Derivatan av en kvot: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) (→Bevis) |
Hakan (diskussion | bidrag) (→Frågor) |
||
| (4 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
[[Category:Matematik]] [[Category:Ma4]] [[Category:Samband och förändring]] [[Category:Derivator]] | |||
{{flipped2 | w34pX7xvgWQ |Kvotregeln av Mattias Danielsson. CC-licens. }} | {{flipped2 | w34pX7xvgWQ |Kvotregeln av Mattias Danielsson. CC-licens. }} | ||
== Bevis == | |||
Vi ska derivera kvoten av två funktioner: | |||
<math> | |||
y = \frac{f(x)}{g(x)} </math> | |||
Börja med att beräkna derivatan av funktionen ''1/g''. Derivatan av en sammansatt funktion, och vetskapen att derivatan av 1/''x'' är -1/''x''<sup>2</sup>, ger att | |||
:<math>\left( \frac{1}{g}\right)^\prime =-\frac{g^\prime}{g^2}</math> | |||
Därmed kan produktregeln användas för att räkna ut derivatan av ''f''(''x'')/''g''(''x''): | |||
:<math>\left(\frac{f}{g}\right)^\prime =\left(f \cdot \frac{1}{g}\right)^\prime = f^\prime \cdot \frac{1}{g} + \left(\frac{1}{g}\right)^\prime \cdot f =\frac{f^\prime g}{g^2}-\frac{f\cdot g^\prime}{g^2}=\frac{f^\prime \cdot g - g^\prime \cdot f}{g^2}</math> | |||
{{svwp|derivata}} | |||
== Frågor == | == Frågor == | ||
{{Lista | | |||
<html> | <html> | ||
<iframe src="https://docs.google.com/forms/d/19UUpVFqYkhBRgkbBL2HR_nEjS68T3PswAnw5FAZ7Uz0/viewform?embedded=true" width="760" height="500" frameborder="0" marginheight="0" marginwidth="0">Loading...</iframe> | <iframe src="https://docs.google.com/forms/d/19UUpVFqYkhBRgkbBL2HR_nEjS68T3PswAnw5FAZ7Uz0/viewform?embedded=true" width="760" height="500" frameborder="0" marginheight="0" marginwidth="0">Loading...</iframe> | ||
</html> | </html> | ||
}} | |||
Nuvarande version från 4 oktober 2016 kl. 13.46
Bevis
Vi ska derivera kvoten av två funktioner:
[math]\displaystyle{ y = \frac{f(x)}{g(x)} }[/math]
Börja med att beräkna derivatan av funktionen 1/g. Derivatan av en sammansatt funktion, och vetskapen att derivatan av 1/x är -1/x2, ger att
- [math]\displaystyle{ \left( \frac{1}{g}\right)^\prime =-\frac{g^\prime}{g^2} }[/math]
Därmed kan produktregeln användas för att räkna ut derivatan av f(x)/g(x):
- [math]\displaystyle{ \left(\frac{f}{g}\right)^\prime =\left(f \cdot \frac{1}{g}\right)^\prime = f^\prime \cdot \frac{1}{g} + \left(\frac{1}{g}\right)^\prime \cdot f =\frac{f^\prime g}{g^2}-\frac{f\cdot g^\prime}{g^2}=\frac{f^\prime \cdot g - g^\prime \cdot f}{g^2} }[/math]
Frågor
Lista: (klicka expandera till höger)