Intro - Harmonisk svängning: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 11 december 2017 kl. 13.21

Digital bok	Pappersbok	Navigering
läromedel: Harmonisk svängning i en fjäder Matematisk betraktelse av harmonisk svängningsrörelse Exempel Uppgifter	NoK Heureka Fysik 2: Kap 7 s 130-134	Upp till Harmonisk_svängning

Fysikalisk förklaring

Vi använder Newtons andra lag för den (i y-led) svängande tyngden:

[math]\displaystyle{ F = ma = m \frac{d^2y}{dt^2} = = m y'' \qquad (1) }[/math]

För fjäderkraften gäller enligt Hookes lag att:

[math]\displaystyle{ F = - k y \qquad (2) }[/math]

Sätter man (2) = (1) får man en differentialekvation

[math]\displaystyle{ -k y = m y'' \qquad (3) }[/math]

Lösningen är en sinusvåg som funktion av tid.

[math]\displaystyle{ y(t) = \sin(\omega t),\ }[/math]

Jämförelse med (3) ger att

[math]\displaystyle{ \omega = \sqrt\frac{k}{m}, }[/math]

Den allmänna lösningen kan skrivas som

[math]\displaystyle{ y(t) = A \sin(\omega t + \phi),\ \omega = \sqrt\frac{k}{m}, }[/math]

där A och φ är integrationskonstanter.

Fysikalisk beskrivning

Oscillationsfrekvensen f = ω/2π är alltså högre för större kraftkonstant och lägre massa.

I vändpunkterna är den potentiella energin och accelerationen maximal, medan hastigheten och kinetiska energin är noll.
I punkten med lägst potentiell energi är den kinetiska energin maximal.
Energin växlar mellan två olika former.

Wikipedia skriver om Harmonisk oscillator

Matematisk förklaring

Harmonisk rörelse är en rätlinjig fysisk rörelse, en svängning med ett sinusoidalt tidsberoende. Den kan beskriva rörelsen av en harmonisk oscillator som till exempel en gungande tyngd i en fjäder.

En enkel harmonisk rörelse kan beskrivas med endast en sinusterm.

Ekvationer

För en enkel harmonisk rörelse med svängningsperioden T kan positionen [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] som funktion av tiden skrivas som

[math]\displaystyle{ x(t) = x_0 + A\sin \left( \frac{2 \pi t}{T} +\phi\right) = x_0 + A\sin ( \omega t +\phi ) , }[/math]

där [math]\displaystyle{ \omega = 2 \pi/T }[/math] är vinkelfrekvensen och [math]\displaystyle{ \phi }[/math] är vågrörelsens fas.

Partikelns hastighet ges av positionens derivata med avseende på tid:

[math]\displaystyle{ v(t) = {\dot x} = \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} = A\omega \cos ( \omega t+\phi ). }[/math]

Partikelns acceleration är hastighetens derivata eller positionens andraderivata:

[math]\displaystyle{ a(t) = {\ddot x} = \frac{\mathrm{d}^2x(t)}{\mathrm{d} t^2} = - A \omega^2 \sin ( \omega t+\phi ). }[/math]

Accelerationen är således proportionell mot avvikelsen från positionens medelvärde. Harmonisk rörelse är därför lösningen till differentialekvationer för vilka andraderivatan är proportionell mot funktionen med motsatt tecken:

[math]\displaystyle{ f'' = - c f, \, }[/math]

ett samband som förekommer i den harmoniska oscillatorn och i vågekvationen.

Massa-fjäder-system

Den enkla harmoniska rörelsen kan illustreras av en massa m som är fäst vid en fjäder som har fjäderkonstanten k.

Periodtiden

[math]\displaystyle{ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} }[/math]

är oberoende av såväl amplitud som av gravitation.

Texten ovan kommer från sidan där Wikipedia skriver om Harmonisk rörelse.

Aktivitet

Observation

Definition
Harmonisk rörelse Om en sträckt eller sammanpressad fjäders fria ända kopplas till en massa, som kan röra sig utan friktion i fjäderns längdriktning, erhålls en harmonisk rörelse, där oscillationens frekvens ökar med ökande styvhet hos fjädern (högre k).

Uppgift
Jämför denna definition med vad vi observerat i våra experiment.

Lär mer

Harmonic motion

Harmonisk svängning del 1

Demonstration av harmonisk svängningsrörelse

Harmonisk svängningsrörelse

Genomräknad exempeluppgift på harmonisk pendel

Wikipedia skriver om Harmonisk_rörelse

Wikipedia:Simple_harmonic_motion

PhET - tyngd i fjäder

GeoGebra

Från GeoGebraTube.

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-{{Heureka2|Kap 7 s 130-134 }}
+{| class="wikitable"
+|-
+! Digital bok !! Pappersbok !! Navigering
+|-
+| {{Gleerups|<br />
+<br />
+* [https://gleerupsportal.se/laromedel/impuls-2/article/6a374dbd-e151-4d36-9bc5-cf00d86e7a63  Harmonisk svängning i en fjäder]<br />
+* [https://gleerupsportal.se/laromedel/impuls-2/article/a0f98b8d-e159-48db-ad82-1324471e80f5 Matematisk betraktelse av harmonisk svängningsrörelse]
+* [https://gleerupsportal.se/laromedel/impuls-2/article/29d106ca-9d50-431e-b066-45d64b3f881d?page{{=}}9999 Exempel]
+* [https://gleerupsportal.se/laromedel/impuls-2/article/4f3b3d8b-7f43-417c-b41f-d1788ec1a60b Uppgifter]
+}}
+| {{Heureka2|Kap 7 s 130-134 }}
+| Upp till [[Harmonisk_svängning]]
+|}
+{{clear}}
+== Fysikalisk förklaring ==
+Vi använder Newtons andra lag för den (i y-led) svängande tyngden:
+: <math> F = ma = m \frac{d^2y}{dt^2} = = m y'' \qquad  (1)</math>
+För fjäderkraften gäller enligt Hookes lag att:
+: <math> F = - k y  \qquad (2)</math>
+Sätter man (2) = (1) får man en differentialekvation
+: <math>-k y = m y'' \qquad (3)</math>
+Lösningen är en sinusvåg som funktion av tid.
+:<math>y(t) = \sin(\omega t),\  </math>
+Jämförelse med (3) ger att
+: <math>\omega = \sqrt\frac{k}{m},</math>
+Den allmänna lösningen kan skrivas som
+:<math>y(t) = A \sin(\omega t + \phi),\ \omega = \sqrt\frac{k}{m},</math>
+där ''A'' och φ är integrationskonstanter.
+=== Fysikalisk beskrivning ===
+Oscillationsfrekvensen ''f'' = ω/2π är alltså högre för större kraftkonstant och lägre massa.
+* I vändpunkterna är den potentiella energin och accelerationen maximal, medan hastigheten och kinetiska energin är noll.
+* I punkten med lägst potentiell energi är den kinetiska energin maximal.
+* Energin växlar mellan två olika former.
+{{svwp|Harmonisk oscillator}}
+== Matematisk förklaring ==
+[[Bild:Simple harmonic motion animation.gif|thumb|Punkten utför en harmonisk rörelse]]
+'''Harmonisk rörelse''' är en rätlinjig fysisk rörelse, en svängning med ett sinusoidalt tidsberoende. Den kan beskriva rörelsen av en harmonisk oscillator som till exempel en gungande tyngd i en fjäder.
+En ''enkel harmonisk rörelse'' kan beskrivas med endast en sinusterm.
+=== Ekvationer ===
+För en enkel harmonisk rörelse med svängningsperioden ''T'' kan positionen <math>x(t)</math> som funktion av tiden skrivas som
+:<math> x(t) = x_0 + A\sin \left( \frac{2 \pi t}{T} +\phi\right) = x_0 + A\sin ( \omega t +\phi ) , </math>
+där <math> \omega = 2 \pi/T </math> är vinkelfrekvensen och <math>\phi</math> är vågrörelsens fas.
+Partikelns hastighet ges av positionens derivata med avseende på tid:
+:<math> v(t) = {\dot x} = \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} =  A\omega \cos ( \omega t+\phi ). </math>
+Partikelns acceleration är hastighetens derivata eller positionens andraderivata:
+:<math> a(t) = {\ddot x} = \frac{\mathrm{d}^2x(t)}{\mathrm{d} t^2} = - A \omega^2 \sin ( \omega t+\phi ). </math>
+Accelerationen är således proportionell mot avvikelsen från positionens medelvärde. Harmonisk rörelse är därför lösningen till differentialekvationer för vilka andraderivatan är proportionell mot funktionen med motsatt tecken:
+:<math>f'' = - c f, \,</math>
+ett samband som förekommer i den harmoniska oscillatorn och i vågekvationen.
+=== Massa-fjäder-system ===
+Den enkla harmoniska rörelsen kan illustreras av en massa ''m'' som är fäst vid en fjäder som har fjäderkonstanten ''k''.
+Periodtiden
+:<math>T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}</math>
+är oberoende av såväl amplitud som av gravitation.
+Texten ovan kommer från sidan där {{svwp|Harmonisk rörelse}}.
+== Aktivitet ==
+=== Observation ===
+[[File:Animated-mass-spring.gif|thumb|Animated-mass-spring]]
+{{defruta| '''Harmonisk rörelse'''
+Om en sträckt eller sammanpressad fjäders fria ända kopplas till en massa, som kan röra sig utan friktion i fjäderns längdriktning, erhålls en harmonisk rörelse, där oscillationens frekvens ökar med ökande styvhet hos fjädern (högre k).
+}}
+<br />
+{{uppgruta|
+Jämför denna definition med vad vi observerat i våra experiment.
+}}
+== Lär mer ==
+{{#ev:youtube| XjyOYluqnDM |320|right |Harmonic motion}}
+{{#ev:youtube| UucmzqnydFo |320|right |Harmonisk svängning del 1}}
 {{#ev:youtube| mF8Ga9cZEU8 |320|right |Demonstration av harmonisk svängningsrörelse}}
-{{#ev:youtube| GVjrl7LXtsg |320|right}}
+{{#ev:youtube| GVjrl7LXtsg |320|right |Harmonisk svängningsrörelse}}
-{{#ev:youtube| cCouUzXJFDA |320|right}}
+{{#ev:youtube| cCouUzXJFDA |320|right |Genomräknad exempeluppgift på harmonisk pendel }}
+: {{svwp|Harmonisk_rörelse}}
+: {{enwp|Simple_harmonic_motion}}
 {{clear}}
+== PhET - tyngd i fjäder ==
+<html>
+<iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/mass-spring-lab/mass-spring-lab_en.html" width="800" height="600"></iframe>
+</html>
+== GeoGebra ==
+<html>
+<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/pY4Hvugh/width/950/height/550/border/888888" width="950px" height="550px" style="border:0px;"> </iframe>
+</html>
+Från [https://www.geogebra.org/m/pY4Hvugh GeoGebraTube].

Intro - Harmonisk svängning: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 11 december 2017 kl. 13.21

Innehåll

Fysikalisk förklaring

Fysikalisk beskrivning

Matematisk förklaring

Ekvationer

Massa-fjäder-system

Aktivitet

Observation

Lär mer

PhET - tyngd i fjäder

GeoGebra

Navigeringsmeny

Intro - Harmonisk svängning: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 11 december 2017 kl. 13.21

Fysikalisk förklaring

Fysikalisk beskrivning

Matematisk förklaring

Ekvationer

Massa-fjäder-system

Aktivitet

Observation

Lär mer

PhET - tyngd i fjäder

GeoGebra

Navigeringsmeny

Sök