Derivatan av y = e^x: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
|||
(10 mellanliggande sidversioner av en annan användare visas inte) | |||
Rad 1: | Rad 1: | ||
== Rubriktext == | |||
{{lm3c| Integraler | 184-188 }} | {{lm3c| Integraler | 184-188 }} | ||
{{#ev:youtube| | {{#ev:youtube| y-cKks7rWxE | 340 | right |Sid 184-188 - Talet e och derivatan av f(x)=e^x}} | ||
{{malruta| | {{malruta| | ||
Denna lektion kommer du att lära dig | Denna lektion kommer du att lära dig att derivatan av <math>e^x</math> är<math>e^x</math> och varför det är så . | ||
}} | }} | ||
== Inledning == | |||
[[Fil:Exp derivative at 0.svg|right|frame|Funktionsgrafer till kurvor på formen f(x) = a<sup>x</sup> visas för ett antal värden på ''a''. Talet e är det enda ''a'' som gör att derivatan av f(x) = a<sup>x</sup> vid x=0 är lika med 1. Det illustreras genom att den blå kurvan, e<sup>''x''</sup>, [[Tangent (matematik)|tangeras]] av den röda linjen (som har [[Riktningskoefficient|lutningen]] 1) i punkten (0,1). Som jämförelse visas även 2<sup>''x''</sup> (prickad kurva) och 4<sup>''x''</sup> (streckad kurva), som inte har den röda linjen som tangent.]] | |||
Talet e är den matematiska konstant som utgör basen för den naturliga logaritmen, ln. Dess värde är ungefär lika med 2,71828. "e" fick sin nuvarande beteckning av Leonhard Euler och kallas efter honom ibland Eulers tal. Talet är viktigt i bland annat matematisk analys och förekommer lite varstans i matematiken. Till exempel råder följande samband mellan nio av matematikens mest använda objekt: | |||
:<math>e^{i \pi} + 1 = 0</math> | |||
Objekten som avses är operationerna addition, multiplikation, exponentiering och relationen likhet, samt talen e, π, i, 1 och 0. (Symbolen i betecknar den så kallade imaginära enheten och är det objekt med vilken de komplexa talen är uppbyggda.) Sambandet kallas Eulers identitet. | |||
{{svwp | talet (e)}} | |||
{{clear}} | |||
== Exponentialfunktionen == | |||
<html> | <html> | ||
Rad 9: | Rad 26: | ||
</html> | </html> | ||
{{defruta | | {{defruta | '''Exponentialfunktionen''' | ||
Om <math>f(x) = e^x</math> så är <math>f'(x) = e^x</math> | |||
Om <math>f(x) = e^{kx}</math> så är <math>f'(x) = k e^{kx}</math> | |||
}} | }} | ||
Definition: <math> e=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+ \cfrac{1}{n})^n = \lim_{h\rightarrow 0} (1+ h)^{\frac{1}{h}} </math> | |||
== Härledning == | |||
<math> | |||
\begin{eqnarray*} | |||
f'(x)&=& \lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{e^{k(x+h)}-e^{kx}}{h} = \\ \\ | |||
&=& \lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{e^{kx}(e^{kh}-1)}{h} = \\\\ | |||
&=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{e^{kh}-1}{h} = \\\\ | |||
&=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{(e)^{kh}-1}{h} = \\\\ | |||
&=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{((1+h)^\frac{1}{h})^{kh}-1}{h} = \\\\ | |||
&=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{(1+h)^k-1}{h} = \\\\ | |||
&=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}1^{k-i}h^i}{h}= \\\\ | |||
&=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}h^i}{h}= \\\\ | |||
&=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \sum_{i=1}^{k}\binom{k}{i}h^{i-1}{h}= \\\\ | |||
&=& e^{kx}\binom{k}{1}= \\\\ | |||
&=& ke^{kx} | |||
\end{eqnarray*} | |||
</math> | |||
Vid derivering av exponentialfunktioner av typen <math>a^x</math> , där <math>a</math> är en konstant uppkommer detta mönster. | |||
<math>f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}</math> | |||
<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{a^x(a^h-1)}{h} </math> | |||
<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}a^x\cdot\frac{a^h-1}{h} </math> | |||
Alltså kan man uttrycka derivatan av exponentialfunktionen som: | |||
<math>a^x\cdot k </math> , där <math>k=\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} </math> | |||
Om exempelvis värdet 2 insätts för a <math>a </math> går <math>k </math> mot <math>\approx </math> 0.69 | |||
Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen <math>2^x </math> följande: | |||
<math>f(x)=2^x</math> | |||
<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}2^x\cdot\frac{2^h-1}{h}\approx0.69\cdot2^x </math> | |||
Om exempelvis värdet 3 insätts för a <math>a </math> går <math>k </math> uttryck mot <math>\approx </math> 1.1 | |||
Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen <math>3^x </math> följande: | |||
<math>f(x)=3^x</math> | |||
<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}3^x\cdot\frac{3^h-1}{h}\approx1.1\cdot3^x </math> | |||
Alltså ska talet som medför att <math>k=\frac{a^h-1}{h}=1 </math> befinna sig mellan 2 och 3. Detta tal har ett ungefärligt värde på 2.71828 och definieras som '''''e'''''. | |||
Om följaktligen deriverar exponentialfunktionen <math>e^x </math> blir derivatan följande: | |||
<math>f(x)=e^x </math> | |||
<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}e^x\cdot\frac{e^h-1}{h}=1\cdot e^x=e^x </math> | |||
Derivatan för funktionen <math>e^x </math> motsvarar därför sig själv. Alltså: | |||
<math>f(x)=e^x </math> | |||
<math>f'(x)=e^x </math> | |||
== Derivera en exponentialfunktion == | == Derivera en exponentialfunktion == | ||
Rad 25: | Rad 106: | ||
{{flipped | Lös uppgifterna 4101 - 4116. Läs på om [[Naturliga logaritmer]]. | {{flipped | Lös uppgifterna 4101 - 4116. Läs på om [[Naturliga logaritmer]]. | ||
}} | }} | ||
== Definition av talet e == | |||
e kan också definieras som gränsvärdet | |||
:<math>e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>. | |||
:Detta beror på följande samband | |||
:<math>\lim_{h\to 0}\cdot\frac{e^h-1}{h}=1</math> | |||
:<math>\lim_{n \rightarrow 0}e^h-1= h</math> | |||
:<math>e=\lim_{n \rightarrow 0}(1+h)^\frac{1}{h}</math> | |||
:Sätt <math>\frac{1}{h}=n</math>, där <math>n\to \infty </math> då <math>h\to0 </math> | |||
:<math>e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> | |||
:e | |||
De sju första elementen i talföljden {(1+1/n)<sup>n</sup>}{{sup sub|∞|n{{=}}1}} är följande: | |||
:<math>2 \quad 9/4 \quad 64/27 \quad 625/256 \quad 7776/3125 \quad 117649/46656 \quad 2097152/823543</math> | |||
I decimalform, avrundat till tre decimaler: | |||
:<math>2 \quad 2{,}250 \quad 2{,}370 \quad 2{,}441 \quad 2{,}488 \quad 2{,}522 \quad 2{,}546</math> | |||
Talföjden konvergerar tydligen ganska långsamt mot talet e. | |||
{{svwp | e(tal)}} |
Nuvarande version från 14 juni 2018 kl. 13.50
Rubriktext
Inledning
Talet e är den matematiska konstant som utgör basen för den naturliga logaritmen, ln. Dess värde är ungefär lika med 2,71828. "e" fick sin nuvarande beteckning av Leonhard Euler och kallas efter honom ibland Eulers tal. Talet är viktigt i bland annat matematisk analys och förekommer lite varstans i matematiken. Till exempel råder följande samband mellan nio av matematikens mest använda objekt:
- [math]\displaystyle{ e^{i \pi} + 1 = 0 }[/math]
Objekten som avses är operationerna addition, multiplikation, exponentiering och relationen likhet, samt talen e, π, i, 1 och 0. (Symbolen i betecknar den så kallade imaginära enheten och är det objekt med vilken de komplexa talen är uppbyggda.) Sambandet kallas Eulers identitet.
Wikipedia skriver om talet (e)
Exponentialfunktionen
Definition |
---|
Exponentialfunktionen
Om [math]\displaystyle{ f(x) = e^x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = e^x }[/math] Om [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx} }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = k e^{kx} }[/math] |
Definition: [math]\displaystyle{ e=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+ \cfrac{1}{n})^n = \lim_{h\rightarrow 0} (1+ h)^{\frac{1}{h}} }[/math]
Härledning
[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray*} f'(x)&=& \lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{e^{k(x+h)}-e^{kx}}{h} = \\ \\ &=& \lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{e^{kx}(e^{kh}-1)}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{e^{kh}-1}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{(e)^{kh}-1}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{((1+h)^\frac{1}{h})^{kh}-1}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{(1+h)^k-1}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}1^{k-i}h^i}{h}= \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}h^i}{h}= \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \sum_{i=1}^{k}\binom{k}{i}h^{i-1}{h}= \\\\ &=& e^{kx}\binom{k}{1}= \\\\ &=& ke^{kx} \end{eqnarray*} }[/math]
Vid derivering av exponentialfunktioner av typen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] , där [math]\displaystyle{ a }[/math] är en konstant uppkommer detta mönster.
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{a^x(a^h-1)}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}a^x\cdot\frac{a^h-1}{h} }[/math]
Alltså kan man uttrycka derivatan av exponentialfunktionen som:
[math]\displaystyle{ a^x\cdot k }[/math] , där [math]\displaystyle{ k=\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} }[/math]
Om exempelvis värdet 2 insätts för a [math]\displaystyle{ a }[/math] går [math]\displaystyle{ k }[/math] mot [math]\displaystyle{ \approx }[/math] 0.69
Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ 2^x }[/math] följande:
[math]\displaystyle{ f(x)=2^x }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}2^x\cdot\frac{2^h-1}{h}\approx0.69\cdot2^x }[/math]
Om exempelvis värdet 3 insätts för a [math]\displaystyle{ a }[/math] går [math]\displaystyle{ k }[/math] uttryck mot [math]\displaystyle{ \approx }[/math] 1.1
Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ 3^x }[/math] följande:
[math]\displaystyle{ f(x)=3^x }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}3^x\cdot\frac{3^h-1}{h}\approx1.1\cdot3^x }[/math]
Alltså ska talet som medför att [math]\displaystyle{ k=\frac{a^h-1}{h}=1 }[/math] befinna sig mellan 2 och 3. Detta tal har ett ungefärligt värde på 2.71828 och definieras som e.
Om följaktligen deriverar exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ e^x }[/math] blir derivatan följande:
[math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}e^x\cdot\frac{e^h-1}{h}=1\cdot e^x=e^x }[/math]
Derivatan för funktionen [math]\displaystyle{ e^x }[/math] motsvarar därför sig själv. Alltså:
[math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=e^x }[/math]
Derivera en exponentialfunktion
Använd derivatans definition på exponentialfunktionen
Definition av talet e
e kan också definieras som gränsvärdet
- [math]\displaystyle{ e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n }[/math].
- Detta beror på följande samband
- [math]\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\cdot\frac{e^h-1}{h}=1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow 0}e^h-1= h }[/math]
- [math]\displaystyle{ e=\lim_{n \rightarrow 0}(1+h)^\frac{1}{h} }[/math]
- Sätt [math]\displaystyle{ \frac{1}{h}=n }[/math], där [math]\displaystyle{ n\to \infty }[/math] då [math]\displaystyle{ h\to0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n }[/math]
- e
De sju första elementen i talföljden {(1+1/n)n}Mall:Sup sub är följande:
- [math]\displaystyle{ 2 \quad 9/4 \quad 64/27 \quad 625/256 \quad 7776/3125 \quad 117649/46656 \quad 2097152/823543 }[/math]
I decimalform, avrundat till tre decimaler:
- [math]\displaystyle{ 2 \quad 2{,}250 \quad 2{,}370 \quad 2{,}441 \quad 2{,}488 \quad 2{,}522 \quad 2{,}546 }[/math]
Talföjden konvergerar tydligen ganska långsamt mot talet e.