Formler för dubbla vinkeln: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(13 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 26: Rad 26:


Visa att
Visa att
:<math>
  \tan \theta = \frac{\sin 2 \theta}{1 + \cos 2 \theta}
</math>


== GeoGebra-lösning ==
== GeoGebra-lösning ==
Rad 32: Rad 36:
</html>
</html>


[https://www.geogebra.org/m/epenhukg länk till sidan]
[https://www.geogebra.org/m/epenhukg länk till sidan] där du hittar '''frågor och instruktioner'''.


== Var kommer alla formler ifrån? ==
== Var kommer alla formler ifrån? ==
Rad 38: Rad 42:
Det finns väldigt många formeler (trigonometriska identiteter och annat) liknande den i uppgiften ovan.
Det finns väldigt många formeler (trigonometriska identiteter och annat) liknande den i uppgiften ovan.


Ett utdrag från Wikipediasidan [https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities List of trigonometric identities]
Ett utdrag från Wikipediasidan [https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities List of trigonometric identities], ganska lång ner (21:a stycket).


<math>
''Hittar du vår uppgift?''
:<math>\begin{align}
  \sin \frac{\theta}{2} &= \sgn \left(2 \pi - \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\theta}{4\pi} \right\rfloor \right) \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\[3pt]
  \sin^2\frac{\theta}{2} &= \frac{1 - \cos\theta}{2} \\[3pt]
  \cos \frac{\theta}{2} &= \sgn \left(\pi + \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\pi - \theta}{4\pi} \right\rfloor \right) \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\[3pt]
  \cos^2\frac{\theta}{2} &= \frac{1 + \cos\theta}{2} \\[3pt]
  \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta = \pm\, \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\[3pt]
                        &= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta} = \frac{\tan\theta}{1 + \sec{\theta}} \\[3pt]
  \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta = \pm\, \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}
\end{align}</math>
<ref name="ReferenceA">Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;72, 4.3.20–22</ref><ref name="mathworld_half_angle">{{MathWorld|title=Half-Angle Formulas|urlname=Half-AngleFormulas}}</ref>


:<math>
  \sin \frac{\theta}{2} =  \left(2 \pi - \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\theta}{4\pi} \right\rfloor \right) \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\[3pt]
  \sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2} \\[3pt]
  \cos \frac{\theta}{2} =  \left(\pi + \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\pi - \theta}{4\pi} \right\rfloor \right) \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\[3pt]
  \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2} \\[3pt]
  \tan \frac{\theta}{2} = \csc \theta - \cot \theta = \pm\, \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\[3pt]
                        = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta} = \frac{\tan\theta}{1 + \sec{\theta}} \\[3pt]
  \cot \frac{\theta}{2} = \csc \theta + \cot \theta = \pm\, \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}
</math>
</math>
=== Mathematical Handbook of Formulas and Tables ===
[https://www.academia.edu/7475650/Mathematical_Handbook_of_Formulas_and_Tables Mathematical handbook], sid 48
= GGB sin och cos =
[https://www.geogebra.org/m/fapym8qx Sinus för dubbla vinkeln]
[https://www.geogebra.org/m/wwdzz2ae Cosinus för dubbla vinkeln]


= Quiz =
= Quiz =

Nuvarande version från 9 september 2021 kl. 20.30

[redigera]
Definition
Dubbla vinkeln


[math]\displaystyle{ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) }[/math]


[math]\displaystyle{ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) }[/math]


Exempel på hur man använder formeln för dubbla vinkeln

Load video
YouTube
Uppgift
Härled själv

Fundera över om du kan använda det du lärt dig under föregående avsnitt till att härleda formlerna för dubbla vinkeln.



[redigera]

NoK uppgift 1256

Visa att

[math]\displaystyle{ \tan \theta = \frac{\sin 2 \theta}{1 + \cos 2 \theta} }[/math]

GeoGebra-lösning

länk till sidan där du hittar frågor och instruktioner.

Var kommer alla formler ifrån?

Det finns väldigt många formeler (trigonometriska identiteter och annat) liknande den i uppgiften ovan.

Ett utdrag från Wikipediasidan List of trigonometric identities, ganska lång ner (21:a stycket).

Hittar du vår uppgift?

[math]\displaystyle{ \sin \frac{\theta}{2} = \left(2 \pi - \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\theta}{4\pi} \right\rfloor \right) \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\[3pt] \sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2} \\[3pt] \cos \frac{\theta}{2} = \left(\pi + \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\pi - \theta}{4\pi} \right\rfloor \right) \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\[3pt] \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2} \\[3pt] \tan \frac{\theta}{2} = \csc \theta - \cot \theta = \pm\, \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\[3pt] = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta} = \frac{\tan\theta}{1 + \sec{\theta}} \\[3pt] \cot \frac{\theta}{2} = \csc \theta + \cot \theta = \pm\, \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} }[/math]

Mathematical Handbook of Formulas and Tables

Mathematical handbook, sid 48

[redigera]

Lista: (klicka expandera till höger)



Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Formler_för_dubbla_vinkeln&oldid=55424”