|
|
| (126 mellanliggande sidversioner av 2 användare visas inte) |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| == Deriveringsregeler == | | __NOTOC__ |
| | {{Embed}} |
| | == [[Problemlösning med derivatan]] == |
|
| |
|
| {|
| | Detta är en sammanfattning som introduktion till avsnittet om derivator. Den innehåller ett fysikproblem med en måsjägare. |
| | valign="top" |Varför inte börja med de enkla deriveringsreglerna. Det är enkelt och gör att vi snabbt kan göra något nyttigt.
| |
|
| |
|
| Deriveringsregler:
| | '''3.2 Derivator''' |
|
| |
|
| | align="right" padding = "30"|{{#widget:WolframAlpha|id=c44e503833b64e9f27197a484f4257c0}}
| | == [[Använda derivatans definition]] == |
| |}
| |
|
| |
|
| == Derivatan lika med noll == | | == [[Deriveringsregler för polynom]] == |
|
| |
|
| Fiffigt sätt att hitta extrempunkter:
| | == Tillämpningar på derivata == |
|
| |
|
| # derivera funktionen
| | '''3.3 Derivator och grafer''' |
| # sätt derivatan lika med noll
| |
|
| |
|
| == Introduktion till derivatan == | | == [[Rita kurvor med hjälp av derivatan]] == |
|
| |
|
| {{#ev:youtube|_L0P47R3agc|250|right|Introduktion till derivatan}}
| | == [[Största och minsta värde]] == |
|
| |
|
| '''Fler filmer:'''
| | == [[Derivatans graf]] == |
| * [http://www.youtube.com/watch?v=dhqdVGk_bNw Extrempunkter]
| |
| * [http://www.youtube.com/watch?v=8of_svLfcjk&feature=related Derivatans definition]
| |
| {{clear}}
| |
|
| |
|
| == Lutning och tangent == | | == [[Andraderivatan]] == |
|
| |
|
| {|
| | == [[Maximi- och minimiproblem]] == |
| | valign="top" |Tänk dig en fix punkt på en kurva och en rörlig punkt med koordinaterna . Linjen genom de två punkterna har lutningen:
| |
| : <math>k = \frac{f(x) - f(3)}{x-3}</math>
| |
|
| |
|
| Låt sedan <math>x</math> minska så att <math>x</math> närmar sig 3. Då kommer linjen att tangera kurvan i punkten <math>(x,f(x))</math>. Den linjen kallas för tangent.
| | '''3.4 Merom derivator''' |
| |
| |
| <ggb_applet width="300" height="208" version="4.0"
| |
| ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| |
| |}
| |
|
| |
|
| == En mer allmänn form för lutningen i en punkt == | | == [[Lite Algebra]] == |
|
| |
|
| Nu utgår vi från en punkt <math>(x,f(x))</math> och så kallar vid punktensom närmar sig för <math>(x+h,f(x+h))</math>. När <math>h</math> krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs
| | == [[Derivatan av potensfunktioner]] == |
| :<math> \lim_{h \to 0}</math>
| |
| Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.
| |
|
| |
|
| {{defruta|
| | == [[Diskontinuerliga funktioner]] == |
| Derivatan av funktionen <math>f</math> i punkten <math>x_0</math>'' definieras som gränsvärdet
| |
| : <math>f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}</math>
| |
| }}
| |
| | |
| == Deriveringsregler == | |
| | |
| Derivatan av en funktion...
| |
| | |
| {{exruta|För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av <math>f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3</math> för <math>0\leq x\leq 2 </math> beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen.
| |
| | |
| :<math>f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\}</math>
| |
| | |
| Eftersom andraderivatan är
| |
|
| |
|
| :<math>f''(x) = 6 x - 4\,</math>
| | == [[Diskreta funktioner]] == |
|
| |
|
| så är
| | == [[Inflexionspunkt och derivata]] == |
|
| |
|
| :<math>f''(1/3) = -2 < 0\,</math> och <math>f''(1) = 2 > 0\,</math>.
| | == Tillämpningar (ej i Liber) == |
| | |
| Värdena i randpunkterna är <math>f(0) = -3</math> respektive <math>f(2) = -1</math>.
| |
| | |
| Följaktligen har funktionen ''f'' en lokal maximipunkt för <math>x = 1/3</math> och en lokal minimipunkt för <math>x = 1</math>. Respektive extremvärden är <math>f(1/3) = -77/27</math> och <math>f(1) = -3</math>. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).}}
| |
| | |
| | |
| | |
| == Geometrisk tolkning ==
| |
| | |
| [[Fil:Derivata.svg|miniatyr|260 px|Derivatan är tangentens lutning i ''(x, f(x))'']]
| |
| Om en funktion ''f'' åskådliggörs av en graf ''y'' = ''f''(''x'') så anger derivatan av ''f'' grafens lutning (förändring av ''y'' per förändring av ''x'') för varje värde ''x''. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (''x'', ''f''(''x'')).
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| == Tillämpningar ==
| |
|
| |
|
| Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken. | | Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken. |
| Rad 82: |
Rad 43: |
| {{exruta|'''Tryck''' | | {{exruta|'''Tryck''' |
|
| |
|
| Antag att p(h) betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden h (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan p′(h) att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ. | | Antag att <math>p(h)</math> betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden <math>h</math> (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan <math>p'(h)</math> att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ. |
| | {{wp}} |
| }} | | }} |
|
| |
| == Khan-övningar ==
| |
|
| |
| * [http://www.khanacademy.org/exercise/derivative_intuition Jättebra intuitiv förståelse av hur derivatans graf ser ut]
| |
| * [http://www.khanacademy.org/exercise/derivatives_1 Öva derviering 1 på Khan]
| |
|
| |
|
| == Derivataquiz == | | == Derivataquiz == |
| Rad 123: |
Rad 80: |
| </quiz> | | </quiz> |
|
| |
|
| == Widget ==
| | <br> |
| | | {{lnkruta| |
| {{#widget:WolframAlpha|id=3863698288630ffc1878729993ad7b6d}} | |
| | |
| '''Länkar'''
| |
| | |
| # [http://matmin.kevius.com/derivata.php Bruno Kevius om derivatan] | | # [http://matmin.kevius.com/derivata.php Bruno Kevius om derivatan] |
| # [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-c Matteboken Matte C] har innehåll om derivator | | # [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-c Matteboken Matte C] har innehåll om derivator |
| # [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-d Matteboken Matte D] | | # [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-d Matteboken Matte D] |
| | # [http://webspace.ship.edu/msrenault/GeoGebraCalculus/GeoGebraCalculusApplets.html GGB-övningar i mängder. A-nivå] |
| | }} |
Detta är en sammanfattning som introduktion till avsnittet om derivator. Den innehåller ett fysikproblem med en måsjägare.
3.2 Derivator
Tillämpningar på derivata
3.3 Derivator och grafer
3.4 Merom derivator
Tillämpningar (ej i Liber)
Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken.
| Exempel
|
| Tryck
Antag att [math]\displaystyle{ p(h) }[/math] betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden [math]\displaystyle{ h }[/math] (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan [math]\displaystyle{ p'(h) }[/math] att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ.
Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se
|
Derivataquiz
