|
|
| (153 mellanliggande sidversioner av 2 användare visas inte) |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| == Derivatan == | | __NOTOC__ |
| | {{Embed}} |
| | == [[Problemlösning med derivatan]] == |
|
| |
|
| === Introduktion till derivatan ===
| | Detta är en sammanfattning som introduktion till avsnittet om derivator. Den innehåller ett fysikproblem med en måsjägare. |
|
| |
|
| {{#ev:youtube|_L0P47R3agc|250|right|Introduktion till derivatan}}
| | '''3.2 Derivator''' |
|
| |
|
| '''Fler filmer:'''
| | == [[Använda derivatans definition]] == |
| * [http://www.youtube.com/watch?v=dhqdVGk_bNw Extrempunkter]
| |
| * [http://www.youtube.com/watch?v=8of_svLfcjk&feature=related Derivatans definition]
| |
| {{clear}}
| |
|
| |
|
| == Lutning och tangent == | | == [[Deriveringsregler för polynom]] == |
|
| |
|
| Tänk dig en fix punkt på en kurva och en rörlig punkt med koordinaterna . Linjen genom de två punkterna har lutningen:
| | == Tillämpningar på derivata == |
| : <math>k = \frac{f(x) - f(3)}{x-3}</math>
| |
|
| |
|
| Låt sedan <math>x</math> minska så att <math>x</math> närmar sig 3. Då kommer linjen att tangera kurvan i punkten <math>(x,f(x))</math>. Den linjen kallas för tangent.
| | '''3.3 Derivator och grafer''' |
|
| |
|
| <ggb_applet width="297" height="214" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| | == [[Rita kurvor med hjälp av derivatan]] == |
|
| |
|
| === Deriveringsregler === | | == [[Största och minsta värde]] == |
|
| |
|
| Derivatan av en funktion...
| | == [[Derivatans graf]] == |
|
| |
|
| {{exruta|För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av <math>f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3</math> för <math>0\leq x\leq 2 </math> beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen.
| | == [[Andraderivatan]] == |
|
| |
|
| :<math>f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\}</math>
| | == [[Maximi- och minimiproblem]] == |
|
| |
|
| Eftersom andraderivatan är
| | '''3.4 Merom derivator''' |
|
| |
|
| :<math>f''(x) = 6 x - 4\,</math>
| | == [[Lite Algebra]] == |
|
| |
|
| så är
| | == [[Derivatan av potensfunktioner]] == |
|
| |
|
| :<math>f''(1/3) = -2 < 0\,</math> och <math>f''(1) = 2 > 0\,</math>.
| | == [[Diskontinuerliga funktioner]] == |
|
| |
|
| Värdena i randpunkterna är <math>f(0) = -3</math> respektive <math>f(2) = -1</math>.
| | == [[Diskreta funktioner]] == |
|
| |
|
| Följaktligen har funktionen ''f'' en lokal maximipunkt för <math>x = 1/3</math> och en lokal minimipunkt för <math>x = 1</math>. Respektive extremvärden är <math>f(1/3) = -77/27</math> och <math>f(1) = -3</math>. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).}}
| | == [[Inflexionspunkt och derivata]] == |
|
| |
|
| === Definition === | | == Tillämpningar (ej i Liber) == |
|
| |
|
| Derivatan av funktionen <math>f</math> i punkten <math>x_0</math>'' definieras som gränsvärdet
| | Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken. |
| : <math>f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}</math>
| |
|
| |
|
| === Exempel 1 - tryck ===
| | {{exruta|'''Tryck''' |
|
| |
|
| Antag att p(h) betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden h (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan p′(h) att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ. | | Antag att <math>p(h)</math> betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden <math>h</math> (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan <math>p'(h)</math> att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ. |
| | {{wp}} |
| | }} |
|
| |
|
| === Geometrisk tolkning ===
| | == Derivataquiz == |
| | |
| [[Fil:Derivata.svg|miniatyr|260 px|Derivatan är tangentens lutning i ''(x, f(x))'']]
| |
| Om en funktion ''f'' åskådliggörs av en graf ''y'' = ''f''(''x'') så anger derivatan av ''f'' grafens lutning (förändring av ''y'' per förändring av ''x'') för varje värde ''x''. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (''x'', ''f''(''x'')).
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Khan-övningar ===
| |
| | |
| * [http://www.khanacademy.org/exercise/derivative_intuition Jättebra intuitiv förståelse av hur derivatans graf ser ut]
| |
| * [http://www.khanacademy.org/exercise/derivatives_1 Öva derviering 1 på Khan]
| |
| | |
| === Derivataquiz ===
| |
|
| |
|
| <quiz shuffle=yes display=simple> | | <quiz shuffle=yes display=simple> |
| Rad 92: |
Rad 80: |
| </quiz> | | </quiz> |
|
| |
|
| == Widget ==
| | <br> |
| | | {{lnkruta| |
| {{#widget:WolframAlpha|id=3863698288630ffc1878729993ad7b6d}} | | # [http://matmin.kevius.com/derivata.php Bruno Kevius om derivatan] |
| | # [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-c Matteboken Matte C] har innehåll om derivator |
| | # [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-d Matteboken Matte D] |
| | # [http://webspace.ship.edu/msrenault/GeoGebraCalculus/GeoGebraCalculusApplets.html GGB-övningar i mängder. A-nivå] |
| | }} |
