Grupparbete Geometri Ma1c: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
 
(46 mellanliggande sidversioner av 2 användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__
= Teori =
== Pythagoras sats ==
== Pythagoras sats ==


Rad 4: Rad 7:
[[Fil:1000px-Pythagorean.svg.png|400px|höger]]
[[Fil:1000px-Pythagorean.svg.png|400px|höger]]


Varför ska man kunna Pythagoras sats?
{{malruta| '''- Varför ska man kunna Pythagoras sats?'''
 
* Det hör faktiskt till allmänbildningen
* Det hör faktiskt till allmänbildningen
* Man kan faktiskt använda det i verkligheten. Tag ett rep och spänn upp en triangel med sidorna tre, fyra och fem meter och du har en rät vinkel med stora mått. Bra om du ska sätta ut en husgrund till exempel.
* Man kan faktiskt använda det i verkligheten. Tag ett rep och spänn upp en triangel med sidorna tre, fyra och fem meter och du har en rät vinkel med stora mått. Bra om du ska sätta ut en husgrund till exempel.
* Den är oerhört användbar till att lösa matematiska problem.
* Den är oerhört användbar till att lösa matematiska problem.
}}


{{clear}}
{{clear}}
Rad 14: Rad 19:
[[Fil:Triangel-slag.svg|right|560px]]
[[Fil:Triangel-slag.svg|right|560px]]


: En triangel är '''rätvinklig''' om en vinkel är rät (90 grader eller pi/2)
{{defruta|
: En triangel är '''rätvinklig''' om en vinkel är rät d.v.s vinkeln är <math> 90^\circ </math>


: Den längsta sidan i en rätvinklig triangel kallas '''hypotenusa'''.
: Den längsta sidan i en rätvinklig triangel kallas '''hypotenusa'''.


: De två kortare sidorna i en rätvinklig triangel kallas kateter.
: De två kortare sidorna i en rätvinklig triangel kallas kateter.
}}
{{clear}}
{{clear}}


==== Sats ====
==== Sats ====


Summan av kateternas kvadrater är lika med kvadraten på hypotenusan.
{{sats| '''Pythagoras sats'''
 
För en rätvinklig triangel gäller att summan av kateternas kvadrater är lika med kvadraten på hypotenusan. a och b är alltså den rätvinkliga triangelns kateter och c är hypotenusan.


: <math> a^2 + b^2 = c^2 </math>
: <math> a^2 + b^2 = c^2 </math>
}}


==== Bevis ====
==== Ett vanligt bevis ====


[[Fil:1000px-Pythagorean proof.svg.png|400px|left|Bevis genom att arrangera om trianglarna.]]
[[Fil:Pythagorean_Theorem_Proof.gif|500px|Right|Animering av ett bevis genom att arrangera om trianglarna.]]
[[Fil:Pythagorean_Theorem_Proof.gif|500px|Right|Animering av samma bevis genom att arrangera om trianglarna.]]
{{clear}}
{{clear}}
[[Fil:Pythagoras-2a.gif|300px|höger|här ser vi ett annorlunda sätt att arrangera om trianglar och rektanglar för att bevisa Pythagoras sats.]]


''Bilderna kommer från commons.wikimedia.org''
= Aktivitet =
{{clear}}
 
== Aktivitet ==


=== Vi ser en film från TEDEd ===
=== Vi ser en film från TEDEd ===


{{#ev:youtube |YompsDlEdtc |400 |right |How many ways are there to prove the Pythagorean theorem? - Betty Fei}}
<html>
<iframe width="560" height="315" align="right" src="https://www.youtube.com/embed/YompsDlEdtc" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen></iframe>
</html>


Vi ser en film tillsammans på [https://ed.ted.com/lessons/how-many-ways-are-there-to-prove-the-pythagorean-theorem-betty-fei#review TEDEd].
Vi ser en film tillsammans på [https://ed.ted.com/lessons/how-many-ways-are-there-to-prove-the-pythagorean-theorem-betty-fei#review TEDEd].
Rad 54: Rad 61:


'''[https://www.geogebra.org/m/jFFERBdd Proofs Without Words for the Pythagorean Theorem].'''
'''[https://www.geogebra.org/m/jFFERBdd Proofs Without Words for the Pythagorean Theorem].'''
=== Problemlösning ===
Vi presenterar en serie problem av algebraisk geometrisk karaktär vilka lämpar sig att lösa med hjälp v Pythagoras sats.


=== Diskussion ===
=== Diskussion ===
Rad 70: Rad 73:
{{uppgruta |'''Förklara ett bevis av Pythagoras sats'''
{{uppgruta |'''Förklara ett bevis av Pythagoras sats'''


Ni ska '''välja''' ett bevis av Pythagoras sats och förklara det.
Ni ska lära er bevis er grupps bevis av Pythagoras sats och förklara det.


Gör en tydlig presentation som betonar beviset och ur man kan veta att det är ett giltigt samband.
På måndag ska ni förklara beviset för elever från de andra grupperna.


Bedömningen sker på kommunikations- och resonemangsförmågan.
Bedömningen sker på kommunikations- och resonemangsförmågan.
Rad 82: Rad 85:


== Ämnesområden ==
== Ämnesområden ==
Ni blir tilldelade ett av följande bevis:


Välj ett bevis av Pythagoras sats genom att söka på geogebra.org eller Google. Lämpliga sökord: '''pythagorean theorem'''
=== Grupp a^2 ===
 
Det här är ett geometriskt bildbevis.
 
[[Fil:1000px-Pythagorean proof.svg.png|400px|left|Bevis genom att arrangera om trianglarna.]]
 
'''Algebraiskt'''
 
: <math> (a+b)(a+b) = c^2 + 4 \cdot \frac{ab}{2} </math>
{{clear}}
 
=== Grupp b^2 ===
 
[[Fil:Pythagorass 4 trianglar.PNG|400px|vänster]]
[[Fil:Pythagoras hel.PNG|200px|vänster]]
 
'''Algebraiskt'''
 
: <math> c^2 =  (a-b)(a-b) + 4 \cdot \frac{ab}{2} </math>
 
{{clear}}
 
=== Grupp c^2 ===
 
[[Fil:Pythagoras-2a.gif|300px|left|här ser vi ett annorlunda sätt att arrangera om trianglar och rektanglar för att bevisa Pythagoras sats.]]
 
''Bilderna kommer från commons.wikimedia.org''
 
: '''Ledtråd:''' Fundera på och förklara vad den lilla kvadraten i mitten har för funktion.
{{clear}}


== Innehåll i presentationen ==
== Innehåll i presentationen ==
Rad 91: Rad 125:
* Definitioner, satser och bevis
* Definitioner, satser och bevis
* Exempel
* Exempel
=== Bädda in i presentation ===
* [https://store.office.com/addinsinstallpage.aspx?rs=en-US&assetid=WA104363477 Install GeoGebra for Powerpoint]


== Redovisningsformer ==
== Redovisningsformer ==
=== Redovisning i tvärgrupper ===
Två personer per bevis samlas i tvärgrupper om sex personer. Alla redovisar sitt bevis.
De personer som har samma bevis kommer från olika förberedelsegrupper. Det gör att bevisen presenteras olika och ni lär er mer om hur man kan göra för att presentera ett bevis på ett bra sätt.
Ge gärna kort respons till varandra enligt formen two stars and a wish.
=== Individuell redovisning (alternativ 2) ===


Ni kan redovisa genom att hålla ett tal (med presentationsverktyg), skapa en GeoGebra (med förklarande text och flera steg eller animering) eller skapa en sida på Wikiskola.
Ni kan redovisa genom att hålla ett tal (med presentationsverktyg), skapa en GeoGebra (med förklarande text och flera steg eller animering) eller skapa en sida på Wikiskola.
Rad 98: Rad 146:
'''[[Presentationstrick i GeoGebra]]''' handlar om hur du exempelvsi flyttar trianglar och samtidigt roterar dem genom att dra i en glidare. Dessutom hur du på ett magiskt sätt visar eller döljder objekt när du drar i glidaren.
'''[[Presentationstrick i GeoGebra]]''' handlar om hur du exempelvsi flyttar trianglar och samtidigt roterar dem genom att dra i en glidare. Dessutom hur du på ett magiskt sätt visar eller döljder objekt när du drar i glidaren.


== Lär mer ==
= Problemlösning =
 
Vi presenterar en serie problem av algebraisk geometrisk karaktär vilka lämpar sig att lösa med hjälp v Pythagoras sats.
 
* [[Problem med Pythagoras]], av Nicklas Mörk. Det är en bild per problem. De är CC. Svårighetsgraden ökar gradvis.
* [http://ollesmatte.se/onewebmedia/geo%20pyhtagoras,%20probleml%C3%B6sning.pdf Svårighetsnivåer i problem med Pythagoras sats], OllesMatte.se.
 
= Python =
 
[[Kategori:Python]] [[Kategori:Ma1c]] [[Kategori:Algebra]] 
{{python|[[Python|Python-hjälp]] och [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler uppgifter]}}
 
{{malruta| '''Kom igång med programmering i matematiken.'''
 
Målet är att du ska använda program för att utföra matematiska beräkningar.
Du bör testa att modifiera algoritmen så att dina beräkningar blir mer effektiva.
 
Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.
}}
 
== Avståndet mellan två punkter==
 
Beräkna hypotenusans längd med ett program. Det här är en övning som ger mer förståelse för Pythagoras sats och formelns betydelse i beräkningar.
 
{{uppgruta| '''Avståndet'''
 
# Kör programmet och fundera över hur det fungerar.
# Känner du igen Pythagoras sats i programmet?
# Hur hänger de två punkterna ihop med kateterna och hypotenusan?
# Programmet använder strängar. Hur fungerar de?
# Gör om programmet till att beräkna avståndet mellan två punkter i tre dimensioner. Först måste du bestämma vilken formel du ska använda.
# Gör om programmet så att man matar in värdena för de två punkterna
}}
 
I det här programmet använder vi egentligen något som kallas avståndsformeln som du kommer att träffa på i Ma2c men det är i grund och botten Pythagoras sats.
{{clear}}


[http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=150&on_menu=802&page_id_to_fetch=2027&lang=swedish&no_cache=8585192 Webbmatte om Pythagoras sats]
== Python-koden ==
[http://www.walter-fendt.de/m14e/pyththeorem.htm Fendt nr 2]


[http://www.walter-fendt.de/m14e/pyth2.htm Pythagoras, Walter Fendt]
<pre>
import math


'''Uppgift:''' Titta själv igenom Geoegebras [http://www.geogebra.se/ma_b/geometri/pythagoras_sats_geometrisk_motivering_t.html film om pythagoras sats].
p1 = [4, 0]
p2 = [6, 6]
distance = math.sqrt( ((p1[0]-p2[0])**2)+((p1[1]-p2[1])**2) )


'''Uppgift:''' Hitta ditt eget favoritbevis på nätet och visa för oss andra.
print(distance)
'''
</pre>
Bra övning:''' [http://www.geogebratube.org/student/m503 Upptäck Pythagoras] i GeoGebra.


[http://www.faculty.umb.edu/gary_zabel/Courses/Phil%20281b/Philosophy%20of%20Magic/Arcana/Neoplatonism/Pythagoras/index.shtml.html Pythagorean Theorem], umb.
Uppgiften är inspirerad av [https://www.w3resource.com/python-exercises/python-basic-exercise-40.php w3resource]


== Elevsidor ==
= Lär mer =
 
# [http://www.webbmatte.se/display_page.php?id=150&on_menu=802&page_id_to_fetch=2027&lang=swedish&no_cache=8585192 Webbmatte om Pythagoras sats]
# [http://www.walter-fendt.de/m14e/pyththeorem.htm Fendt nr 2]
# [http://www.walter-fendt.de/m14e/pyth2.htm Pythagoras, Walter Fendt]
# '''Uppgift:''' Titta själv igenom Geoegebras [http://www.geogebra.se/ma_b/geometri/pythagoras_sats_geometrisk_motivering_t.html film om pythagoras sats].
# '''Uppgift:''' Hitta ditt eget favoritbevis på nätet och visa för oss andra.
# Bra övning:''' [http://www.geogebratube.org/student/m503 Upptäck Pythagoras] i GeoGebra.
# [http://www.faculty.umb.edu/gary_zabel/Courses/Phil%20281b/Philosophy%20of%20Magic/Arcana/Neoplatonism/Pythagoras/index.shtml.html Pythagorean Theorem], umb.
# [http://iugrina.com/files/faks/pftb/pftb.pdf Proofs from the Book: ”Several proofs of Pythagorean theorem”]
# [https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Pythagorean Theorem, Cut the Knot]
# http://www.malinc.se/math/geometry/pythagorasen.php
# Om du får tid över kan du titta på andra bevis av Pythagoras sats genom att söka på geogebra.org eller Google. Lämpliga sökord: '''pythagorean theorem'''
 
= Elevsidor =


: [[Pythagoras grupp 1]]
: [[Pythagoras sats 2]]
: [[Pythagoras sats 2]]
: [[Pythagoras bevis grupp hamale|Pythagoras bevis grupp HaMaLe]]
<headertabs />

Nuvarande version från 4 oktober 2019 kl. 11.46

[redigera]

Pythagoras sats

Load video
YouTube
Mål för undervisningen - Varför ska man kunna Pythagoras sats?
  • Det hör faktiskt till allmänbildningen
  • Man kan faktiskt använda det i verkligheten. Tag ett rep och spänn upp en triangel med sidorna tre, fyra och fem meter och du har en rät vinkel med stora mått. Bra om du ska sätta ut en husgrund till exempel.
  • Den är oerhört användbar till att lösa matematiska problem.


Definitioner

Definition
En triangel är rätvinklig om en vinkel är rät d.v.s vinkeln är [math]\displaystyle{ 90^\circ }[/math]
Den längsta sidan i en rätvinklig triangel kallas hypotenusa.
De två kortare sidorna i en rätvinklig triangel kallas kateter.

Sats

Sats


Pythagoras sats

För en rätvinklig triangel gäller att summan av kateternas kvadrater är lika med kvadraten på hypotenusan. a och b är alltså den rätvinkliga triangelns kateter och c är hypotenusan.

[math]\displaystyle{ a^2 + b^2 = c^2 }[/math]


Ett vanligt bevis

Animering av ett bevis genom att arrangera om trianglarna.

[redigera]

Vi ser en film från TEDEd

Vi ser en film tillsammans på TEDEd.

Kolla om du förstår

Välj gärna ett bevis och fundera på om du förstår och kan förklara för dig själv hur beviset fungerar. Vad bygger beviset på för satser?

Länken nedan går till en s k GeoGebraBook. Det är en samling med flera GeoGebrakonstruktioner som du kan bläddra mellan. Den heter Proofs Without Words, av Steve Phelps, Feb 2, 2015. Tanken med att den är utan ord är att du ska få klura själv.

Proofs Without Words for the Pythagorean Theorem.

Diskussion

Är beviset till höger ett fullt allmängiltiga bevis?

Gruppens uppgift

Uppgift
Förklara ett bevis av Pythagoras sats

Ni ska lära er bevis er grupps bevis av Pythagoras sats och förklara det.

På måndag ska ni förklara beviset för elever från de andra grupperna.

Bedömningen sker på kommunikations- och resonemangsförmågan.


Vilka grupper?

Tre per grupp, Vi lottar.

Ämnesområden

Ni blir tilldelade ett av följande bevis:

Grupp a^2

Det här är ett geometriskt bildbevis.

Bevis genom att arrangera om trianglarna.
Bevis genom att arrangera om trianglarna.

Algebraiskt

[math]\displaystyle{ (a+b)(a+b) = c^2 + 4 \cdot \frac{ab}{2} }[/math]

Grupp b^2

Algebraiskt

[math]\displaystyle{ c^2 = (a-b)(a-b) + 4 \cdot \frac{ab}{2} }[/math]

Grupp c^2

här ser vi ett annorlunda sätt att arrangera om trianglar och rektanglar för att bevisa Pythagoras sats.
här ser vi ett annorlunda sätt att arrangera om trianglar och rektanglar för att bevisa Pythagoras sats.

Bilderna kommer från commons.wikimedia.org

Ledtråd: Fundera på och förklara vad den lilla kvadraten i mitten har för funktion.

Innehåll i presentationen

Använd text, bild, animeringar, filmer, etc för att skapa en pedagogisk presentation

  • Definitioner, satser och bevis
  • Exempel

Bädda in i presentation

Redovisningsformer

Redovisning i tvärgrupper

Två personer per bevis samlas i tvärgrupper om sex personer. Alla redovisar sitt bevis.

De personer som har samma bevis kommer från olika förberedelsegrupper. Det gör att bevisen presenteras olika och ni lär er mer om hur man kan göra för att presentera ett bevis på ett bra sätt.

Ge gärna kort respons till varandra enligt formen two stars and a wish.

Individuell redovisning (alternativ 2)

Ni kan redovisa genom att hålla ett tal (med presentationsverktyg), skapa en GeoGebra (med förklarande text och flera steg eller animering) eller skapa en sida på Wikiskola.

Presentationstrick i GeoGebra handlar om hur du exempelvsi flyttar trianglar och samtidigt roterar dem genom att dra i en glidare. Dessutom hur du på ett magiskt sätt visar eller döljder objekt när du drar i glidaren.

[redigera]

Vi presenterar en serie problem av algebraisk geometrisk karaktär vilka lämpar sig att lösa med hjälp v Pythagoras sats.

[redigera]
Programmeringsuppgift

Python-hjälp och Fler uppgifter


Mål för undervisningen Kom igång med programmering i matematiken.

Målet är att du ska använda program för att utföra matematiska beräkningar. Du bör testa att modifiera algoritmen så att dina beräkningar blir mer effektiva.

Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.


Avståndet mellan två punkter

Beräkna hypotenusans längd med ett program. Det här är en övning som ger mer förståelse för Pythagoras sats och formelns betydelse i beräkningar.

Uppgift
Avståndet
  1. Kör programmet och fundera över hur det fungerar.
  2. Känner du igen Pythagoras sats i programmet?
  3. Hur hänger de två punkterna ihop med kateterna och hypotenusan?
  4. Programmet använder strängar. Hur fungerar de?
  5. Gör om programmet till att beräkna avståndet mellan två punkter i tre dimensioner. Först måste du bestämma vilken formel du ska använda.
  6. Gör om programmet så att man matar in värdena för de två punkterna


I det här programmet använder vi egentligen något som kallas avståndsformeln som du kommer att träffa på i Ma2c men det är i grund och botten Pythagoras sats.

Python-koden

import math

p1 = [4, 0]
p2 = [6, 6]
distance = math.sqrt( ((p1[0]-p2[0])**2)+((p1[1]-p2[1])**2) )

print(distance)

Uppgiften är inspirerad av w3resource

[redigera]
  1. Webbmatte om Pythagoras sats
  2. Fendt nr 2
  3. Pythagoras, Walter Fendt
  4. Uppgift: Titta själv igenom Geoegebras film om pythagoras sats.
  5. Uppgift: Hitta ditt eget favoritbevis på nätet och visa för oss andra.
  6. Bra övning: Upptäck Pythagoras i GeoGebra.
  7. Pythagorean Theorem, umb.
  8. Proofs from the Book: ”Several proofs of Pythagorean theorem”
  9. Pythagorean Theorem, Cut the Knot
  10. http://www.malinc.se/math/geometry/pythagorasen.php
  11. Om du får tid över kan du titta på andra bevis av Pythagoras sats genom att söka på geogebra.org eller Google. Lämpliga sökord: pythagorean theorem
Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Grupparbete_Geometri_Ma1c&oldid=52287”