|
|
| (48 mellanliggande sidversioner av 2 användare visas inte) |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| == Uppläggget == | | __NOTOC__ |
| | {{Embed}} |
| | == [[Problemlösning med derivatan]] == |
|
| |
|
| Du ska få lära dig derivator på ett effektivt sätt:
| | Detta är en sammanfattning som introduktion till avsnittet om derivator. Den innehåller ett fysikproblem med en måsjägare. |
| # Först en frågeställning
| |
| # Sedan ser vi hur derivatan hjälper oss lösa problemet
| |
| # Därefter lär vi oss derivera
| |
| # Slutligen kommer derivatans definition
| |
|
| |
|
| Alltså inte begreppen först och tillämpningen sen utan frågeställningen som leder till behov av verktyg. '''Sätt igång!'''
| | '''3.2 Derivator''' |
|
| |
|
| {{uppgruta|[[Fil:Weihrauch hw77.jpg|miniatyr|Luftgevär]]
| | == [[Använda derivatans definition]] == |
| Luftgevär används främst för sportskytte, i viss utsträckning även för skyddsjakt på skadedjur som råttor och vissa fågelarter. För att få användas för jakt i Sverige måste kalibern vara minst 5,5 mm och utgångshastigheten minst 180 m/s.
| |
| {{wp}}
| |
| | |
| En jägare vill skjuta mot en skrattmås som befinner sig 35 meter upp i luften.
| |
| | |
| '''Fråga 1.''' Vilken hastighet har kulan då den når den höjden?
| |
| | |
| '''''Tips 1:''''' Kulans läge kan beskrivas med fuinktionen:
| |
| : <math> y = v_ot + \frac{gt^2}{2}</math>
| |
| | |
| : där g är tyngdaccelerationen
| |
| | |
| '''''Tips 2.''''' Derivera funktionen. Derivatan av läget <math>y(t)</math> är nämligen hastigheten vid tiden <math>t</math>. Alltså: <math>y'(t)= </math> hastigheten.
| |
| | |
| '''Fråga 2.''' Hur högt kan kulan nå?
| |
| | |
| '''Fråga 3.''' Rita graferna för <math>y(t)</math> och <math>y'(t) </math> i GeoGebra. (använd x i stället för t)
| |
| | |
| '''Fråga 4.''' Surfa lite och föreslå en modifierad funktion som tar hänsyn till luftmotståndet.
| |
| }}
| |
| | |
| == Deriveringsregler ==
| |
| | |
| Varför inte börja med de enkla deriveringsreglerna. Det är enkelt och gör att vi snabbt kan göra något nyttigt.
| |
| | |
| === Deriveringsregler: ===
| |
| | |
| :Derivatan av funktionen <math>f(x) = x\,</math> är funktionen <math>f^\prime(x) = 1</math>.
| |
| :Derivatan av funktionen <math>f(x) = x^2,</math> är funktionen <math>f^\prime(x) = 2x</math>.
| |
| :Det kan generaliseras till att funktionen <math>f(x) = x^n</math> har derivatan <math>(f^\prime(x) = n \cdot x^{n-1}</math>.
| |
| :Derivatan av <math>e^{kx}\</math> är <math>ke^{kx}</math>.
| |
| :Derivatan av <math>a^x\,</math> är <math>a^x \ln(a)</math>
| |
| :Derivatan av <math>\ln(x) \ </math> är <math>\frac{1}{x}\</math>
| |
| | |
| {{uppgruta|Derivera följande funktioner:
| |
| # <math>f(x) = 5x^2 + 3x +7</math>
| |
| # <math>f(x) = \ln(x) + 2x^7 </math>}}
| |
| | |
| === Additionsregeln ===
| |
| | |
| Derivatan av en summa av två funktioner som båda är deriverbara:
| |
| :<math>(f + g)^\prime = f^\prime + g^\prime.</math>
| |
| | |
| === Produktregeln ===
| |
| | |
| Produkten av två deriverbara funktioner är deriverbar, och derivatan ges av följande formel.
| |
| :<math>(f \cdot g)^\prime = f^\prime \cdot g + g ^\prime \cdot f.</math>
| |
|
| |
|
| === Kvotregeln === | | == [[Deriveringsregler för polynom]] == |
| | |
| Derivatan av kvoten <math>\frac{f}{g}</math> ges av följande funktion:
| |
| :<math>\frac{f^\prime \cdot g - g^\prime \cdot f}{g^2}</math>
| |
| <br>
| |
| {{lm3c|1|21}}
| |
|
| |
|
| === Derivata av sammansatt funktion (kedjeregeln) === | | == Tillämpningar på derivata == |
| En '''sammansatt funktion''' ''f''(''g''(''x'')) är en funktion ''f(x)'' som har en annan funktion ''g(x)'' som sitt argument, istället för en variabel som ''x''. Detta kan även skrivas <math>(f \circ g)(x)</math> för att förtydliga att ''g'' inte är en variabel utan själv är en funktion av variabeln ''x''. Derivatan av en sammansatt funktion går under namnet '''kedjeregeln''':
| |
| :<math>(f(g))^\prime = f^\prime(g)\cdot g^\prime.</math>
| |
|
| |
|
| <br>
| | '''3.3 Derivator och grafer''' |
| {{lnkruta|Dessa och fler deriveringsregler hittar du på [http://sv.wikipedia.org/wiki/Derivata#De_element.C3.A4ra_funktionernas_derivator wikipedia]}}
| |
|
| |
|
| === En widget som deriverar === | | == [[Rita kurvor med hjälp av derivatan]] == |
|
| |
|
| {| width="100%" cellpadding="4"
| | == [[Största och minsta värde]] == |
| |- valign="TOP"
| |
| | width="40%" |
| |
| Här är en widget som deriverar åt dig. Pröva den gärna.
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
| {{tnkruta|Försök fundera ut vad en andraderivata är}}
| |
|
| |
|
| |{{#widget:WolframAlpha|id=c44e503833b64e9f27197a484f4257c0}}
| | == [[Derivatans graf]] == |
| |}
| |
|
| |
|
| == Introduktion till derivatan == | | == [[Andraderivatan]] == |
|
| |
|
| {{#ev:youtube|_L0P47R3agc|250|right|Introduktion till derivatan}}
| | == [[Maximi- och minimiproblem]] == |
|
| |
|
| Vi har jobbat med ett konkret exempel om ett luftgevär. Vi har lärt oss derviera funktioner.
| | '''3.4 Merom derivator''' |
|
| |
|
| Nu är det dags att förklara vad derivatan är:
| | == [[Lite Algebra]] == |
| * lutningen i en punkt
| |
| * sätt att beskriva hur grafen för en funktion förändras
| |
| * sätt att hitta extrempunkter
| |
| * Derivatan av <math>f(x)</math> skrivs <math>f'(x)</math>
| |
| * Derivatan av <math>y(x)</math> skrivs <math>y'(x)</math>
| |
|
| |
|
| {{clear}}
| | == [[Derivatan av potensfunktioner]] == |
|
| |
|
| == Derivatan lika med noll == | | == [[Diskontinuerliga funktioner]] == |
|
| |
|
| {{#ev:youtube|dhqdVGk_bNw|250|right|Extrempunkter}}
| | == [[Diskreta funktioner]] == |
|
| |
|
| Fiffigt sätt att hitta extrempunkter:
| | == [[Inflexionspunkt och derivata]] == |
|
| |
|
| # derivera funktionen
| | == Tillämpningar (ej i Liber) == |
| # sätt derivatan lika med noll
| |
| # lösningens x-värde ger max- eller minpunkten
| |
| | |
| {{exruta|För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av <math>f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3</math> för <math>0\leq x\leq 2 </math> beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen.
| |
| | |
| :<math>f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\}</math>
| |
| | |
| Eftersom andraderivatan är
| |
| | |
| :<math>f''(x) = 6 x - 4\,</math>
| |
| | |
| så är
| |
| | |
| :<math>f''(1/3) = -2 < 0\,</math> och <math>f''(1) = 2 > 0\,</math>.
| |
| | |
| Värdena i randpunkterna är <math>f(0) = -3</math> respektive <math>f(2) = -1</math>.
| |
| | |
| Följaktligen har funktionen ''f'' en lokal maximipunkt för <math>x = 1/3</math> och en lokal minimipunkt för <math>x = 1</math>. Respektive extremvärden är <math>f(1/3) = -77/27</math> och <math>f(1) = -3</math>. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).}}
| |
| | |
| == Lutning och tangent ==
| |
| | |
| {|
| |
| | valign="top" |Tänk dig en fix punkt på en kurva och en rörlig punkt med koordinaterna . Linjen genom de två punkterna har lutningen:
| |
| : <math>k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(3)}{x-3}</math>
| |
| | |
| Låt sedan <math>x</math> minska så att <math>x</math> närmar sig 3. Då kommer linjen att tangera kurvan i punkten <math>(x,f(x))</math>. Den linjen kallas för tangent.
| |
| | |
| {{lm3c|2|19}}
| |
| |
| |
| <ggb_applet width="300" height="208" version="4.0"
| |
| ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| |
| |}
| |
| | |
| == Derivatan är lutningen i en punkt ==
| |
| | |
| {{#ev:youtube|8of_svLfcjk|250|right|Derivatans definition}}
| |
| | |
| Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. <math>k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0}</math> och det går ju inte. Här behövs formell matematik.
| |
| | |
| Nu utgår vi från en punkt <math>(x,f(x))</math> och så kallar vid punktensom närmar sig för <math>(x+h,f(x+h))</math>. När <math>h</math> krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs
| |
| :<math> \lim_{h \to 0}</math>
| |
| Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.
| |
| | |
| {{defruta|
| |
| Derivatan av funktionen <math>f</math> i punkten <math>x_0</math>'' definieras som gränsvärdet
| |
| : <math>f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}</math>
| |
| }}
| |
| {{lm3c|1|4}}
| |
| | |
| == Geometrisk tolkning ==
| |
| | |
| [[Fil:Derivata.svg|miniatyr|260 px|Derivatan är tangentens lutning i ''(x, f(x))'']]
| |
| Om en funktion ''f'' åskådliggörs av en graf ''y'' = ''f''(''x'') så anger derivatan av ''f'' grafens lutning (förändring av ''y'' per förändring av ''x'') för varje värde ''x''. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (''x'', ''f''(''x'')).
| |
| <br>
| |
| {{khanruta|
| |
| * [http://www.khanacademy.org/exercise/derivative_intuition Jättebra intuitiv förståelse av hur derivatans graf ser ut]
| |
| * [http://www.khanacademy.org/exercise/derivatives_1 Öva derviering 1 på Khan]}}
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| == Tillämpningar ==
| |
|
| |
|
| Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken. | | Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken. |
| Rad 213: |
Rad 84: |
| # [http://matmin.kevius.com/derivata.php Bruno Kevius om derivatan] | | # [http://matmin.kevius.com/derivata.php Bruno Kevius om derivatan] |
| # [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-c Matteboken Matte C] har innehåll om derivator | | # [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-c Matteboken Matte C] har innehåll om derivator |
| # [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-d Matteboken Matte D]}} | | # [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-d Matteboken Matte D] |
| | # [http://webspace.ship.edu/msrenault/GeoGebraCalculus/GeoGebraCalculusApplets.html GGB-övningar i mängder. A-nivå] |
| | }} |
