Funktionsvärde: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(47 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
{|
__NOTOC__
|-
= Teori =
| {{malruta | xxx
 
{{malruta | Funktionsvärde och tillämpningar
 
Här undersöker vi hur funktionens värde kan användas för att beskriva ett förlopp i verkligheten.
}}
 
=== Vad är funktionsvärde? ===
 
{{#ev:youtube|XvA35VniTgc|400|right}}
 
Om ordet funktionsvärde är abstrakt så blir det kanske klarare om istället säger att vi se vilka '''tillämpningar''' som finns för andragradsfunktioner. Andragradsfunktioner kan exempelvis beskriva hopp och kast. I fysiken kallas det kaströrelse. Andra tillämpningar finns i att lösa problem som handlar om broar där brospannet har formen av en parabel.
 
{{defruta|'''Funktionsvärde'''
 
En beskriven funktion är en regel, hur värdet av en variabel (beroende variabel eller funktionsvärde, vanligen betecknas med y) bestäms med hjälp av värdet en annan variabel (oberoende variabel eller argument, vanligen betecknas med x).
 
''Från [http://matmin.kevius.com/funktion.php Bruno Kevius hemsida]''
}}
 
= Funktionsvärdet och tillämpningar =
 
Det finns många tillämpningar av kvadrtiska modeller (andragradsfunktioner:
: parabler i broar och valv
: kaströrelser
: parabolantenner
 
Typiska tillämpningar är att man anpassar en kvadratisk funktion till att beskriva ett verkligt objekt, exempelvis en bro. en annan tillämpning är att en fysikformel beskriver eller förutsäger en verklig händelse.
 
== Exempel på modellering ==
 
<pdf>Fil:Problemlösning_med_andragradare_Djuröbron.pdf</pdf>
{{clear}}
 
= Ett teoretiskt exempel =
 
{{exruta|'''Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen'''
 
Andragradsfunktionen kan skrivas y {{=}} ax2+bx+c  på allmän form:
 
Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i  (0, 14).
 
# Vilket är det andra nollstället?                 
# Rita grafen. 
# Bestäm c.                         
# Bestäm b.                                                 
# Bestäm a.                           
# Skriv ett uttryck för funktionen. 
 
'''Lösning'''
[[Fil:Skarmavbild 2018-04-24 kl. 14.08.38.png|200px|höger]]
 
# Det andra nollstället ligger på samma avstånd från vertex som det första, dvs punkten (16,0).
# Grafen ser du till höger
# Vi bestämmer c genom att använda vertexpunkten (0,14) vilket innebär att c {{=}} 14.
# Om symmetrilinjen går genom x {{=}} 0 så är b {{=}} 0. Om du tänker på pq-formlen så är -b/2 {{=}} 0.
# Vi har nu kommit fram till funktionen y {{=}} a x<sup>2</sup> +14. Sätt in värdena för andra nollstället (16,0) och vi får 0 {{=}} a 16<sup>2</sup> + 14, dvs a{{=}} - 14/16<sup>2</sup>.
}}
 
 
{{clear}}
 
= GGB-övning =
 
<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/SE4tSx57/width/1230/height/608/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1230px" height="608px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
 
=Anteckningar =


Här undersöker vi xxx.
<pdf>Fil:Andragradsfunktioner_och_grafer.pdf</pdf>
}} |
| {{sway | [https xxx]}}<br />
{{gleerups| [https xxx] }}<br />
{{matteboken |[https xxx] }}<br />
|}


== Teori ==
= Lösningar till A-uppgifter =


{{#ev:youtube| xxx|400|right| 2.47 min.}}
Scrolla till sid 2


{{defruta|
<pdf>Fil:Övningsuppgifter_A-nivå_med_lösningsförslag.pdf</pdf>
: <math></math> är en '''xxx'''}}<br />


== Aktivitet ==
= Aktivitet =
   
   
{{uppgruta| '''Tillämpningar'''
==== Fritt fall (fysik) ====
<br>
 
{{uppgruta| '''Don't try this at home!'''
En plastpåse med vatten släpps från balkongen på åttonde våningen.
 
# Hur långt ner till marken är det?
# Efter hur lång tid når vattenpåsen marken?
 
'''Ledning:''' Mekanikformeln <math> s = v_0 t + a \frac{t^2}{2}</math> kan i detta fall skrivas om till
: <math> h(t) = 22 -5 t^2</math>
}}
 
=== Utgå från en bild ===
 
{{uppgruta|'''Funktionen till en bild'''
 
[[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|200px|right|ParabolicWaterTrajectory]]
 
Det handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) {{=}} ax<sup>2</sup> + bx + c till dessa mått.
 
Skapa parabelns funktion utifrån bilden och  måtten. Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2.5 m långt och är 1.75 m hög.
 
'''Ledning'''. Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.
 
'''Tips:'''
# skissa grafen i ett koordinatsystem på ett papper
# gör en värdetabell
 
}}
 
=== Vad är det för funktion som visas i programmet? ===
 
{{python|[[Arean_av_rektanglar_med_samma_omkrets_-_Python|Arean av en rektangel]] }}
 
Det här programmet löser ett klassiskt problem och genererar en snygg värdetabell som du ska analysera. Dessutom kommer du att lösa samma typ av problem i ma3c genom att derivera.
 
{{clear}}
 
=== Gissa andragradsfunktionen i en tävling ===
 
{{uppgruta| '''En stor GeoGebraövning''''


: '''[[Kvadratiska modeller]]'''
[https://www.geogebra.org/m/Zn9BAExZ Gissa andragradspolynom]


}}
}}


== Lär mer ==
= Lär mer =


{| align=right
{| align=right
|-
|-
| {{sway | [https://sway.com/Oor7ZceUu1qCWI7S?ref=Link Andragradsfunktioner]}}<br />
| {{sway | [https://sway.com/ef1ZDLKoWCyMHZWd?ref{{=}}Link Funktionsvärde]}}<br />
|-
|-
| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-2c/article/10490255-dbf1-4a4d-89a1-2685d72235b5 Andragrads­funktioner] }}<br />
| {{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Andragradsfunktion Andragradsfunktion] }}<br />
|-
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/funktioner-och-grafer/funktionsbegreppet Funktionsbegreppet] }}<br />
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/funktioner-och-grafer/funktionsbegreppet Funktionsbegreppet] }}<br />
|}
|}


==== Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ====
I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)<sup>2</sup>, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!
Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].
'''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
{{clear}}
==== Överbliven provupgift (svår) ====
[[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]
Bilden visar en kastparabel.
Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.
Längden på kastet är 110 m.
Utgå från formen för andragradsfunktionen
<math>y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c </math>
Gör en matematisk modell av kastbanan.
[[Tips: Parabelns bana]]
{{print|[http://wikiskola.se/images/Kastparabel.png Uppgift kastparabel]}}


{{clear}}
{{clear}}


== Exit ticket ==
== Exit ticket ==
<headertabs />

Nuvarande version från 19 maj 2020 kl. 07.49

[redigera]
Mål för undervisningen Funktionsvärde och tillämpningar

Här undersöker vi hur funktionens värde kan användas för att beskriva ett förlopp i verkligheten.


Vad är funktionsvärde?

Load video
YouTube

Om ordet funktionsvärde är abstrakt så blir det kanske klarare om istället säger att vi se vilka tillämpningar som finns för andragradsfunktioner. Andragradsfunktioner kan exempelvis beskriva hopp och kast. I fysiken kallas det kaströrelse. Andra tillämpningar finns i att lösa problem som handlar om broar där brospannet har formen av en parabel.

Definition
Funktionsvärde

En beskriven funktion är en regel, hur värdet av en variabel (beroende variabel eller funktionsvärde, vanligen betecknas med y) bestäms med hjälp av värdet en annan variabel (oberoende variabel eller argument, vanligen betecknas med x).

Från Bruno Kevius hemsida


[redigera]

Det finns många tillämpningar av kvadrtiska modeller (andragradsfunktioner:

parabler i broar och valv
kaströrelser
parabolantenner

Typiska tillämpningar är att man anpassar en kvadratisk funktion till att beskriva ett verkligt objekt, exempelvis en bro. en annan tillämpning är att en fysikformel beskriver eller förutsäger en verklig händelse.

Exempel på modellering

[redigera]
Exempel
Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen

Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmän form:

Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0, 14).

  1. Vilket är det andra nollstället?
  2. Rita grafen.
  3. Bestäm c.
  4. Bestäm b.
  5. Bestäm a.
  6. Skriv ett uttryck för funktionen.

Lösning

  1. Det andra nollstället ligger på samma avstånd från vertex som det första, dvs punkten (16,0).
  2. Grafen ser du till höger
  3. Vi bestämmer c genom att använda vertexpunkten (0,14) vilket innebär att c = 14.
  4. Om symmetrilinjen går genom x = 0 så är b = 0. Om du tänker på pq-formlen så är -b/2 = 0.
  5. Vi har nu kommit fram till funktionen y = a x2 +14. Sätt in värdena för andra nollstället (16,0) och vi får 0 = a 162 + 14, dvs a= - 14/162.


[redigera]

Scrolla till sid 2

[redigera]

Fritt fall (fysik)

Uppgift
Don't try this at home!

En plastpåse med vatten släpps från balkongen på åttonde våningen.

  1. Hur långt ner till marken är det?
  2. Efter hur lång tid når vattenpåsen marken?

Ledning: Mekanikformeln [math]\displaystyle{ s = v_0 t + a \frac{t^2}{2} }[/math] kan i detta fall skrivas om till

[math]\displaystyle{ h(t) = 22 -5 t^2 }[/math]


Utgå från en bild

Uppgift
Funktionen till en bild
ParabolicWaterTrajectory
ParabolicWaterTrajectory

Det handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax2 + bx + c till dessa mått.

Skapa parabelns funktion utifrån bilden och måtten. Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2.5 m långt och är 1.75 m hög.

Ledning. Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

Tips:

  1. skissa grafen i ett koordinatsystem på ett papper
  2. gör en värdetabell



Vad är det för funktion som visas i programmet?

Programmeringsuppgift

Arean av en rektangel


Det här programmet löser ett klassiskt problem och genererar en snygg värdetabell som du ska analysera. Dessutom kommer du att lösa samma typ av problem i ma3c genom att derivera.

Gissa andragradsfunktionen i en tävling

Uppgift
En stor GeoGebraövning'

Gissa andragradspolynom



[redigera]
Swayen till detta avsnitt: Funktionsvärde


Wikipedia Andragradsfunktion


Läs om Funktionsbegreppet


Parabelns egenskaper i GeoGebra 2

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)2, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C.

Överkurs: Andra kägelsnitt Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.

Överbliven provupgift (svår)

Parabolic trajectory

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen [math]\displaystyle{ y(x) = a\cdot x^2 + b \cdot x + c }[/math]

Gör en matematisk modell av kastbanan.

Tips: Parabelns bana

Du kan printa denna! Uppgift kastparabel


Exit ticket

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Funktionsvärde&oldid=54417”