Begreppen sekant och tangent: Skillnad mellan sidversioner

VisuellWikitext

Nuvarande version från 13 oktober 2020 kl. 10.55

[redigera]

Ändringskvot

Frökenfysik, YT-licens

Definition

Ändringskvoten

Ändringskvot är en förändring per tidsenhet eller annan enhet. Kan även kallas differenskvot.

Både ändringskvoten och sekantens lutning kan skrivas [math]\displaystyle{ \frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} }[/math]

Det finns många ord för samma sak. Ändringskvoten är vad som efterfrågas i uppgifter där man frågar om: medellutning, temperaturändring, genomsnittlig förändrningshastighet, medelhastighet, riktningskoefficient, mm.

Sekanten

En linje som skär en kurva i två punkter kallas sekant.

Definition
Sekantlinje En sekantlinje av en kurva är en rät linje som skär två eller fler punkter på kurvan. En sekantlinje kallas oftast för en sekant, men det ordet används också ibland för enbart sträckan mellan de två punkterna på sekantlinjen. Själva ordet sekant kommer från latinets "secare" som betyder "att skära" eller "att klippa"

Om punkterna ligger nära varandra kommer sekanten att ha ungefär samma lutning som en tangent mellan punkterna. Sekantlinjen kan användas för att approximera tangenten för en kurva i en punkt P. Om sekanten för kurvan definieras genom de två punkterna P och Q, med P fixerad och Q varierbar, så kommer sekanten att närma sig tangenten när Q närmar sig P (antag att punkten bara har en tangent).

Som en konsekvens av detta kan man säga att sekantens lutning, eller riktning, går mot tangenten.

Sekanten i koordinatsystemet

Betrakta kurvan som definieras av y = f(x) i det kartesiska koordinatsystemet och betrakta punkten P med koordinater (c, f(c)) och en annan punkt Q med koordinater (c + Δx, f(c + Δx)). Lutningen k av sekantlinjen, uttryckta i P och Q, ges av

[math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{(c + \Delta x) - c} = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{\Delta x} }[/math]

Högerledet av ovanstående ekvation är en variant av Newtons deriveringskvot. När Δx närmar sig noll kommer uttrycket närma sig derivatan av f(c) under antagandet att derivatan existerar.

Wikipedia skriver om sekant

När vi arbetar med derivatans definition använder vi ofta h istället för Δx.

Tangenten - En kurvas lutning

Tangentens lutning är kurvans lutning i denna punkt. Tangentens lutningen i punkten där [math]\displaystyle{ x = a }[/math] skrivs:

[math]\displaystyle{ k = \frac{f(x) - f(a)}{x-a} }[/math]

En tangent är en rät linje, som tangerar en kurva i en punkt, tangeringspunkten, i vilken tangentens lutning, eller riktningskoefficient, är lika med kurvans lutning, dess derivata.

Definition
Tangenten visar en funktions lutning i en viss punkt Stringent uttryckt, sägs en rät linje vara en tangent till kurvan f(x) i punkten (c, f(c)), om linjen går genom punkten och har lutningen f'(c), där f(x) är derivatan av f(x). Inom geometrin kan en tangent approximeras med en sekant.

Om tangeringspunkten och riktningskoefficienten för tangenten är känd, kan tangentens ekvation bestämmas med enpunktsformen

[math]\displaystyle{ y - y_0 = k(x - x_0) }[/math]

vilken även kan skrivas på formen

[math]\displaystyle{ y = kx + m }[/math]

där k är riktningskoefficienten och tangeringspunkten är (x₀, y₀).

Viktigt

Tangenten ger lutningen

Tangent visar kurvans lutning i en punkt. k-värdet för tangentens funktion (räta linjens funktion) ger ett mått på lutningen.

Derivatans värde i punkten [math]\displaystyle{ (a, f(a)) }[/math] ger kurvans lutning vilket är tangentens k-värde.

[redigera]

Med funktioner

Exempel

Ändringskvot

Beräkna medellutningen för kurvan [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 +5 ~ }[/math] i intervallet [math]\displaystyle{ 1 \le x \le 2 }[/math].

Lösning:

Ändringskvoten [math]\displaystyle{ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(2) - f(1)}{2-1} = \dfrac{9 - 6}{1} = 3 }[/math]

Med grafer

Hur mycket har medeltemperaturen i Lund ökat från februari till jul?

Svar: (16.8 - - 0.5) /5

[redigera]

GeoGebran visar sekanten och tangenten

Dra i glidaren för och se vad som händer med senaten när h går mot noll.

Läs hela GGB-övningen här.

[redigera]

Uppgift
Skapa en egen GGB Kopiera konstruktionen på denna sida men gör den med större text och så att man kan flytta punkterna.

[redigera]

En kurvas lutning - grafiskt

Uppgift

Vi undersöker gemensamt i GeoGebra

Rita en funktion av tredje graden i GeoGebra.

Använd verktyget för att lägga in en tangent i punkten (a, f(a)) där a är en lämplig glidare.

Hur kan man beskriva tangentens relation till grafen?

Vad finns det för samband mellan tangentens lutning och derivatan av funktionen?

[redigera]

Uppgift
Ändringskvot Beräkna medellutningen för kurvan [math]\displaystyle{ y = 2 x^2 +3 ~ }[/math] i intervallet [math]\displaystyle{ 1 \le x \le 2 }[/math].

Uppgift
Begrepp Vad kallas en rät linje som skär två eller fler punkter på en graf? Definiera begreppet tangent.

Uppgift
Procedur - rita grafer [math]\displaystyle{ f(x) = - 3 x^2 }[/math]. Uppskatta vad tangenten har för ungefärlig lutning i punkten [math]\displaystyle{ (a, f(a)) }[/math] där: [math]\displaystyle{ a =3 }[/math] [math]\displaystyle{ a = -1 }[/math] genom att konstruera lämpliga sekanter. Derivera funktionen och beräkna derivatans värde i punkterna ovan. Vilken slutsats drar du?

En GeoGebra.

https://www.geogebra.org/m/jsWvZwQR

[redigera]

Film

Läs på mer

Repetition: Repetera gärna Räta linjen från Ma2c.

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-== En kurvas lutning ==
+__NOTOC__
+= Teori =
-{{lm3c | En kurvas lutning |114 - 119}}
+== Ändringskvot ==
-{{#ev:youtube | gkjvgLXyCVg | 340 | right | En kurvas lutning. Frökenfysik, YT-licens}}
+[[File:Slope picture.svg|340|right]]
-{{#ev:youtube | RmBEEXfeUUI | 340 | right | Sid 114-119 del 1 - lutning av en kurva samt derivatans definition. Av Åke Dahllöf.}}
+{{#ev:youtube | ywI4u3SdaNs | 340 | right| Frökenfysik, YT-licens}}
-{{#ev:youtube | MdpfLofYZV4 | 340 | right | Sid 114-119 del 2 - lutning av en kurva samt derivatans definition. Av Åke Dahllöf.}}
+{{defruta | '''Ändringskvoten'''
-'''Repetition''': Repetera gärna  [[Räta linjen Ma2c|Räta linjen]] från Ma2c.
+'''Ändringskvot''' är en förändring per tidsenhet eller annan enhet. Kan även kallas differenskvot.
+Både ändringskvoten och sekantens lutning kan skrivas <math> \frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
+}}
+'''Det finns många ord för samma sak.''' Ändringskvoten är vad som efterfrågas i uppgifter där man frågar om: medellutning, temperaturändring, genomsnittlig förändrningshastighet, medelhastighet, riktningskoefficient, mm.
+{{clear}}
+== Sekanten ==
+En linje som skär en kurva i två punkter kallas sekant.
+{{defruta| Sekantlinje
+En '''sekantlinje''' av en kurva är en rät linje som skär två eller fler punkter på kurvan. En sekantlinje kallas oftast för en sekant, men det ordet används också ibland för enbart sträckan mellan de två punkterna på sekantlinjen. Själva ordet sekant kommer från latinets "secare" som betyder "att skära" eller "att klippa"
+}}
+Om punkterna ligger nära varandra kommer sekanten att ha ungefär samma lutning som en tangent mellan punkterna. Sekantlinjen kan användas för att approximera tangenten för en kurva i en punkt P. Om sekanten för kurvan definieras genom de två punkterna P och Q, med P fixerad och Q varierbar, så kommer sekanten att närma sig tangenten när Q närmar sig P (antag att punkten bara har en tangent).
+Som en konsekvens av detta kan man säga att sekantens lutning, eller riktning, går mot tangenten.
+=== Sekanten i koordinatsystemet ===
+[[Fil:Secant-graph-sverdrup.png|miniatyr|250px|Sekantapproximation]]
+Betrakta kurvan som definieras av ''y'' = ''f''(''x'') i det kartesiska koordinatsystemet och betrakta punkten ''P'' med koordinater (''c'', ''f''(''c'')) och en annan punkt ''Q'' med koordinater (''c'' + Δ''x'', ''f''(''c'' + Δ''x'')). Lutningen ''k'' av sekantlinjen, uttryckta i ''P'' och ''Q'', ges av
+:<math>k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{(c + \Delta x) - c} = \frac{f(c + \Delta x) - f(c)}{\Delta x}</math>
+Högerledet av ovanstående ekvation är en variant av Newtons deriveringskvot. När Δ''x'' närmar sig noll kommer uttrycket närma sig derivatan av ''f''(''c'') under antagandet att derivatan existerar.
+{{svwp|sekant}}
+När vi arbetar med derivatans definition använder vi ofta h istället för Δ''x''.
+== Tangenten - En kurvas lutning ==
-{{defruta | '''En kurvas lutning i en viss punkt'''
+[[Bild:Tangent.png|thumb|Tangent till en kurva]]
-'''tangentens lutning''' är kurvans lutning i denna punkt.
+'''Tangentens lutning''' är kurvans lutning i denna punkt. Tangentens lutningen i punkten där <math>x = a</math> skrivs:
-Tangentens lutningen i punkten där <math>x = a</math> skrivs:
+: <math>k = \frac{f(x) - f(a)}{x-a}</math>
-: <math>k =  \lim_{x \to a}   \frac{f(x) - f(a)}{x-a}</math>
+En '''tangent''' är  en rät linje, som ''tangerar'' en kurva i en punkt, ''tangeringspunkten'', i vilken tangentens lutning, eller riktningskoefficient, är lika med kurvans lutning, dess derivata.
-Detta är derivatan i punkten <math> (a, f(a))</math>
+{{defruta | '''Tangenten visar en funktions lutning i en viss punkt'''
+Stringent uttryckt, sägs en rät linje vara en tangent till kurvan ''f''(''x'') i punkten (''c'', ''f''(''c'')), om linjen går genom punkten och har lutningen ''f'''(''c''), där ''f''(''x'') är derivatan av ''f''(''x''). Inom geometrin kan en tangent approximeras med en sekant.
 }}
-'''Begrepp''': Lim är förkortning av limes som betyder gräns på latin.
-Tänk dig en fix punkt på en kurva och en rörlig punkt med koordinaterna . Linjen genom de två punkterna har lutningen:
+Om tangeringspunkten och riktningskoefficienten för tangenten är känd, kan tangentens ekvation bestämmas med enpunktsformen
-: <math>k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(3)}{x-3}</math>
+:<math>y - y_0 = k(x - x_0)</math>
+vilken även kan skrivas på formen
+:<math>y = kx + m</math>
+där ''k'' är riktningskoefficienten och tangeringspunkten är (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>).
-Låt sedan <math>x</math> minska så att <math>x</math> närmar sig 3. Då kommer linjen att tangera kurvan i punkten <math>(x,f(x))</math>. Den linjen kallas för tangent.
-Tangentens lutningen i punkten där x = 3 skrivs:
+{{viktigt| '''Tangenten ger lutningen'''
-: <math>k =  \lim_{x \to 3}   \frac{f(x) - f(3)}{x-3}</math>
+Tangent visar kurvans lutning i en punkt. k-värdet för tangentens funktion (räta linjens funktion) ger ett mått på lutningen.
+Derivatans värde i punkten <math> (a, f(a))</math> ger kurvans lutning vilket är tangentens k-värde.
+}}
 {{clear}}
-=== Laborera med sekanten och derivatan ===
-<html>
+= Exempel =
-<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/49950/width/1280/height/604/border/888888/rc/true/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="1280px" height="604px" style="border:0px;"> </iframe>
-</html>
+== Med funktioner ==
+{{exruta| '''Ändringskvot'''
+Beräkna medellutningen för kurvan <math> f(x) = x^2 +5 ~</math> i intervallet <math> 1 \le x \le 2 </math>.
+'''Lösning:'''
+: Ändringskvoten <math>\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(2) - f(1)}{2-1} = \dfrac{9 - 6}{1} = 3 </math>
+}}
+== Med grafer ==
+Hur mycket har medeltemperaturen i Lund ökat från februari till jul?
+Svar:  (16.8 - - 0.5) /5
+[[Fil:Medeltemperatur Lund.png|600]]
+= Aktivitet - Sekant (Ändringskvot) =
 === GeoGebran visar sekanten och tangenten ===
@@ Rad 48: / Rad 106: @@
 Läs hela GGB-övningen [http://tube.geogebra.org/material/simple/id/208407 här].
+= Aktivitet - Ändringskvot=
+{{uppgruta| '''Skapa en egen GGB'''
+Kopiera konstruktionen på denna sida men gör den med större text och så att man kan flytta punkterna.
+}}
+<html>
+<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/1232911/width/496/height/410/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="496px" height="410px" style="border:0px;"> </iframe>
+</html>
+= Aktivitet - Tangent =
+== En kurvas lutning - grafiskt ==
+{{uppgruta| '''Vi undersöker gemensamt i GeoGebra'''
+Rita en funktion av tredje graden i GeoGebra.
+Använd verktyget för att lägga in en tangent i punkten (a, f(a)) där a är en lämplig glidare.
+Hur kan man beskriva tangentens relation till grafen?
+Vad finns det för samband mellan tangentens lutning och derivatan av funktionen?
+}}
+= Uppgifter =
+{{uppgruta| '''Ändringskvot'''
+# Beräkna medellutningen för kurvan <math> y = 2 x^2 +3 ~</math> i intervallet <math> 1 \le x \le 2 </math>.
+}}
+{{uppgruta| '''Begrepp'''
+# Vad kallas en rät linje som skär två eller fler punkter på en graf?
+# Definiera begreppet tangent.
+}}
+<br>
+{{uppgruta| '''Procedur - rita grafer'''
+# <math> f(x) = - 3 x^2 </math>. Uppskatta vad tangenten har för ungefärlig lutning i punkten <math> (a, f(a)) </math> där:
+## <math> a =3 </math>
+## <math> a = -1 </math>
+#: genom att konstruera lämpliga sekanter.
+# Derivera funktionen och beräkna derivatans värde i punkterna ovan. Vilken slutsats drar du?
+}}
+==  En GeoGebra. ==
+https://www.geogebra.org/m/jsWvZwQR
+= Lär mer =
+== Film ==
+<div style="clear:both"></div>
+== Läs på mer ==
+'''Repetition''': Repetera gärna  [[Räta linjen Ma2c|Räta linjen]] från Ma2c.
+{{clear}}
+<headertabs />

Begreppen sekant och tangent: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 13 oktober 2020 kl. 10.55

Ändringskvot

Sekanten

Sekanten i koordinatsystemet

Tangenten - En kurvas lutning

Med funktioner

Med grafer

GeoGebran visar sekanten och tangenten

En kurvas lutning - grafiskt

En GeoGebra.

Film

Läs på mer

Navigeringsmeny

Sök