 }[/math].

där y anger hur högt projektilen kommit efter en viss tid. [math]\displaystyle{ v_0 }[/math] är projektilens utgångshastighet och [math]\displaystyle{ \theta }[/math] är vinkeln.

Derivera uttrycket med avseende på tiden. Sätt derivatan lika med noll och bestäm tidpunkten för då projektilen når sin högsta höjd. Du kan själv välja vilka värden du sätter på [math]\displaystyle{ v_0 }[/math] och [math]\displaystyle{ \theta }[/math].

Sätt in ditt värde på tiden i funktionen ovan och beräkna hur högt projektilen når.

Wikipedia skriver om Projektilbana

Wikipedia: Projectile_motion

Funderar du fortfarande på vad man ska ha det här till? ja, kanske för att bestämma omHåvard Ruglands film är äkta.

11. Den bakteriella tillväxtkurvan

Den bakteriella tillväxtkurvan. L – log(antal celler); T – tid; A – lag-fas; B – log-fas; C – Stationärfas; D – Dödsfas

Bakteriernas antal kan (förenklat) beskrivas med funktionen

[math]\displaystyle{ N(t) = -1.5 t^2 - 12 t + 40 }[/math] (funkar den?)

där t är antalet timmar.

Testa gärna funktionen på Wolfram Alpha

I vilket tidsintervall är funktionen en lämplig beskrivning av bakteriernas tillväxt

I vilka faser är funktionen giltig om du jämför med figuren.

Tips: https://www.geogebra.org/m/CMqD7feC

12. Fritt fall

Sträckan S = f(t) som en kropp faller under t sekunder kan beräknas med funktionen S= 4,9 t² En fallskärmshoppare hoppar från ett flygplan på 3000 meters höjd.

a. Hur snabbt faller fallskärmshopparen efter 6 sekunder?

b. Efter hur lång tid är fallskärmshopparen fallhastighet 137 m/s

13. Draken

En drakes aerodynamiska egenskaper beror på drakes area ju sttörre area desto bättre lyftkraft hos draken. I en triangelformad drake är summan av basen och höjden 120 cm. Beräkna för vilka värden på höjden och basen får draken maximal area?

14. SLU, Statens Lantbruksuniveersitet

Vid SLU har man undersökt hur mängden kväve i konstgödsel påverkar skördens storlek för olika kornsorter. för en sort korn gäller följande funktion

f(x) = 0,002x³ - 0,81x² + 105,6x + 1600 för 0 < x < 180

där f(x) är skördens storlek i kg/hektar och x är mängden tillsatt kväve i kg/hektar.

Hur mycket kväve ska tillsättas för att skördens storlek ska bli maximalt?

15. Måsen

Uppgift

Luftgevär Luftgevär används främst för sportskytte, i viss utsträckning även för skyddsjakt på skadedjur som råttor och vissa fågelarter. För att få användas för jakt i Sverige måste kalibern vara minst 5,5 mm och utgångshastigheten minst 180 m/s. Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se En jägare vill skjuta mot en skrattmås som befinner sig 35 meter upp i luften. Fråga 1. Vilken hastighet har kulan då den når den höjden? Tips 1: Kulans läge kan beskrivas med fuinktionen: [math]\displaystyle{ y = v_ot + \frac{gt^2}{2} }[/math] där g är tyngdaccelerationen Tips 2. Derivera funktionen. Derivatan av läget [math]\displaystyle{ y(t) }[/math] är nämligen hastigheten vid tiden [math]\displaystyle{ t }[/math]. Alltså: [math]\displaystyle{ y'(t)= }[/math] hastigheten. Fråga 2. Hur högt kan kulan nå? Fråga 3. Rita graferna för [math]\displaystyle{ y(t) }[/math] och [math]\displaystyle{ y'(t) }[/math] i GeoGebra. (använd x i stället för t) Fråga 4. Surfa lite och föreslå en modifierad funktion som tar hänsyn till luftmotståndet. Kontroll: Titta i formelsamlingen för fysik om du kan bekräfta att du fick fram rätt formel när du deriverade uttrycket ovan.

[redigera]

Syftet med denna inlämningsuppgift är att genom att arbeta med uppgifterna ska du kunna nå de färdigheter som krävs för att behärska:

• Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av derivatans värde för en funktion.

• Algebraiska och grafiska metoder för lösning av extremvärdes-problem inklusive teckenstudium och andraderivatan.

• Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andraderivata

• Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg.

Och därmed kunna lösa matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.

Bedömningsmatris moment Derivatan

Algebra och skapa uttryck	Du ställer upp uttryck och förenklar dessa med viss handledning.	Du ställer upp uttryck och förenklar dessa	Du ställer upp uttryck och kan även modifiera modellen eller arbeta i flera steg
Deriveringsregler	Du kan derivera enkla polynom.	Du kan derivera svårare funktioner och använda fler deriveringsregler.	Du deriverar många olika typer av funktioner med stor säkerhet.
Problemlösning	Du kan metoden att sätta derivatan lika med noll.	Du förstår hur du använder derivatan för att hitta extremvärden och därigenom lösa problem	Du löser svårare problem. Du kan formulera uppgiften på ett effektivt sätt och reflekterar över giltighet och begränsningar. Du använder även andraderivatan.
Digitala verktyg	Du kan skriva in en funktion i något verktyg och få fram grafen	Du använder digitala verktyg för att tolka och förstå funktioners egenskaper.	Du använder även digitala verktyg för att kommunicera dina lösningar på ett tydligt sätt. Du ser samband mellan funktion och graf.