Derivator: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
Ingen redigeringssammanfattning
 
(156 mellanliggande sidversioner av 2 användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
== Derivatan ==
__NOTOC__
{{Embed}}
== [[Problemlösning med derivatan]] ==


=== Introduktion till derivatan ===
Detta är en sammanfattning som introduktion till avsnittet om derivator. Den innehåller ett fysikproblem med en måsjägare.


{{#ev:youtube|_L0P47R3agc|250|right|Introduktion till derivatan}}
'''3.2 Derivator'''


'''Fler filmer:'''
== [[Använda derivatans definition]] ==
* [http://www.youtube.com/watch?v=dhqdVGk_bNw Extrempunkter]
* [http://www.youtube.com/watch?v=8of_svLfcjk&feature=related Derivatans definition]
{{clear}}


== Lutning och tangent ==
== [[Deriveringsregler för polynom]] ==


Tänk dig en fix punkt på en kurva och en rörlig punkt med koordinaterna  <math>(x,f(x)</math>. Linjen genom de två punkterna har lutningen:
== Tillämpningar på derivata ==
: <math>k = \frac{f(x) - f(3)}{x-3}</math>


=== Deriveringsregler ===
'''3.3 Derivator och grafer'''


Derivatan av en funktion...
== [[Rita kurvor med hjälp av derivatan]] ==


{{exruta|För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av <math>f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3</math> för <math>0\leq x\leq 2 </math> beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen.
== [[Största och minsta värde]] ==


:<math>f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\}</math>
== [[Derivatans graf]] ==


Eftersom andraderivatan är
== [[Andraderivatan]] ==


:<math>f''(x) = 6 x - 4\,</math>
== [[Maximi- och minimiproblem]] ==


så är
'''3.4 Merom derivator'''


:<math>f''(1/3) = -2 < 0\,</math> och <math>f''(1) = 2 > 0\,</math>.
== [[Lite Algebra]] ==


Värdena i randpunkterna är <math>f(0) = -3</math> respektive <math>f(2) = -1</math>.
== [[Derivatan av potensfunktioner]] ==


Följaktligen har funktionen ''f'' en lokal maximipunkt för <math>x = 1/3</math> och en lokal minimipunkt för <math>x = 1</math>. Respektive extremvärden är <math>f(1/3) = -77/27</math> och <math>f(1) = -3</math>. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).}}
== [[Diskontinuerliga funktioner]] ==


=== Definition ===
== [[Diskreta funktioner]] ==


Derivatan av funktionen <math>f</math> i punkten <math>x_0</math>'' definieras som gränsvärdet
== [[Inflexionspunkt och derivata]] ==
: <math>f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}</math>


=== Exempel 1 - tryck ===
== Tillämpningar (ej i Liber) ==


Antag att p(h) betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden h (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan p′(h) att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ.
Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken.


=== Geometrisk tolkning ===
{{exruta|'''Tryck'''


[[Fil:Derivata.svg|miniatyr|260 px|Derivatan är tangentens lutning i ''(x, f(x))'']]
Antag att <math>p(h)</math> betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden <math>h</math> (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan <math>p'(h)</math> att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ.  
Om en funktion ''f'' åskådliggörs av en graf ''y'' = ''f''(''x'') så anger derivatan av ''f'' grafens lutning (förändring av ''y'' per förändring av ''x'') för varje värde ''x''. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (''x'', ''f''(''x'')).
{{wp}}
{{clear}}
}}


=== Khan-övningar ===
== Derivataquiz ==
 
* [http://www.khanacademy.org/exercise/derivative_intuition Jättebra intuitiv förståelse av hur derivatans graf ser ut]
* [http://www.khanacademy.org/exercise/derivatives_1 Öva derviering 1 på Khan]
 
=== Derivataquiz ===


<quiz shuffle=yes display=simple>
<quiz shuffle=yes display=simple>
Rad 88: Rad 80:
</quiz>
</quiz>


== Widget ==
<br>
 
{{lnkruta|
{{#widget:WolframAlpha|id=3863698288630ffc1878729993ad7b6d}}
# [http://matmin.kevius.com/derivata.php Bruno Kevius om derivatan]
# [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-c Matteboken Matte C] har innehåll om derivator
# [http://www.matteboken.se/lektioner/matte-d Matteboken Matte D]
# [http://webspace.ship.edu/msrenault/GeoGebraCalculus/GeoGebraCalculusApplets.html GGB-övningar i mängder. A-nivå]
}}

Nuvarande version från 12 februari 2021 kl. 12.43

Embed:

<a href="https://wikiskola.se/index.php/Derivator">Click to open the embedded page at Wikiskola.se</a><iframe src="https://wikiskola.se/index.php/Derivator" style="width:1200px;height:800px;border:0px;" frameborder="0" scrolling="yes"></iframe>


Problemlösning med derivatan

Detta är en sammanfattning som introduktion till avsnittet om derivator. Den innehåller ett fysikproblem med en måsjägare.

3.2 Derivator

Använda derivatans definition

Deriveringsregler för polynom

Tillämpningar på derivata

3.3 Derivator och grafer

Rita kurvor med hjälp av derivatan

Största och minsta värde

Derivatans graf

Andraderivatan

Maximi- och minimiproblem

3.4 Merom derivator

Lite Algebra

Derivatan av potensfunktioner

Diskontinuerliga funktioner

Diskreta funktioner

Inflexionspunkt och derivata

Tillämpningar (ej i Liber)

Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken.

Exempel
Tryck

Antag att [math]\displaystyle{ p(h) }[/math] betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden [math]\displaystyle{ h }[/math] (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan [math]\displaystyle{ p'(h) }[/math] att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se


Derivataquiz

1 Derivatan av 2x3 är:

x2
3x2
6x2
x3/3

2 Derivatan beskriver hur något förändras.

Sannt.
Falskt.

3 Derivatan anger hur krokig en kurva är.

Sannt.
Falskt.

4  

Den svarta kurvan illustrerar en godtyckligt vald funktion.
Vad kallas den röda linjen?

5 Förändringen mellan två punkter ges av att [math]\displaystyle{ {\Delta y = 200} }[/math] och [math]\displaystyle{ {\Delta x = 3} }[/math]. Vad blir lutningen?



Läs mer:
  1. Bruno Kevius om derivatan
  2. Matteboken Matte C har innehåll om derivator
  3. Matteboken Matte D
  4. GGB-övningar i mängder. A-nivå
Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Derivator&oldid=54978”