Ekvationslösning

Mål för undervisningen Problemlösning ekvationer

Vi kombinerar kunskaper om logaritmer, kvadrerings- och konjugatregeln för att lösa problem och ekvationer.

Genomgång Ekvationslösning

Använd operationer så att variabeln står själv på en sida av "="
- Addition ( + )
- Subraktion ( - )
- Multiplikation ( × )
- Division ( ÷ )
- Potenser (upphöjt i)
När operationer används på ekvationen måste de appliceras på båda sidorna av "="
Para ihop tal, variabler och variabler med samma exponent.
Känna igen välkända formler och regler för att förenkla eller utveckla
- Konjugat-och Kvadreringsreglerna

Metod för effektiv förenkling av (enkla) ekvationer

Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.

Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).

På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt. Titta gärna på filmen på sidan också.

När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.

Enkla andragradsekvationer

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

Det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

Definition

Enkla andragradsekvationer

Kvadratterm:

[math]\displaystyle{ ax^2=b }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2=\frac{b}{a} }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\pm \sqrt{\frac{b}{a}} }[/math]

Binom

[math]\displaystyle{ (x-a)^2=b }[/math]

[math]\displaystyle{ (x-a)=\pm \sqrt{b} }[/math]

[math]\displaystyle{ (x-a)= + \sqrt{b} }[/math] eller [math]\displaystyle{ (x-a)= -\sqrt{b} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = a + \sqrt{b} }[/math] eller [math]\displaystyle{ x = a -\sqrt{b} }[/math]

Dubbelrot

Definition
[math]\displaystyle{ (x-a)^2=0 }[/math] ger dubbelroten [math]\displaystyle{ x_1 = x_2 = a }[/math]

Nollproduktsmetoden

Om andragradsekvationen innehåller både kvadratterm och x-term men saknar konstantterm kan man bryta ut x och faktorisera. Om en produkt är lika med noll betyder det att någon av faktorerna är lika med noll.

Definition
Nollproduktsmetoden [math]\displaystyle{ x^2-ax=0 }[/math] [math]\displaystyle{ x(x-a)=0 }[/math] [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] eller [math]\displaystyle{ x-a=0 }[/math] [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] eller [math]\displaystyle{ x=a }[/math]

Nollproduktsmetoden ger rötter som är olika.

Ekvationen saknar reella rötter

Vissa andragradsekvationen saknar reella rötter (men det finns rötter som består av komplexa tal).

Definition

Ickereella rötter

[math]\displaystyle{ x^2=-a }[/math] där a är positivt

[math]\displaystyle{ x=\pm \sqrt{-a} }[/math]

Det komplexa talet [math]\displaystyle{ \sqrt{-a} }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ \sqrt{a} \,i }[/math]

[redigera]

Exempel
Genomgång av några ekvationer [math]\displaystyle{ (x+3)^2-6x = 25 }[/math] [math]\displaystyle{ (3-2x)^2+(2x+3)(3-2x) = 8 }[/math]

Enkla andragradsekvationer

Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.

Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur

eller

så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.

Det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.

Exempel

Kvadratterm och binom

Kvadratterm:

[math]\displaystyle{ 2x^2=50 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2=25 }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\pm 5 }[/math]

Binom

[math]\displaystyle{ (x-7)^2=64 }[/math]

[math]\displaystyle{ (x-7)=\pm 8 }[/math]

[math]\displaystyle{ (x-7)= +8 }[/math] eller [math]\displaystyle{ (x-7)= -8 }[/math]

[math]\displaystyle{ x= 15 }[/math] eller [math]\displaystyle{ x= -1 }[/math]

Dubbelrot

Exempel
[math]\displaystyle{ (x-7)^2=0 }[/math] ger dubbelroten [math]\displaystyle{ x=7 }[/math]

Nollproduktsmetoden

Om andragradsekvationen innehåller både kvadratterm och x-term men saknar konstantterm kan man bryta ut x och faktorisera. Om en produkt är lika med noll betyder det att någon av faktorerna är lika med noll.

Exempel
Nollproduktsmetoden [math]\displaystyle{ x^2-4x=0 }[/math] [math]\displaystyle{ x(x-4)=0 }[/math] [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] eller [math]\displaystyle{ x-4=0 }[/math] [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] eller [math]\displaystyle{ x=4 }[/math]

Nollproduktsmetoden ger rötter som är olika.

Ekvationen saknar reella rötter

Vissa andragradsekvationen saknar reella rötter (men det finns rötter som består av komplexa tal).

Exempel

Ickereella rötter

[math]\displaystyle{ x^2=-4 }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\pm \sqrt{-4} }[/math]

Det komplexa talet [math]\displaystyle{ \sqrt{-4} }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ 2 i }[/math]

[redigera]

Öva ekvationslösning med kvadreringsregeln

16 + 2x = x² - 4x + 9 (svår)

x² + 8x = x - 12 (svår)

[redigera]

Uppgift

Diskutera metoden

Varför behöver man en bra metod för att förenkla ekvationer

Uppgift

Hitta på egna ekvationer

Ett exempel på en ekvation där du får tillämpa dina nyvunna kunskaper skulle kunna vara:

[math]\displaystyle{ (x+2)^2 = x^2+3 }[/math]

Hitta på minst fem olika exempel på ekvationer där det ingår kvadrerings- och konjugatregler. Ekvationerna ska naturligtvis vara lösbara. Fundera noga över vad det innebär att en ekvation är lösbar.

Lägg gärna in dina ekvationer på sidan med uppgifter ekvationslösning.

[redigera]