Ekvationslösning: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Jens (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| (31 mellanliggande sidversioner av 3 användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
__NOTOC__ | |||
= Teori = | |||
{{malruta | Problemlösning ekvationer | {{malruta | Problemlösning ekvationer | ||
Vi kombinerar kunskaper om logaritmer, kvadrerings- och konjugatregeln för att lösa problem och ekvationer. | Vi kombinerar kunskaper om logaritmer, kvadrerings- och konjugatregeln för att lösa problem och ekvationer. | ||
}} | }} | ||
=== Genomgång Ekvationslösning === | === Genomgång Ekvationslösning === | ||
| Rad 13: | Rad 14: | ||
#* Multiplikation ( × ) | #* Multiplikation ( × ) | ||
#* Division ( ÷ ) | #* Division ( ÷ ) | ||
#* | #* Potenser (upphöjt i) | ||
# När operationer används på ekvationen måste de appliceras på båda sidorna av <nowiki>"="</nowiki> | # När operationer används på ekvationen måste de appliceras på båda sidorna av <nowiki>"="</nowiki> | ||
# Para ihop tal, variabler och variabler med samma exponent. | |||
# Känna igen välkända formler och regler för att förenkla eller utveckla | # Känna igen välkända formler och regler för att förenkla eller utveckla | ||
#* Konjugat-och Kvadreringsreglerna | #* Konjugat-och Kvadreringsreglerna | ||
| Rad 32: | Rad 32: | ||
När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida. | När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida. | ||
=== | === Enkla andragradsekvationer === | ||
{{#ev:youtube| Aa7M6Vzs71U|400|right}} | |||
Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen. | |||
Antingen förkortas x-termerna bort så att man får '''kvadrattermer''' kvar att ta roten ur | |||
''eller'' | |||
så har man ett kvadraten på ett '''binom''' (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur. | |||
Det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt. | |||
{{defruta| '''Enkla andragradsekvationer''' | |||
'''Kvadratterm''': | |||
: <math>ax^2=b</math> | |||
: <math>x^2=\frac{b}{a}</math> | |||
: <math>x=\pm \sqrt{\frac{b}{a}}</math> | |||
'''Binom''' | |||
: <math>(x-a)^2=b</math> | |||
: <math>(x-a)=\pm \sqrt{b}</math> | |||
: <math>(x-a)= + \sqrt{b}</math> eller <math>(x-a)= -\sqrt{b}</math> | |||
: <math>x = a + \sqrt{b}</math> eller <math>x = a -\sqrt{b}</math> | |||
}} | |||
=== Dubbelrot === | |||
{{defruta| | |||
: <math>(x-a)^2=0</math> ger dubbelroten | |||
: <math> x_1 = x_2 = a </math> | |||
}} | |||
=== Nollproduktsmetoden === | |||
Om andragradsekvationen innehåller både kvadratterm och x-term men saknar konstantterm kan man bryta ut x och faktorisera. Om en produkt är lika med noll betyder det att någon av faktorerna är lika med noll. | |||
{{defruta| '''Nollproduktsmetoden''' | |||
: <math>x^2-ax=0</math> | |||
: <math>x(x-a)=0</math> | |||
: <math>x=0</math> eller <math>x-a=0</math> | |||
: <math>x=0</math> eller <math>x=a</math> | |||
}} | |||
Nollproduktsmetoden ger rötter som är olika. | |||
=== Ekvationen saknar reella rötter === | |||
Vissa andragradsekvationen saknar reella rötter (men det finns rötter som består av komplexa tal). | |||
{{defruta| '''Ickereella rötter''' | |||
: <math>x^2=-a</math> där a är positivt | |||
: <math>x=\pm \sqrt{-a}</math> | |||
Det komplexa talet <math>\sqrt{-a}</math> skrivs <math>\sqrt{a} \,i</math> | |||
}} | |||
= Exempel = | |||
{{exruta| Genomgång av några ekvationer | {{exruta| Genomgång av några ekvationer | ||
# <math>(x | # <math>(x+3)^2-6x = 25</math> | ||
# <math>(3-2x)^2+(2x+3)(3-2x) = 8</math> | # <math>(3-2x)^2+(2x+3)(3-2x) = 8</math> | ||
}} | }} | ||
== Aktivitet | === Enkla andragradsekvationer === | ||
{{#ev:youtube| Aa7M6Vzs71U|400|right}} | |||
Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen. | |||
Antingen förkortas x-termerna bort så att man får '''kvadrattermer''' kvar att ta roten ur | |||
''eller'' | |||
så har man ett kvadraten på ett '''binom''' (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur. | |||
Det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt. | |||
{{exruta| '''Kvadratterm och binom''' | |||
Kvadratterm: | |||
: <math>2x^2=50</math> | |||
: <math>x^2=25</math> | |||
: <math>x=\pm 5</math> | |||
Binom | |||
: <math>(x-7)^2=64</math> | |||
: <math>(x-7)=\pm 8</math> | |||
: <math>(x-7)= +8</math> eller <math>(x-7)= -8</math> | |||
: <math>x= 15</math> eller <math>x= -1</math> | |||
}} | |||
=== Dubbelrot === | |||
{{exruta| | |||
: <math>(x-7)^2=0</math> ger dubbelroten | |||
: <math>x=7</math> | |||
}} | |||
=== Nollproduktsmetoden === | |||
Om andragradsekvationen innehåller både kvadratterm och x-term men saknar konstantterm kan man bryta ut x och faktorisera. Om en produkt är lika med noll betyder det att någon av faktorerna är lika med noll. | |||
{{exruta| '''Nollproduktsmetoden''' | |||
: <math>x^2-4x=0</math> | |||
: <math>x(x-4)=0</math> | |||
: <math>x=0</math> eller <math>x-4=0</math> | |||
: <math>x=0</math> eller <math>x=4</math> | |||
}} | |||
Nollproduktsmetoden ger rötter som är olika. | |||
=== Ekvationen saknar reella rötter === | |||
Vissa andragradsekvationen saknar reella rötter (men det finns rötter som består av komplexa tal). | |||
{{exruta| '''Ickereella rötter''' | |||
: <math>x^2=-4</math> | |||
: <math>x=\pm \sqrt{-4}</math> | |||
Det komplexa talet <math>\sqrt{-4}</math> skrivs <math>2 i</math> | |||
}} | |||
= Anteckningar = | |||
<pdf>Fil:Enkla_andragradsekvationer.pdf</pdf> | |||
= Lösningar = | |||
<pdf>Fil:Enkel_andragradsuppgift_med_2_lösningar.pdf</pdf> | |||
= Uppgifter = | |||
=== Öva ekvationslösning med kvadreringsregeln === | |||
:: 16 + 2x = x<sup>2</sup> - 4x + 9 (svår) | |||
:: x<sup>2</sup> + 8x = x - 12 (svår) | |||
= Aktivitet = | |||
{{uppgruta| '''Diskutera metoden''' | {{uppgruta| '''Diskutera metoden''' | ||
| Rad 56: | Rad 193: | ||
:<math> (x+2)^2 = x^2+3</math> | :<math> (x+2)^2 = x^2+3</math> | ||
Hitta på minst fem olika exempel på ekvationer där det ingår kvadrerings- och konjugatregler. Ekvationerna ska naturligtvis vara lösbara. Fundera noga över vad det innebär att en ekvation är lösbar. | Hitta på minst fem olika exempel på ekvationer där det ingår kvadrerings- och konjugatregler. Ekvationerna ska naturligtvis vara lösbara. Fundera noga över vad det innebär att en | ||
ekvation är lösbar. | |||
Lägg gärna in dina ekvationer på sidan med [[uppgifter ekvationslösning]]. | Lägg gärna in dina ekvationer på sidan med [[uppgifter ekvationslösning]]. | ||
| Rad 62: | Rad 200: | ||
}} | }} | ||
= Lär mer = | |||
{| align=right | {| align=right | ||
|- | |- | ||
| {{sway | [https://sway.com/yfoOYmaB6SQ8Jie0?ref{{=}}Link Ekvationslösning]}}<br /> | | {{sway | [https://sway.com/yfoOYmaB6SQ8Jie0?ref{{=}}Link Ekvationslösning]}}<br /> | ||
|- | |- | ||
| {{ | | {{wplink| [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/andragradsekvationer Andragradsekvationer] }}<br /> | ||
|- | |- | ||
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/ekvationslosning Repetition ekvationslösning] }}<br /> | | {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/ekvationslosning Repetition ekvationslösning] }}<br /> | ||
|} | |} | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
== Exit ticket == | == Exit ticket == | ||
<headertabs /> | |||