Addition och subtraktion av vektorer

Teori

Exempel

Aktiviteter

GeoGebra Addition

Uppgifter

Lär mer

[redigera]

Komposanter

Definition
Termerna i en vektoraddition kallas för komposanter och summan av komposanterna kallas resultant.

I en figur kan man åskådliggöra summan av två vektorer som diagonalen i det parallellogram som bildas av de två vektorerna (resultanten har markerats med en blå pil i figuren till höger):

Texten från matteboken.se

Addition av vektorer

Sats	Kommutativa lagen för vektorer Kommutativa lagen gäller för vektorer. Det spelar alltså ingen roll i vilken ordning de adderas det resulterar i samma vektor. [math]\displaystyle{ \mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a} }[/math]

Addition av vektorer med komposanterna utritade

Subtraktion av vektorer

Definition
Subtraktion av en vektor är ekvivalent med additionen av den motsatta vektorn. [math]\displaystyle{ \mathbf{a} -\mathbf{b} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b}) }[/math]

Multiplikation av en skalär och en vektor

Definition
En skalärprodukt är en serie additioner. Exempelvis är [math]\displaystyle{ 3 \cdot \mathbf{a} = \mathbf{a} + \mathbf{a} + \mathbf{a} }[/math] Skalärprodukten går att generalisera till multiplikation av ett reellt tal med en vektor. [math]\displaystyle{ (-1) \cdot \mathbf{a} = -\mathbf{a} }[/math] En enhetsvektor är en vektor med längden 1.

I GeoGebra kan du multiplicera en glidare med en vektor.

Enhetsvektorer parallella med axlarna i ett koordinatsystem är användbara.

Vektorer och trigonometri

Definition
En vektor [math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math] (från origo) i ett koordinatsystem och vinkel v mot x-axeln kan delas upp i komposanter på x-axeln och y-axeln. [math]\displaystyle{ \mathbf{u}_x = \mathbf{u} ~cos(v) }[/math] [math]\displaystyle{ \mathbf{u}_y = \mathbf{u} ~sin(v) }[/math]

Beräkningar med vektorer i koordinatform

En vektor [math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math] kan skrivas med hjälp av komposanterna utefter koordinatsystemets axlar och även uttryckas med hjälp av enhetsvektorerna. Därefter kan vi skriva vektorn på koordinatform. De räkneregler som gäller för vektorer gäller både grafiskt och om vi utför dem på koordinaterna.

[math]\displaystyle{ \mathbf{ u} = \mathbf{ u_x} + \mathbf{u_y} = u_x\mathbf{ e}_x + u_y{\mathbf e}_y = (u_x, u_y) }[/math]

Addition

[math]\displaystyle{ \mathbf{u}~+~\mathbf{v} = (u_x, u_y) + (v_x, v_y) = (u_x + v_x, u_y + v_y) }[/math]

Subtraktion

[math]\displaystyle{ \mathbf{u}~ - ~\mathbf{v} = (u_x, u_y) - (v_x, v_y) = (u_x - v_x, u_y - v_y) }[/math]

Multiplikation med skalär

[math]\displaystyle{ n \cdot \mathbf{u}~ = n \cdot (u_x, u_y) = (n \cdot u_x, n \cdot u_y) }[/math]

[redigera]

Facit: (klicka expandera till höger)

Man kan lösa uppgiften på tre sätt:

1) Rita vektorerna i koordinatsystemet. Se på bilden till höger (den går att förstora).

2) Räkna fram vektorerna:

[math]\displaystyle{ \overline{u} = (1,3) }[/math] och [math]\displaystyle{ \overline{v} = (2,-1) }[/math]

Då är:

[math]\displaystyle{ 2 \overline{u} - 3 \overline{v}= 2 \cdot (1,3) - 3 \cdot (2,-1) = (2 \cdot 1 - 3 \cdot 2, 2 \cdot 3 - 3\cdot (-1) = (-4, 9) }[/math]

3) Det finns en GeoGebra med konstruktionen 2u - 3v. GeoGebra är oerhört kraftfullt. Du kan rita vektorerna eller skriva in deras koordinater. Sedan matar du in 2u - 3v. Klart!

[redigera]

Geogebraövning

GeoGebra med tillämpning i fysik

Här har vi fällt in en GGB som är lite för stor.

Lista: (klicka expandera till höger)

Du kan behöva trycka ctrl- för att se hela GGB:n.

Tillämpningar av vektorer (och trigonometri)

Kloss på lutande plan

Kaströrelse

[redigera]

https://www.geogebra.org/m/Cy8bxaKS

Hitta en GGB med avdrift för ett plan eller en båt

Länk till worksheet: https://www.geogebra.org/m/ty53wFpP

Ovanstående GGB är skapad av Håkan Elderstig fria att använda enligt Creative Commons. Den finns att laddas ner från GeoGebratube.

[redigera]

Uppgift 1

Rita ut och beräkna längden av vektorn [math]\displaystyle{ \mathbf{w} = 2 \mathbf{u} - 3 \mathbf{v} }[/math] om [math]\displaystyle{ \mathbf{u} = (4, 3) }[/math] och [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math] är vektorn som börjar i punkten [math]\displaystyle{ (3, 2) }[/math] och slutar i punkten [math]\displaystyle{ (4, 5) }[/math].

Uppgift 2

Bestäm enhetsvektorn för [math]\displaystyle{ \mathbf{w} = \mathbf{u} - 3 \mathbf{v} }[/math] om [math]\displaystyle{ \mathbf{u} = (-1, 4) }[/math] och [math]\displaystyle{ \mathbf{v} = (0, 2) }[/math].

Uppgift 3

Dela upp [math]\displaystyle{ \mathbf{w} = 5 \mathbf{u} - 2 \mathbf{v} }[/math] i dess x- och y-komposanter om [math]\displaystyle{ \mathbf{u} = (2, 5) }[/math] och [math]\displaystyle{ \mathbf{v} = (-4, 1) }[/math]

Uppgift 4

En båt åker för motor med kurs rakt norrut med farten 7 knop men en kraftig vind från väster ger en avdrift med hastigheten 2 knop. Vilken verklig kurs har båten?

Ett uppgiftsblad som repetition

Här finns uppgifter: Diagnos 7 finns här med repetition av trigonomatri samt nummer 7 och 8 om vektoorer.

[redigera]

GeoGebra - Addition av vektorer

En dynamisk GeoGebra med förklaringar och film.

Fördjupning

Osäkert om detta passar in här. kanske i en Sway.

TEDEd om Pixar och matematik Sub Division borde göra sig fint i GeoGebra. Testa.

Exit ticket

Exit ticket: operationer på vektorer