Multiplikation och division i polär form: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| (17 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
[[Category:Matematik]] [[Category:Ma4]] [[Category:Aritmetik, algebra och geometri]] [[Category:Komplexa tal]] | |||
== Repetition == | == Repetition == | ||
: <math>cos (u+v) = cos u cos v - sin u sin v</math> | : <math>\cos (u+v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v</math> | ||
: <math>sin (u+v) = sin u cos v + cos u sin v</math> | : <math>\sin (u+v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v</math> | ||
: <math>cos (u-v) = cos u cos v + sin u sin v</math> | : <math>\cos (u-v) =\ cos u\ cos v + \sin u \sin v</math> | ||
: <math>sin (u-v) = sin u cos v - cos u sin v </math> | : <math>\sin (u-v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v </math> | ||
== Multiplikation == | == Multiplikation == | ||
| Rad 13: | Rad 15: | ||
Vi kommer använda: | Vi kommer använda: | ||
: <math>cos (u+v) = cos u cos v - sin u sin v </math> | : <math>\cos (u+v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v </math> | ||
: <math> sin (u+v) = sin u cos v + cos u sin v </math> | : <math> \sin (u+v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v </math> | ||
Två komplexa tal | Två komplexa tal | ||
: <math>z = r (cos u + i sin u) </math> | : <math>z = r (\cos u + i \sin u) </math> | ||
: <math>w = s (\cos v + i \sin v)</math> | |||
Då blir: | |||
: <math> z \cdot w = r (\cos u + i \sin u) \cdot s (\cos v + i \sin v) =</math> | |||
: <math>= r \cdot s (\cos u \cos v + i \cos u \sin v + i \sin u \cos v + i^2 \sin u \sin v) =</math> | |||
: <math>= r s ((\cos u \cos v - \sin u \sin v ) + i (\cos u \sin v + \sin u \cos v )) =</math> | |||
: <math>= r s ( cos (u+v) + i \sin (u+v) ) </math> | |||
Det innebär alltså att vid '''multiplikation av komplexa tal''' så '''multipliceras absolutbeloppen''' och '''adderas argumenten'''. | |||
== Division med komplexa tal på polär form == | |||
Vid division av två komplexa tal dividerar men längderna på vektorerna: | |||
: <math>| \frac{z}{w} | = \frac{|z|}{|w|} </math> | |||
I analogi med multiplikationen så ska man subtrahera argumenten vid division av komplexa tal: | |||
: <math> arg \frac{z}{w} = arg z - arg w </math> | |||
== NP-uppgift == | |||
[[Fil:NP MaE vt 2000 uppg 5.png|600px|miniatyr|NP MaE vt 2000 uppg 5]] | |||
: | [[Fil:Np MaE ht 1999 uppg 8.png|600px|miniatyr|Np MaE ht 1999]] | ||
{{clear}} | |||
Uppgiften från [http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/E-kursprov-ht99.pdf Provbanken]. | |||
Nuvarande version från 19 augusti 2021 kl. 21.24
Repetition
- [math]\displaystyle{ \cos (u+v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sin (u+v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v }[/math]
- [math]\displaystyle{ \cos (u-v) =\ cos u\ cos v + \sin u \sin v }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sin (u-v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v }[/math]
Multiplikation
Vi kommer använda:
- [math]\displaystyle{ \cos (u+v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sin (u+v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v }[/math]
Två komplexa tal
- [math]\displaystyle{ z = r (\cos u + i \sin u) }[/math]
- [math]\displaystyle{ w = s (\cos v + i \sin v) }[/math]
Då blir:
- [math]\displaystyle{ z \cdot w = r (\cos u + i \sin u) \cdot s (\cos v + i \sin v) = }[/math]
- [math]\displaystyle{ = r \cdot s (\cos u \cos v + i \cos u \sin v + i \sin u \cos v + i^2 \sin u \sin v) = }[/math]
- [math]\displaystyle{ = r s ((\cos u \cos v - \sin u \sin v ) + i (\cos u \sin v + \sin u \cos v )) = }[/math]
- [math]\displaystyle{ = r s ( cos (u+v) + i \sin (u+v) ) }[/math]
Det innebär alltså att vid multiplikation av komplexa tal så multipliceras absolutbeloppen och adderas argumenten.
Division med komplexa tal på polär form
Vid division av två komplexa tal dividerar men längderna på vektorerna:
- [math]\displaystyle{ | \frac{z}{w} | = \frac{|z|}{|w|} }[/math]
I analogi med multiplikationen så ska man subtrahera argumenten vid division av komplexa tal:
- [math]\displaystyle{ arg \frac{z}{w} = arg z - arg w }[/math]
NP-uppgift
Uppgiften från Provbanken.