Begrepp inom algebran: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 24 september 2019 kl. 09.33

Mål för undervisningen Algebraiska uttryck

Vi går igenom alla regler som används inom aritmetiken och algebran. Du kommer att lära dig flera nya begrepp inom algebran. Du kommer att öva dig i att förenkla algebraiska uttryck med hjälp av reglerna.

Algebraiska regler

Den här texten kommer ursprungligen från Wikipedia och är relativt avancerad när det gäller det matematiska språket. Stringens är viktigt och det är nödvändigt att du vänjer dig vid att läsa liknande texter för att kunna lära dig mer från exempelvis Wikipedia eller läroböcker på mer avancerad nivå.

Definition

Samma regler inom aritmetiken som i algebran

Kommutativa lagen.

Operatorn [math]\displaystyle{ \star }[/math] på en mängd [math]\displaystyle{ S }[/math] är kommutativ om och endast om det för alla element [math]\displaystyle{ x }[/math] och : [math]\displaystyle{ y }[/math] i [math]\displaystyle{ S }[/math] gäller att

[math]\displaystyle{ x \star y = y \star x }[/math].

Associativa lagen.

En binär operator * på en mängd S kallas associativ om det för alla x, y och z i S gäller att

(x * y) * z = x * (y * z).

Om så är fallet kan man använda beteckningen x * y * z, eftersom det inte spelar någon roll i vilken ordning operationerna utförs.

Distributiva lagen.

En operator, [math]\displaystyle{ \,* }[/math], sägs vara distributiv med avseende på en annan operator, +, om det för alla x, y och z i en mängd S gäller att

[math]\displaystyle{ \, x * (y + z) = (x * y) + (x * z) }[/math]

och

[math]\displaystyle{ \, (y + z) * x = (y * x) + (z * x) }[/math]

Prioriteringsreglerna

Utför beräkningar inom parenteser först, därefter multiplikationer och divvisioner och sist additioner och subtraktioner.

Potenslagarna

Ur definitionen av potenser med positiva tal som heltalsexponent, kan potenslagarna härledas:

[math]\displaystyle{ {(x \cdot y)}^n = x^n \cdot y^n }[/math]

[math]\displaystyle{ { \left( {x \over y }\right)^m} = {x^m \over y^m} }[/math]

[math]\displaystyle{ x^m \cdot x^n = x^{m+n} }[/math]

[math]\displaystyle{ {x^m \over x^n} = x^{m-n}, (x \ne 0) }[/math]

[math]\displaystyle{ {(x^m)}^n = x^{m \cdot n} }[/math]

Utgående från dessa lagar definieras sedan utvidgade betydelser av potens.

[redigera]

Algebraiska begrepp

Uppgift
Googla något av begreppen i listan och lär dig mer. Om du hittar något begrepp som inte finns på listan så loggar du in på wikiskola och skriver dit det i listan tillsammans med en förklaring.

Lär dig dessa begrepp och matematikord

Ord	Betydelse
bestäm	fastställa värdet av
beräkna	räkna ut värdet av
bryt ut	den distributiva lagen "baklänges"
definitionsmängd	Det finns endast vissa värden på x där en funktion gäller - eller som det heter, där funktionen är definierad. Man brukar kalla alla tillåtna x-värden för funktionens definitionsmängd; detta är den mängd av värden på den oberoende variabeln, i detta fall x, som är tillåtna.
grad	vinkelenhet
ekvation	två uttryck med ett likhetstecken mellan
faktorisera	dela upp i faktorer, oftast primtalsfaktorer
flytta över	förändra en formel eller ett uttryck genom att utföra samma operation på båda sidor om likhetstecknet
formel	en ensam variabel i vänster led och ett uttryck i höger led
funktion	ett samband mellan två eller flera variabler, ex [math]\displaystyle{ y = 3 x - 2 }[/math]
förenkla	minska komplexiteten i ett uttryck genom att slå ihop termer, förkorta, mm
förkorta	plocka bort likadana faktorer på varsin sida av ett bråkstreck eller likhetstecken
höger led	termerna till höger om likhetstecknet i en ekvation
koefficient	det tal som är direkt ansluten till en variabel, exempel vis "5"i "5x"
konstant	en bokstav betecknar ett tal som inte varierar, exempelvis [math]\displaystyle{ \pi }[/math]
lös ut	se till att en variabel hamnar ensam till vänster i en ekvation
modell	en problemformulering i ett verkligt problem uttryckt med matematik
operator	tecken som visar vilket räknesätt som ska användas, exempelvis [math]\displaystyle{ +, -, *, / }[/math]
rot	lösning till ekvation
upphöjt	någonting multiplicerat med sig själv ett visst antal gånger
uttryck	en kombination av tal, variabler och operatorer
variabel	en bokstav som i ett uttryck, formel eller ekvation betecknar ett värde som kan variera
vänster led	termerna till vänster om likhetstecknet i en ekvation
värdemängd	Varje tillåtet värde på x-axeln motsvarar ett specifikt värde på y-axeln. Alla möjliga värden på y kallas för funktionens värdemängd - värdemängden är de värden som funktionen kan anta.
värdet av	att sätta in siffror i ett uttryck och räkna ut vad det är

[redigera]

Öva förenkling

Demonstrationsexempel för förenkling:

[math]\displaystyle{ 5x - 2y - x +3 }[/math]

[math]\displaystyle{ 3x - 2y^2 - xy + 2y^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{10^9 + 10^7}{10^7 + 3*10^7} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{6x^2 - 2xy}{ - 4x +8x^2 } }[/math]

Lär mer

Uttryck, formler och variabler. Förenkla algebraiska uttryck.

Swayen till detta avsnitt: Begrepp inom algebra

läromedel: Teori: Uttryck och formler

Läs om Förenkla uttryck

Matematik 1a 1b 1c A algebra uttryck formler variabler

Matematik 1a 1b 1c A Förenkla algebraiska uttryck

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-{|
+__NOTOC__
-|-
+= Teori =
-| {{malruta | Algebraiska uttryck
+{{malruta | Algebraiska uttryck
 Vi går igenom alla regler som används inom aritmetiken och algebran.
 Du kommer att lära dig flera nya begrepp inom algebran.
 Du kommer att öva dig i att förenkla algebraiska uttryck med hjälp av reglerna.
-}} |
+}}
-| {{sway | [https://sway.com/NF2wDSEx486cBo3M?ref{{=}}Link Begrepp inom algebra]}}<br />
-{{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-1c/article/56de6466-3ec4-40e1-ac30-fb97e8633f9f Teori: Uttryck och formler] }}<br />
+=== Algebraiska regler ===
-{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/forenkla-uttryck Förenkla uttryck] }}<br />
-|}
+Den här texten kommer ursprungligen från Wikipedia och är relativt avancerad när det gäller det matematiska språket. Stringens är viktigt och det är nödvändigt att du vänjer dig vid att läsa liknande texter för att kunna lära dig mer från exempelvis Wikipedia eller läroböcker på mer avancerad nivå.
+{{defruta | '''Samma regler inom aritmetiken som i algebran'''<br />
+: '''Kommutativa lagen.'''
+Operatorn <math>\star</math> på en mängd <math>S</math> är '''kommutativ''' om och endast om det för alla element <math>x</math> och : <math>y</math> i <math>S</math> gäller att
+: <math>x \star y = y \star x</math>.<br />
+: '''Associativa lagen.'''
+En binär operator * på en mängd ''S'' kallas '''associativ''' om det '''för alla''' ''x'', ''y'' och ''z'' i ''S'' gäller att
+:(''x'' * ''y'') * ''z'' {{=}} ''x'' * (''y'' * ''z'').
+Om så är fallet kan man använda beteckningen ''x'' * ''y'' * ''z'', eftersom det inte spelar någon roll i vilken ordning operationerna utförs.<br />
+: '''Distributiva lagen.'''
+En operator, <math>\,*</math>, sägs vara '''distributiv''' med avseende på en annan operator, +, om det för alla ''x'', ''y'' och ''z'' i en mängd ''S'' gäller att
+: <math>\, x * (y + z) = (x * y) + (x * z)</math>
+: och
+:<math>\, (y + z) * x = (y * x) + (z * x)</math><br />
-== Aktivitet ==
+: '''Prioriteringsreglerna'''
-=== Algebraiska regler ===
+: Utför beräkningar inom parenteser först, därefter multiplikationer och divvisioner och sist additioner och subtraktioner.
-{{defruta | Samma regler inom aritmetiken som i algebran
+: '''Potenslagarna'''
+Ur definitionen av potenser med positiva tal som heltalsexponent, kan '''potenslagarna''' härledas:
+* <math>{(x \cdot y)}^n = x^n \cdot y^n </math>
+:
+* <math>{ \left( {x \over y }\right)^m} = {x^m \over y^m}</math>
+:
+* <math>x^m \cdot x^n = x^{m+n}</math>
+:
+* <math>{x^m \over x^n} = x^{m-n}, (x \ne 0)</math>
+:
+* <math>{(x^m)}^n = x^{m \cdot n}</math>
-* associativa lagen. :<math>a \star b \star a^{-1} \star b^{-1}</math>
+Utgående från dessa lagar definieras sedan utvidgade betydelser av potens.
-* kommutativa lagen. Operatorn <math>\star</math> på en mängd <math>S</math> är '''kommutativ''' om och endast om det för alla [[element (mängdteori)|element]] <math>x</math> och <math>y</math> i <math>S</math> gäller att
-:<math>x \star y = y \star x</math>.
 }}
+= Aktivitet med begrepp =
 === Algebraiska begrepp ===
@@ Rad 28: / Rad 57: @@
 {{uppgruta | Googla något av begreppen i listan och lär dig mer.
-Om du hittar något begrepp som inte finns på listan så loggar du in på wikiskola och skriver dit deet i listan tillsammans med en förklaring.
+Om du hittar något begrepp som inte finns på listan så loggar du in på wikiskola och skriver dit det i listan tillsammans med en förklaring.
 }}
-{{defruta | Lär dig dessa begrepp
+'''Lär dig dessa begrepp och matematikord'''
+{| class{{=}}"wikitable"
+|-
+! Ord !! Betydelse
+|-
+| bestäm || fastställa värdet av
+|-
+| beräkna || räkna ut värdet av
+|-
+| bryt ut|| den distributiva lagen "baklänges"
+|-
+| definitionsmängd || Det finns endast vissa värden på x där en funktion gäller - eller som det heter, där funktionen är definierad. Man brukar kalla alla tillåtna x-värden för funktionens definitionsmängd; detta är den mängd av värden på den oberoende variabeln, i detta fall x, som är tillåtna.
+|-
+| grad|| vinkelenhet
+|-
+| ekvation || två uttryck med ett likhetstecken mellan
+|-
+| faktorisera || dela upp i faktorer, oftast primtalsfaktorer
+|-
+| flytta över || förändra en formel eller ett uttryck genom att utföra samma operation på båda sidor om likhetstecknet
+|-
+| formel || en ensam variabel i vänster led och ett uttryck i höger led
+|-
+| funktion || ett samband mellan två eller flera variabler, ex <math>y = 3 x - 2</math>
+|-
+| förenkla || minska komplexiteten i ett uttryck genom att slå ihop termer, förkorta, mm
+|-
+| förkorta || plocka bort likadana faktorer på varsin sida av ett bråkstreck eller likhetstecken
+|-
+| höger led || termerna till höger om likhetstecknet i en ekvation
+|-
+| koefficient|| det tal som är direkt ansluten till en variabel, exempel vis "5"i "5x"
+|-
+| konstant || en bokstav betecknar ett tal som inte varierar, exempelvis <math> \pi </math>
+|-
+| lös ut || se till att en variabel hamnar ensam till vänster i en ekvation
+|-
+| modell|| en problemformulering i ett verkligt problem uttryckt med matematik
+|-
+| operator || tecken som visar vilket räknesätt som ska användas, exempelvis <math> +, -, *, /</math>
+|-
+| rot|| lösning till ekvation
+|-
+| upphöjt|| någonting multiplicerat med sig själv ett visst antal gånger
+|-
+| uttryck || en kombination av tal, variabler och operatorer
+|-
+| variabel || en bokstav som i ett uttryck, formel eller ekvation betecknar ett värde som kan variera
+|-
+| vänster led || termerna till vänster om likhetstecknet i en ekvation
+|-
+| värdemängd || Varje tillåtet värde på x-axeln motsvarar ett specifikt värde på y-axeln. Alla möjliga värden på y kallas för funktionens värdemängd - värdemängden är de värden som funktionen kan anta.
+|-
+| värdet av || att sätta in siffror i ett uttryck och räkna ut vad det är
+|}
+= Korsord =
+<pdf>Fil:Korsord_nc.pdf</pdf>
+= Korsord 2 =
+<pdf>Fil:Korsord_information_gap_nc.pdf</pdf>
+= Korsord 3=
+<pdf>Fil:Korsord_information_gap.pdf</pdf>
+= Uppgifter  =
+== Öva förenkling ==
-* ekvation
+Demonstrationsexempel för förenkling:
-* formel
-* funktion
-* konstant.
-* uttryck.
-* variabel
-}}
-=== Finn regeln ===
+: <math> 5x - 2y - x +3 </math>
-=== Förenkling ===
+: <math> 3x - 2y^2 - xy + 2y^2 </math>
-== Öva själv ==
+: <math> \frac{10^9 + 10^7}{10^7 + 3*10^7}</math>
-* [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-1c/article/bf2a18d8-4d16-42ce-836a-3fb54d615e72 Öva 2: Ekvationer]
+: <math> \frac{6x^2 - 2xy}{ - 4x +8x^2 }</math>
 == Lär mer ==
 === Uttryck, formler och variabler. Förenkla algebraiska uttryck. ===
+{| align="right"
+|-
+| {{sway | [https://sway.com/NF2wDSEx486cBo3M?ref{{=}}Link Begrepp inom algebra]}}<br />
+|-
+| {{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-1c/article/56de6466-3ec4-40e1-ac30-fb97e8633f9f Teori: Uttryck och formler] }}<br />
+|-
+| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/algebra/forenkla-uttryck Förenkla uttryck] }}<br />
+|}
+: [https://www.youtube.com/watch?v=6JBVYoNmUJw&t=17s Matematik 1a 1b 1c A algebra uttryck formler variabler]
+: [https://www.youtube.com/watch?v=ok4gAxSWPQM&t=8s Matematik 1a 1b 1c A Förenkla algebraiska uttryck]
+{{#ev:youtube|6JBVYoNmUJw|340 |left}}
+{{#ev:youtube|ok4gAxSWPQM|340 |left}}
+<html><div style="clear:both"></div></html>
+=== Öva själv ===
-{{#ev:youtube|6JBVYoNmUJw|340 |right}}
+* [http://wikiskola.se/images/%C3%96vningsuppgifter_p%C3%A5_f%C3%B6renklingar.pdf Övningsblad förenklingar]
-{{#ev:youtube|ok4gAxSWPQM|340 |right}}
 {{clear}}
 === Förenkla avancerat exempel. ===
+: [https://www.youtube.com/watch?v=dwzEVOvIUBU Matematik 1c A Algebra förenkla avancerat exempel]
 {{#ev:youtube |dwzEVOvIUBU |340|right}}
-<br>
+=== Öva själv ===
+* [http://wikiskola.se/images/%C3%96vningsblad_i_faktorisering_2.pdf Övningsblad 2 faktorisering]
 {{clear}}
 == Exit ticket ==
+<headertabs />

Begrepp inom algebran: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 24 september 2019 kl. 09.33

Algebraiska regler

Algebraiska begrepp

Öva förenkling

Lär mer

Uttryck, formler och variabler. Förenkla algebraiska uttryck.

Öva själv

Förenkla avancerat exempel.

Öva själv

Exit ticket

Navigeringsmeny

Sök