Derivatan av logaritmfunktionen: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Ingen redigeringssammanfattning
 
(19 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
[[Category:Matematik]] [[Category:Ma4]]  [[Category:Samband och förändring]]  [[Category:Derivator]] [[Category:Logaritmer]]


{{flipped2| zGt8EiMXAJg |Derivatan av logaritmfunktionen, av Mattias Danielsson. CC By (på Youtube) --> }}
{{flipped2| zGt8EiMXAJg |Derivatan av logaritmfunktionen, av Mattias Danielsson. CC By (på Youtube) --> }}


{{defruta | '''Derivatan av ln x'''
Om <math>  f(x) = \ln x </math>  så är <math>  f'(x)= \frac{1}{ x} </math>
}}
== Bevis ==
== Bevis ==


<math>
<br />
y= ln x  är liktydigt med att e^y = x\\
: <math>y= \ln x </math>  
 
: är liktydigt med att  
 
: <math> e^y = x</math>
<br />
: Derivera nu  <math> e^y = x</math> på båda sidorna med avseende på x.  I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1.
 
: <math> y' \cdot e^y = 1 </math>
<br />
: Stuva om i ekvationen så får vi:
 
: <math> y' = \frac{1}{e^y} </math>
<br />
: Men <math> e^y = x </math> så
 
: <math> y' = \frac{1}{x} </math>
:<br />
: V.S.B.
 
== Detrivatan av tiologaritmen ==
 
{{defruta | '''Derivatan av lg x'''
 
Om <math>  f(x) = \lg x </math>  så är <math>  f'(x)= \frac{1}{ x \cdot \ln 10} </math>
}}

Nuvarande version från 4 oktober 2016 kl. 10.17


Flippa = Se denna till nästa lektion!

Derivatan av logaritmfunktionen, av Mattias Danielsson. CC By (på Youtube) -->


Definition
Derivatan av ln x

Om [math]\displaystyle{ f(x) = \ln x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{ x} }[/math]

Bevis


[math]\displaystyle{ y= \ln x }[/math]
är liktydigt med att
[math]\displaystyle{ e^y = x }[/math]


Derivera nu [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math] på båda sidorna med avseende på x. I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1.
[math]\displaystyle{ y' \cdot e^y = 1 }[/math]


Stuva om i ekvationen så får vi:
[math]\displaystyle{ y' = \frac{1}{e^y} }[/math]


Men [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math]
[math]\displaystyle{ y' = \frac{1}{x} }[/math]

V.S.B.

Detrivatan av tiologaritmen

Definition
Derivatan av lg x

Om [math]\displaystyle{ f(x) = \lg x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{ x \cdot \ln 10} }[/math]