Rotekvationer Ma2c

Teori

Exempel

Anteckningar

Uppgifter

GeoGebra

Aktivitet

Lär mer

[redigera]

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Rotekvationen

Inledande exempel

Kvadrering av leden vid ekvationslösning är en operation som behövs för att lösa vissa typer av ekvationer. Exempel på detta är vanligen rotekvationer. Betrakta följande ekvation som vi söker reella rötter till.

[math]\displaystyle{ \sqrt{2x}=\sqrt{x^2-3} }[/math]

Genom att kvadrera båda sidor här ges ekvationen

[math]\displaystyle{ 2x=x^2-3 }[/math]

som sedan kan omformuleras till

[math]\displaystyle{ x^2-2x-3=0\, }[/math]

med lösningarna/rötterna

[math]\displaystyle{ x = -1 }[/math] och [math]\displaystyle{ x = 3 }[/math].

Eftersom [math]\displaystyle{ \sqrt{2x} }[/math] blir imaginärt med roten [math]\displaystyle{ x = -1 }[/math] förkastas den roten och den enda sanna roten till rotekvationen ovan är [math]\displaystyle{ x = 3 }[/math].

Metod

Om du har en ekvation där någon x-terem befinner sig under ett rottecken löser du den genom att arrangera termerna så att rottecknet är ensamt på en sida. Sedan kvadrerar du v.l och h.l var för sig och vips är rottecknet borta. Sedan löser du (andragrads-)ekvationen på vanligt sätt.

När man löser en rotekvation genom kvadrering får man ibland ut så kallade falska rötter. Dessa framstår vid en första anblick som lösningar (rötter) till den ursprungliga ekvationen, men om man testar att använda dem så visar det sig att de i själva verket inte utgör lösningar.

Därför är det viktigt att vi testar de lösningar som vi får då vi löser rotekvationer. Det gör vi genom att vi stoppar in de funna lösningarna i den ursprungliga rotekvationen och ser om likheten gäller med dessa värden, det vill säga att det vänstra ledet verkligen är lika det med högra ledet.

Antalet rötter är lika med graden av polynomet

Sats

Algebrans fundamentalsats Algebrans fundamentalsats kan formuleras som Ett polynom [math]\displaystyle{ P(z) = a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \ldots + a_1z + a_0 }[/math] av graden [math]\displaystyle{ n\gt 0 }[/math] med komplexa koefficienter [math]\displaystyle{ a_0 \ldots a_n }[/math] har minst en komplex rot. Varje algebraisk ekvation med komplexa koefficienter av graden [math]\displaystyle{ n }[/math], där [math]\displaystyle{ n }[/math] är större än 1, har precis [math]\displaystyle{ n }[/math] komplexa nollställen, räknade med multiplicitet (rötter kan vara lika).

Detta kan tyckas vara ett strängare påstående, men det kan lätt visas vara ekvivalent med satsformuleringen genom användning av faktorsatsen.

Koefficienterna anges som komplexa tal vilken innefattar de reella talen, då dessa är isomorfa med de komplexa tal för vilka imaginärdelen är noll.

Falska rötter

Om man löser en rotekvation genom att kvadrera vänster led och höger led dubblerar man ju polynomens grad. Det innebär att man skapar nya rötter. Eftersom de nya rötterna inte stämmer med originalekvationen kallas de falska rötter.

Det är inte så att det alltid finns en falsk rot. Det kan hända att båda rötterna är giltiga.

Definition
Falsk rot En falsk rot är en rot som uppkommer vid ekvationslösning, men som vid närmare påseende inte är en lösning till den ursprungliga ekvationen

Exempel
Om du exempelvis har ett polynom av andra graden under ett rot så är den sammanvägda graden bara ett. Eftere kvadrering försvinner roten och du har en andragradsekvation men en av dess rötter är alltså falsk. Du hittar den falska roten genom prövning i ursprungsekvationen.

[redigera]

Exempel

Hur många rötter har rotekvationen? Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden. [math]\displaystyle{ \sqrt{x+2} = x }[/math] Kvadrera båda sidorna: [math]\displaystyle{ x+2 = x^2 }[/math] [math]\displaystyle{ x^2 - x - 2 = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2} }[/math] [math]\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{8}{4}} }[/math] [math]\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} }[/math] [math]\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} }[/math] [math]\displaystyle{ x_1 = - 1, x_2 = 2 }[/math] Viktigt att kolla om man har falska rötter. [math]\displaystyle{ -1 }[/math] är en falsk rot eftersom den inte gör att vänster led och höger led blir lika i ursprungsekvationen. Svaret är alltså [math]\displaystyle{ x = 2 }[/math]

[redigera]

[redigera]

Lös ekvationen

[math]\displaystyle{ \sqrt{x+12} = x }[/math]

Lös ekvationen

[math]\displaystyle{ \sqrt{x+7} - x = 1 }[/math]

[redigera]

En rotfunktion med glidare

Undersök rotfunktinen och förklara vad som händer

[redigera]

Uppgift
Diskutera Fundera över hur du förklarar för en kompis vad en falsk rot är genom RotAktiviteten nedan.

RotAktivitet

[redigera]

Exit ticket