Använda derivatans definition: Skillnad mellan sidversioner

VisuellWikitext

Nuvarande version från 1 april 2018 kl. 18.34

Introduktion till derivatan

Ma3C: Definition: derivatan i en punkt, sidan 128

Introduktion till derivatan

Vi har jobbat med ett konkret exempel om ett luftgevär. Vi har lärt oss derviera funktioner.

Nu är det dags att förklara vad derivatan är:

lutningen i en punkt
sätt att beskriva hur grafen för en funktion förändras
sätt att hitta extrempunkter
Derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]
Derivatan av [math]\displaystyle{ y(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ y'(x) }[/math]

Blomkrukan

Skapa en Geogebra för funktionen [math]\displaystyle{ s(t) = 5 t^2. }[/math] I GeoGebra behöver du dock använda x i stället för t som variabel.

Deet kan se ut så här:

Derivatan är lutningen i en punkt

Derivatans definition

Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. [math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0} }[/math] och det går ju inte. Här behövs formell matematik.

Nu utgår vi från en punkt [math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math] och så kallar vid punktensom närmar sig för [math]\displaystyle{ (x+h,f(x+h)) }[/math]. När [math]\displaystyle{ h }[/math] krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} }[/math]

Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.

Definition

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f }[/math] i punkten [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] definieras som gränsvärdet

[math]\displaystyle{ f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} }[/math]

Exempel 1

Använd derivatans definition.

Bestäm tangentens k-värde i punkten där x = 2 om f(x) = 3 x^2.

Exempel 2

Använd derivatans definition för att bestämma f'(4) om f(x) = 3 x + 5.

Derivatans definition med glidare

Geometrisk tolkning

Derivatan är tangentens lutning i *(x, f(x))*

Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (x, f(x)).

Öva på Khan:

Aktivitet

Pythonprogrammering

Programmeringsuppgift

Derivatans definition i Python

Du kan ta fram ett beräknat, approximativt värde för derivatan i en punkt med hjälp av ett program.

Fördjupning

Gissa derivatans utseende

Du kan skissa derivatans utseende genom att uppskatta funktionens lutning i grafen (alltså utan att känna till funktionen algeriskt).

Av Jonas Hall

Andra varianter på derivatans definition

Man kan definiera derivata på lite olika sätt. Här följer en geogebra fil där du kan flytta punkten A som du deriverar kring. Du kan också flytta två närliggande punkter. Om du vill ändra funktionen f måste du ladda ner filen härifrån [1]. Du flyttar A med slidern a. Avståndet (h eller delta h) till A för punkterna B och C med slidrers b och c. Linjen e motsvarar höger derivatan i punkten A när avståndet |C-A| går mot noll. På samma sätt motsvarar linjen d vänster derivatan då |B-A| går mot noll. Till slut är linjen g en variant av en sekant definition av derivata om |B-C| går mot 0.

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
 == Introduktion till derivatan ==
+{{lm3c|Definition: derivatan i en punkt|128}}
 {{#ev:youtube|_L0P47R3agc|250|right|Introduktion till derivatan}}
@@ Rad 12: / Rad 12: @@
 * Derivatan av <math>y(x)</math> skrivs <math>y'(x)</math>
 <br>
-{{lm3c|Definition: derivatan i en punkt|128}}
 {{clear}}
+=== Blomkrukan ===
+Skapa en Geogebra för funktionen  <math>s(t) = 5 t^2.</math>  I GeoGebra behöver du dock använda x i stället för t som variabel.
+Deet kan se ut så här:
+<html>
+<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/2525691/width/532/height/436/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="532px" height="436px" style="border:0px;"> </iframe>
+</html>
 == Derivatan är lutningen i en punkt ==
@@ Rad 29: / Rad 39: @@
 : <math>f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}</math>
 }}
+=== Exempel 1 ===
+Använd derivatans definition.
+Bestäm tangentens k-värde i punkten där x = 2 om f(x) = 3 x^2.
+=== Exempel 2 ===
+Använd derivatans definition för att bestämma f'(4) om f(x) = 3 x + 5.
+=== Derivatans definition med glidare ===
+<html>
+<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/2525587/width/1280/height/604/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="1280px" height="604px" style="border:0px;"> </iframe>
+</html>
 == Geometrisk tolkning ==
@@ Rad 39: / Rad 65: @@
 * [http://www.khanacademy.org/exercise/derivatives_1 Öva derviering 1 på Khan]}}
 {{clear}}
+=== Aktivitet ===
+=== Pythonprogrammering ===
+{{Python|[[Derivatans definition i Python]]}}
+Du kan ta fram ett beräknat, approximativt värde för derivatan i en punkt med hjälp av ett program.
+{{clear}}
+== Fördjupning ==
+=== Gissa derivatans utseende ===
+Du kan skissa derivatans utseende genom att uppskatta funktionens lutning i grafen (alltså utan att känna till funktionen algeriskt).
+<html>
+<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/11200/width/1286/height/614/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="1286px" height="614px" style="border:0px;"> </iframe>
+</html>
+Av Jonas Hall
+=== Andra varianter på derivatans definition ===
 Man kan definiera derivata på lite olika sätt. Här följer en geogebra fil där du kan flytta punkten A som du deriverar kring. Du kan också flytta två '''närliggande punkter'''. Om du vill ändra funktionen f måste du ladda ner filen härifrån [http://www.geogebratube.org/material/show/id/16327].
 Du flyttar A med slidern a. Avståndet (h eller delta h) till A för punkterna B och C med slidrers b och c. Linjen e motsvarar höger derivatan i punkten A när avståndet |C-A| går mot noll. På samma sätt motsvarar linjen d vänster derivatan då |B-A| går mot noll. Till slut är linjen g en variant av en sekant definition av derivata om |B-C| går mot 0.
-=== Wolfram - Snowboardåkaren ===
 <html>
-<script type='text/javascript' src='http://demonstrations.wolfram.com/javascript/embed.js' ></script><script type='text/javascript'>var demoObj = new DEMOEMBED(); demoObj.run('SnowboardingOverDerivatives', '', '517', '531');</script><div id='DEMO_SnowboardingOverDerivatives'><a class='demonstrationHyperlink' href='http://demonstrations.wolfram.com/SnowboardingOverDerivatives/' target='_blank'>Snowboarding over Derivatives</a> from the <a class='demonstrationHyperlink' href='http://demonstrations.wolfram.com/' target='_blank'>Wolfram Demonstrations Project</a> by Sergio Hannibal Mejia</div>
+<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/16327/width/1239/height/747/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="1239px" height="747px" style="border:0px;"> </iframe>
 </html>
-This Demonstration shows the geometric nature of the first and second derivative using a snowboarder. Imagine watching a snowboarder using a telescope. The inclination of the snowboard gives a numeric value for the first derivative, as read from the calibrated scale on the edge of the telescope. Here we assume that the snowboarder is not jumping, so that the board is always tangent to the slope. The second derivative is represented geometrically by how the front tip of the snowboard rotates upwards or backwards. You can make flags show in places where the first/second derivative are zero and you can choose different courses for practice. The author has found this Demonstration useful with his students, explaining using one course and letting them try to determine sign diagrams for the other courses.

Använda derivatans definition: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 1 april 2018 kl. 18.34

Innehåll