|
|
| (7 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) |
| Rad 16: |
Rad 16: |
| = Andragradsfunktioner = | | = Andragradsfunktioner = |
|
| |
|
| här visas andragradsfunktionen på formen
| | == [[Parabelns ekvation]] == |
|
| |
|
| : <math>y = ax^2 + bx +c </math>
| |
| <html><iframe src="http://phet.colorado.edu/sims/equation-grapher/equation-grapher_en.html" width="800" height="600"></iframe></html>
| |
|
| |
|
| I denna interaktiva bild från Wolfrm Alpha visas andragradsfunktione på formen
| | == [[Fyra sätt att beskriva andragradaren]] == |
|
| |
|
| : <math> y = a ( x - b)^2 +c </math>
| | == [[Andragradsfunktionens graf]] == |
|
| |
|
| i båda fallen förändrar du utseendet på grafen men det beter sig på olika sätt. Fundera på varför.
| | == [[Testa dina kunskaper om andragradsfunktioner]] == |
| | |
| <html>
| |
| <script type='text/javascript' src='http://demonstrations.wolfram.com/javascript/embed.js' ></script><script type='text/javascript'>var demoObj = new DEMOEMBED(); demoObj.run('QuadraticInVertexFormOrTurningPointForm', '', '513', '545');</script><div id='DEMO_QuadraticInVertexFormOrTurningPointForm'><a class='demonstrationHyperlink' href='http://demonstrations.wolfram.com/QuadraticInVertexFormOrTurningPointForm/' target='_blank'>Quadratic in Vertex Form (or Turning Point Form)</a> from the <a class='demonstrationHyperlink' href='http://demonstrations.wolfram.com/' target='_blank'>Wolfram Demonstrations Project</a> by Rod Bate</div>
| |
| | |
| </html>
| |
| | |
| == Fyra sätt att beskriva andragradaren ==
| |
| | |
| Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| ==== Generell algebraisk form ====
| |
| | |
| Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.
| |
| | |
| '''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| ==== Vertex och nollställe ====
| |
| | |
| [[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
| |
| Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.
| |
| | |
| [[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| ==== Fokus och styrlinje ====
| |
| [[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]
| |
| | |
| Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.
| |
| | |
| [[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]] | |
| {{clear}}
| |
| | |
| ==== Värdetabell ====
| |
| [[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
| |
| Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.
| |
| | |
| [[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| == Parabelns ekvation ==
| |
| [[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus]]
| |
| | |
| '''Definitioner'''
| |
| Brännpunkt kallas också fokus
| |
|
| |
| Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| === GeoGebra som visar samma avstånd ===
| |
| | |
| En punkt på andragradsfunktionens graf har samma avstånd till styrlinjen som till fokuspunkten. Testa genom att flytta punkten så får du se. Du kan även flytta fokuspunkten och styrlinjen.
| |
| | |
| <html>
| |
| <head>
| |
| <title>GeoGebra Dynamisk arbetsbok</title>
| |
| <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
| |
| <meta name="generator" content="GeoGebra" />
| |
| <style type="text/css"><!--body { font-family:Arial,Helvetica,sans-serif; margin-left:40px }--></style>
| |
| </head>
| |
| <body>
| |
| <table border="0" width="926">
| |
| <tr><td>
| |
| <p>
| |
| </p>
| |
| | |
| <script type="text/javascript" language="javascript" src="
| |
| http://www.geogebra.org/web/4.2/web/web.nocache.js"></script><article class="geogebraweb" data-param-width="926" data-param-height="435"
| |
| data-param-showResetIcon="true" data-param-enableLabelDrags="true" data-param-showMenuBar="false" data-param-showToolBar="false" data-param-showAlgebraInput="false" enableLabelDrags="true" data-param-ggbbase64="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"></article>
| |
| | |
| <p>
| |
| </p>
| |
| <p><span style="font-size:small">18 Maj 2013, Skapat med <a href="http://www.geogebra.org/" target="_blank" >GeoGebra</a></span></p>
| |
| </td></tr>
| |
| </table><script type="text/javascript">
| |
| var ggbApplet = document.ggbApplet;
| |
| function ggbOnInit() {}
| |
| | |
| </script>
| |
| </body>
| |
| </html>
| |
| Länk till filen på Geogebratube: http://www.geogebratube.org/material/show/id/39100
| |
| | |
| === Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===
| |
| | |
| Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:
| |
| | |
| '''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}
| |
| | |
| === GeoGebra med styrlinje och fokus ===
| |
| | |
| {{:andragradsfunktion med styrlinje och fokus}}
| |
| | |
| === Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
| |
| | |
| [[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]
| |
| | |
| Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.
| |
| | |
| Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.
| |
| | |
| # Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
| |
| # Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
| |
| # Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
| |
| # Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
| |
| # '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.
| |
| | |
| Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.
| |
| | |
| == Andragradsfunktionens graf ==
| |
| | |
| {{:andragradsfunktionens graf}}
| |
| | |
| == Testa dina kunskaper om andragradsfunktioner ==
| |
| | |
| {{uppgruta|Gör denna diagnos på ekvationssystem
| |
| | |
| [[Media:Veckodiagnos_19.pdf| Veckodiagnos 19 om andragradsfunktioner ]]
| |
| | |
| [[Media:Veckodiagnos_21.pdf| Veckodiagnos 21 om andragradsfunktioners egenskaper ]]
| |
| }}
| |
|
| |
|
| == Digitala rutan == | | == Digitala rutan == |
| Rad 155: |
Rad 31: |
| Gör den i GeoGebra. | | Gör den i GeoGebra. |
|
| |
|
| == Kvadratiska modeller == | | == [[Kvadratiska modeller]] == |
| [[File:Square root.svg|thumb|Square root]]
| |
| | |
| Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:
| |
| | |
| y(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c
| |
| | |
| c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).
| |
| | |
| === Exempel 1 ===
| |
| [[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]
| |
| | |
| Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c till dessa mått.
| |
| | |
| Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.
| |
| | |
| ==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
| |
| Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.
| |
| | |
| ==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====
| |
| | |
| Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.
| |
| | |
| Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:
| |
| | |
| Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).
| |
| | |
| # Vilket är det andra nollstället?
| |
| # Rita grafen.
| |
| # Bestäm b.
| |
| # Bestäm c.
| |
| # Bestäm a.
| |
| # Skriv ett uttryck för funktionen.
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Exempel 2 ===
| |
| | |
| Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).
| |
| | |
| === Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===
| |
| | |
| I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)<sup>2</sup>, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!
| |
| | |
| Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].
| |
| | |
| '''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Överbliven provupgift (svår) ===
| |
| [[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]
| |
| | |
| Bilden visar en kastparabel.
| |
| | |
| Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.
| |
| | |
| Längden på kastet är 110 m.
| |
| | |
| Utgå från formen för andragradsfunktionen
| |
| <math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>
| |
| | |
| Gör en matematisk modell av kastbanan.
| |
| | |
| [[Tips: Parabelns bana]]
| |
| | |
| {{print|[http://wikiskola.se/images/Kastparabel.png Uppgift kastparabel]}}
| |
| {{clear}}
| |
|
| |
|
| == Kortdiagnos 4 == | | == Kortdiagnos 4 == |
