Räkna med komplexa tal: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| (11 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
[[Category:Matematik]] [[Category:Ma4]] [[Category:Aritmetik, algebra och geometri]] [[Category:Komplexa tal]] | |||
== Potenser av i == | == Potenser av i == | ||
| Rad 5: | Rad 7: | ||
! potens av <math>i</math> !! resultat | ! potens av <math>i</math> !! resultat | ||
|- | |- | ||
| <math>i</math> || i | | <math>i</math> || <math>i </math> | ||
|- | |- | ||
| <math>i^2</math> || <math>- \: 1</math> | | <math>i^2</math> || <math>- \: 1</math> | ||
|- | |- | ||
| <math>i^3 = i \cdot i^2</math> || <math>- \: | | <math>i^3 = i \cdot i^2</math> || <math>-1 \cdot i = - \: i</math> | ||
|- | |- | ||
| <math>i^4</math> || <math>- \ | | <math>i^4 = i^2 \cdot i^2</math> || <math>-1 \cdot -1 = 1</math> | ||
|- | |- | ||
| <math>i^5 | | <math>i^5 = i \cdot i^4</math> || <math>i \cdot 1 = i</math> | ||
|} | |} | ||
| Rad 25: | Rad 26: | ||
<math> z\bar{z} = \bar{z}z = a^2 + b^2 = |z|^2 </math> | <math> z\bar{z} = \bar{z}z = a^2 + b^2 = |z|^2 </math> | ||
{{clear}} | |||
=== Exempel === | === Exempel === | ||
| Rad 31: | Rad 33: | ||
: <math> \frac{2-i}{3+2 i} </math> | : <math> \frac{2-i}{3+2 i} </math> | ||
då förlänger vi med | då förlänger vi med konjugatet | ||
: <math> \frac{(2-i)(3-2 i)}{(3+2 i)(3-2 i)} = \frac{ 6-4 i - 3 i + 2 i^2}{3^2+2^2} = \frac{ 6-7 i + 2 (- 1)}{9+4} = \frac{ 6-7 i - 2}{13} = \frac{ 4-7 i }{13} = \frac{ 4}{13} | : <math> \frac{(2-i)(3-2 i)}{(3+2 i)(3-2 i)} = \frac{ 6-4 i - 3 i + 2 i^2}{3^2+2^2} = \frac{ 6-7 i + 2 (- 1)}{9+4} = </math> | ||
<br /> | |||
: <math>=\frac{ 6-7 i - 2}{13} = \frac{ 4-7 i }{13} = \frac{ 4}{13} - \frac{7 }{13} \: i</math> | |||
{{clear}} | {{clear}} | ||
=== Öva själv === | |||
{{khanruta | [https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary-and-complex-numbers/multiplying-complex-numbers/e/multiplying_complex_numbers Multiply complex numbers]}} | |||
{{khanruta | [https://www.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-complex-numbers/alg-complex-conjugates-and-dividing-complex-numbers/e/dividing_complex_numbers Divide complex numbers]}} | |||
{{khanruta | [https://www.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-negative-numbers-multiply-and-divide/cc-7th-mult-div-fractions-2/e/complex-fractions Simplify hairy fractions] }} | |||
== Fundera == | == Fundera == | ||
Nuvarande version från 29 november 2016 kl. 15.47
Potenser av i
| potens av [math]\displaystyle{ i }[/math] | resultat |
|---|---|
| [math]\displaystyle{ i }[/math] | [math]\displaystyle{ i }[/math] |
| [math]\displaystyle{ i^2 }[/math] | [math]\displaystyle{ - \: 1 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ i^3 = i \cdot i^2 }[/math] | [math]\displaystyle{ -1 \cdot i = - \: i }[/math] |
| [math]\displaystyle{ i^4 = i^2 \cdot i^2 }[/math] | [math]\displaystyle{ -1 \cdot -1 = 1 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ i^5 = i \cdot i^4 }[/math] | [math]\displaystyle{ i \cdot 1 = i }[/math] |
Multiplikation med konjugatet
Eftersom multiplikation med konjugatet ger ett reellt tal kan vi förenkla bråk med komplexa tal i nämnaren.
[math]\displaystyle{ z\bar{z} = \bar{z}z = a^2 + b^2 = |z|^2 }[/math]
Exempel
Skriv om detta på forman a + b i
- [math]\displaystyle{ \frac{2-i}{3+2 i} }[/math]
då förlänger vi med konjugatet
- [math]\displaystyle{ \frac{(2-i)(3-2 i)}{(3+2 i)(3-2 i)} = \frac{ 6-4 i - 3 i + 2 i^2}{3^2+2^2} = \frac{ 6-7 i + 2 (- 1)}{9+4} = }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{ 6-7 i - 2}{13} = \frac{ 4-7 i }{13} = \frac{ 4}{13} - \frac{7 }{13} \: i }[/math]
Öva själv
Fundera
Fundera på denna uppgift:
- z_2 är en spegling av z_1 i y-axeln. Vad kan man säga om produkten av z_1 z_2