Ekvationslösning: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
(45 mellanliggande sidversioner av 4 användare visas inte) | |||
Rad 1: | Rad 1: | ||
__NOTOC__ | |||
= Teori = | |||
{{malruta | Problemlösning ekvationer | {{malruta | Problemlösning ekvationer | ||
Rad 4: | Rad 7: | ||
}} | }} | ||
== | === Genomgång Ekvationslösning === | ||
=== Metod för förenkling av ekvationer === | # Använd operationer så att variabeln står själv på en sida av <nowiki>"="</nowiki> | ||
#* Addition ( + ) | |||
#* Subraktion ( - ) | |||
#* Multiplikation ( × ) | |||
#* Division ( ÷ ) | |||
#* Potenser (upphöjt i) | |||
# När operationer används på ekvationen måste de appliceras på båda sidorna av <nowiki>"="</nowiki> | |||
# Para ihop tal, variabler och variabler med samma exponent. | |||
# Känna igen välkända formler och regler för att förenkla eller utveckla | |||
#* Konjugat-och Kvadreringsreglerna | |||
{{clear}} | |||
=== Metod för effektiv förenkling av (enkla) ekvationer === | |||
Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna. | Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna. | ||
Rad 16: | Rad 32: | ||
När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida. | När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida. | ||
== Aktivitet | === Enkla andragradsekvationer === | ||
{{#ev:youtube| Aa7M6Vzs71U|400|right}} | |||
Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen. | |||
Antingen förkortas x-termerna bort så att man får '''kvadrattermer''' kvar att ta roten ur | |||
''eller'' | |||
så har man ett kvadraten på ett '''binom''' (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur. | |||
Det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt. | |||
{{defruta| '''Enkla andragradsekvationer''' | |||
'''Kvadratterm''': | |||
: <math>ax^2=b</math> | |||
: <math>x^2=\frac{b}{a}</math> | |||
: <math>x=\pm \sqrt{\frac{b}{a}}</math> | |||
'''Binom''' | |||
: <math>(x-a)^2=b</math> | |||
: <math>(x-a)=\pm \sqrt{b}</math> | |||
: <math>(x-a)= + \sqrt{b}</math> eller <math>(x-a)= -\sqrt{b}</math> | |||
: <math>x = a + \sqrt{b}</math> eller <math>x = a -\sqrt{b}</math> | |||
}} | |||
=== Dubbelrot === | |||
{{defruta| | |||
: <math>(x-a)^2=0</math> ger dubbelroten | |||
: <math> x_1 = x_2 = a </math> | |||
}} | |||
=== Nollproduktsmetoden === | |||
Om andragradsekvationen innehåller både kvadratterm och x-term men saknar konstantterm kan man bryta ut x och faktorisera. Om en produkt är lika med noll betyder det att någon av faktorerna är lika med noll. | |||
{{defruta| '''Nollproduktsmetoden''' | |||
: <math>x^2-ax=0</math> | |||
: <math>x(x-a)=0</math> | |||
: <math>x=0</math> eller <math>x-a=0</math> | |||
: <math>x=0</math> eller <math>x=a</math> | |||
}} | |||
Nollproduktsmetoden ger rötter som är olika. | |||
=== Ekvationen saknar reella rötter === | |||
Vissa andragradsekvationen saknar reella rötter (men det finns rötter som består av komplexa tal). | |||
{{defruta| '''Ickereella rötter''' | |||
: <math>x^2=-a</math> där a är positivt | |||
: <math>x=\pm \sqrt{-a}</math> | |||
Det komplexa talet <math>\sqrt{-a}</math> skrivs <math>\sqrt{a} \,i</math> | |||
}} | |||
= Exempel = | |||
{{exruta| Genomgång av några ekvationer | |||
# <math>(x+3)^2-6x = 25</math> | |||
# <math>(3-2x)^2+(2x+3)(3-2x) = 8</math> | |||
}} | |||
=== Enkla andragradsekvationer === | |||
{{#ev:youtube| Aa7M6Vzs71U|400|right}} | |||
Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen. | |||
Antingen förkortas x-termerna bort så att man får '''kvadrattermer''' kvar att ta roten ur | |||
''eller'' | |||
så har man ett kvadraten på ett '''binom''' (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur. | |||
Det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt. | |||
{{exruta| '''Kvadratterm och binom''' | |||
Kvadratterm: | |||
: <math>2x^2=50</math> | |||
: <math>x^2=25</math> | |||
: <math>x=\pm 5</math> | |||
Binom | |||
: <math>(x-7)^2=64</math> | |||
: <math>(x-7)=\pm 8</math> | |||
: <math>(x-7)= +8</math> eller <math>(x-7)= -8</math> | |||
: <math>x= 15</math> eller <math>x= -1</math> | |||
}} | |||
=== Dubbelrot === | |||
{{exruta| | |||
: <math>(x-7)^2=0</math> ger dubbelroten | |||
: <math>x=7</math> | |||
}} | |||
=== Nollproduktsmetoden === | |||
Om andragradsekvationen innehåller både kvadratterm och x-term men saknar konstantterm kan man bryta ut x och faktorisera. Om en produkt är lika med noll betyder det att någon av faktorerna är lika med noll. | |||
{{exruta| '''Nollproduktsmetoden''' | |||
: <math>x^2-4x=0</math> | |||
: <math>x(x-4)=0</math> | |||
: <math>x=0</math> eller <math>x-4=0</math> | |||
: <math>x=0</math> eller <math>x=4</math> | |||
}} | |||
Nollproduktsmetoden ger rötter som är olika. | |||
=== Ekvationen saknar reella rötter === | |||
Vissa andragradsekvationen saknar reella rötter (men det finns rötter som består av komplexa tal). | |||
{{exruta| '''Ickereella rötter''' | |||
: <math>x^2=-4</math> | |||
: <math>x=\pm \sqrt{-4}</math> | |||
Det komplexa talet <math>\sqrt{-4}</math> skrivs <math>2 i</math> | |||
}} | |||
= Anteckningar = | |||
<pdf>Fil:Enkla_andragradsekvationer.pdf</pdf> | |||
= Lösningar = | |||
<pdf>Fil:Enkel_andragradsuppgift_med_2_lösningar.pdf</pdf> | |||
= Uppgifter = | |||
=== Öva ekvationslösning med kvadreringsregeln === | |||
:: 16 + 2x = x<sup>2</sup> - 4x + 9 (svår) | |||
:: x<sup>2</sup> + 8x = x - 12 (svår) | |||
= Aktivitet = | |||
{{uppgruta| '''Diskutera metoden''' | {{uppgruta| '''Diskutera metoden''' | ||
Rad 27: | Rad 187: | ||
</html> | </html> | ||
{{uppgruta| '''Hitta på egna ekvationer | {{uppgruta| '''Hitta på egna ekvationer''' | ||
Ett exempel på en ekvation där du får tillämpa dina nyvunna kunskaper skulle kunna vara: | Ett exempel på en ekvation där du får tillämpa dina nyvunna kunskaper skulle kunna vara: | ||
Rad 33: | Rad 193: | ||
:<math> (x+2)^2 = x^2+3</math> | :<math> (x+2)^2 = x^2+3</math> | ||
Hitta på minst fem olika exempel på ekvationer där det ingår kvadrerings- och | Hitta på minst fem olika exempel på ekvationer där det ingår kvadrerings- och konjugatregler. Ekvationerna ska naturligtvis vara lösbara. Fundera noga över vad det innebär att en | ||
ekvation är lösbar. | |||
Lägg gärna in dina ekvationer på sidan med [[uppgifter ekvationslösning]]. | Lägg gärna in dina ekvationer på sidan med [[uppgifter ekvationslösning]]. | ||
Rad 39: | Rad 200: | ||
}} | }} | ||
= Lär mer = | |||
{| align=right | {| align=right | ||
|- | |- | ||
| {{sway | [https://sway.com/yfoOYmaB6SQ8Jie0?ref{{=}}Link Ekvationslösning]}}<br /> | | {{sway | [https://sway.com/yfoOYmaB6SQ8Jie0?ref{{=}}Link Ekvationslösning]}}<br /> | ||
|- | |- | ||
| {{ | | {{wplink| [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/andragradsekvationer/andragradsekvationer Andragradsekvationer] }}<br /> | ||
|- | |- | ||
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/ekvationslosning Repetition ekvationslösning] }}<br /> | | {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/ekvationslosning Repetition ekvationslösning] }}<br /> | ||
|} | |} | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
== Exit ticket == | == Exit ticket == | ||
<headertabs /> |