Intro - Harmonisk svängning: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
||
(19 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
Rad 1: | Rad 1: | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
|- | |- | ||
! Digital bok !! Pappersbok | ! Digital bok !! Pappersbok !! Navigering | ||
|- | |- | ||
| {{Gleerups|<br /> | | {{Gleerups|<br /> | ||
[https://gleerupsportal.se/laromedel/impuls-2/article/6a374dbd-e151-4d36-9bc5-cf00d86e7a63 Harmonisk svängning i en fjäder]<br /> | <br /> | ||
[https://gleerupsportal.se/laromedel/impuls-2/article/a0f98b8d-e159-48db-ad82-1324471e80f5 Matematisk betraktelse av harmonisk svängningsrörelse]}} | * [https://gleerupsportal.se/laromedel/impuls-2/article/6a374dbd-e151-4d36-9bc5-cf00d86e7a63 Harmonisk svängning i en fjäder]<br /> | ||
* [https://gleerupsportal.se/laromedel/impuls-2/article/a0f98b8d-e159-48db-ad82-1324471e80f5 Matematisk betraktelse av harmonisk svängningsrörelse] | |||
* [https://gleerupsportal.se/laromedel/impuls-2/article/29d106ca-9d50-431e-b066-45d64b3f881d?page{{=}}9999 Exempel] | |||
* [https://gleerupsportal.se/laromedel/impuls-2/article/4f3b3d8b-7f43-417c-b41f-d1788ec1a60b Uppgifter] | |||
}} | |||
| {{Heureka2|Kap 7 s 130-134 }} | |||
| Upp till [[Harmonisk_svängning]] | |||
|} | |} | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
== Fysikalisk förklaring == | |||
Vi använder Newtons andra lag för den (i y-led) svängande tyngden: | |||
: <math> F = ma = m \frac{d^2y}{dt^2} = = m y'' \qquad (1)</math> | |||
För fjäderkraften gäller enligt Hookes lag att: | |||
: <math> F = - k y \qquad (2)</math> | |||
Sätter man (2) = (1) får man en differentialekvation | |||
: <math>-k y = m y'' \qquad (3)</math> | |||
Lösningen är en sinusvåg som funktion av tid. | |||
:<math>y(t) = \sin(\omega t),\ </math> | |||
Jämförelse med (3) ger att | |||
: <math>\omega = \sqrt\frac{k}{m},</math> | |||
Den allmänna lösningen kan skrivas som | |||
:<math>y(t) = A \sin(\omega t + \phi),\ \omega = \sqrt\frac{k}{m},</math> | |||
där ''A'' och φ är integrationskonstanter. | |||
=== Fysikalisk beskrivning === | |||
Oscillationsfrekvensen ''f'' = ω/2π är alltså högre för större kraftkonstant och lägre massa. | |||
* I vändpunkterna är den potentiella energin och accelerationen maximal, medan hastigheten och kinetiska energin är noll. | |||
* I punkten med lägst potentiell energi är den kinetiska energin maximal. | |||
* Energin växlar mellan två olika former. | |||
{{svwp|Harmonisk oscillator}} | |||
== Matematisk förklaring == | |||
[[Bild:Simple harmonic motion animation.gif|thumb|Punkten utför en harmonisk rörelse]] | |||
'''Harmonisk rörelse''' är en rätlinjig fysisk rörelse, en svängning med ett sinusoidalt tidsberoende. Den kan beskriva rörelsen av en harmonisk oscillator som till exempel en gungande tyngd i en fjäder. | |||
En ''enkel harmonisk rörelse'' kan beskrivas med endast en sinusterm. | |||
=== Ekvationer === | |||
För en enkel harmonisk rörelse med svängningsperioden ''T'' kan positionen <math>x(t)</math> som funktion av tiden skrivas som | |||
:<math> x(t) = x_0 + A\sin \left( \frac{2 \pi t}{T} +\phi\right) = x_0 + A\sin ( \omega t +\phi ) , </math> | |||
där <math> \omega = 2 \pi/T </math> är vinkelfrekvensen och <math>\phi</math> är vågrörelsens fas. | |||
Partikelns hastighet ges av positionens derivata med avseende på tid: | |||
:<math> v(t) = {\dot x} = \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} = A\omega \cos ( \omega t+\phi ). </math> | |||
Partikelns acceleration är hastighetens derivata eller positionens andraderivata: | |||
:<math> a(t) = {\ddot x} = \frac{\mathrm{d}^2x(t)}{\mathrm{d} t^2} = - A \omega^2 \sin ( \omega t+\phi ). </math> | |||
Accelerationen är således proportionell mot avvikelsen från positionens medelvärde. Harmonisk rörelse är därför lösningen till differentialekvationer för vilka andraderivatan är proportionell mot funktionen med motsatt tecken: | |||
:<math>f'' = - c f, \,</math> | |||
ett samband som förekommer i den harmoniska oscillatorn och i vågekvationen. | |||
=== Massa-fjäder-system === | |||
Den enkla harmoniska rörelsen kan illustreras av en massa ''m'' som är fäst vid en fjäder som har fjäderkonstanten ''k''. | |||
Periodtiden | |||
:<math>T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}</math> | |||
är oberoende av såväl amplitud som av gravitation. | |||
Texten ovan kommer från sidan där {{svwp|Harmonisk rörelse}}. | |||
== Aktivitet == | |||
=== Observation === | |||
[[File:Animated-mass-spring.gif|thumb|Animated-mass-spring]] | |||
{{defruta| '''Harmonisk rörelse''' | |||
Om en sträckt eller sammanpressad fjäders fria ända kopplas till en massa, som kan röra sig utan friktion i fjäderns längdriktning, erhålls en harmonisk rörelse, där oscillationens frekvens ökar med ökande styvhet hos fjädern (högre k). | |||
}} | |||
<br /> | |||
{{uppgruta| | |||
Jämför denna definition med vad vi observerat i våra experiment. | |||
}} | |||
== Lär mer == | |||
{{#ev:youtube| XjyOYluqnDM |320|right |Harmonic motion}} | {{#ev:youtube| XjyOYluqnDM |320|right |Harmonic motion}} |
Nuvarande version från 11 december 2017 kl. 13.21
Digital bok | Pappersbok | Navigering |
---|---|---|
Upp till Harmonisk_svängning |
Fysikalisk förklaring
Vi använder Newtons andra lag för den (i y-led) svängande tyngden:
- [math]\displaystyle{ F = ma = m \frac{d^2y}{dt^2} = = m y'' \qquad (1) }[/math]
För fjäderkraften gäller enligt Hookes lag att:
- [math]\displaystyle{ F = - k y \qquad (2) }[/math]
Sätter man (2) = (1) får man en differentialekvation
- [math]\displaystyle{ -k y = m y'' \qquad (3) }[/math]
Lösningen är en sinusvåg som funktion av tid.
- [math]\displaystyle{ y(t) = \sin(\omega t),\ }[/math]
Jämförelse med (3) ger att
- [math]\displaystyle{ \omega = \sqrt\frac{k}{m}, }[/math]
Den allmänna lösningen kan skrivas som
- [math]\displaystyle{ y(t) = A \sin(\omega t + \phi),\ \omega = \sqrt\frac{k}{m}, }[/math]
där A och φ är integrationskonstanter.
Fysikalisk beskrivning
Oscillationsfrekvensen f = ω/2π är alltså högre för större kraftkonstant och lägre massa.
- I vändpunkterna är den potentiella energin och accelerationen maximal, medan hastigheten och kinetiska energin är noll.
- I punkten med lägst potentiell energi är den kinetiska energin maximal.
- Energin växlar mellan två olika former.
Wikipedia skriver om Harmonisk oscillator
Matematisk förklaring
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Simple_harmonic_motion_animation.gif/300px-Simple_harmonic_motion_animation.gif)
Harmonisk rörelse är en rätlinjig fysisk rörelse, en svängning med ett sinusoidalt tidsberoende. Den kan beskriva rörelsen av en harmonisk oscillator som till exempel en gungande tyngd i en fjäder.
En enkel harmonisk rörelse kan beskrivas med endast en sinusterm.
Ekvationer
För en enkel harmonisk rörelse med svängningsperioden T kan positionen [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] som funktion av tiden skrivas som
- [math]\displaystyle{ x(t) = x_0 + A\sin \left( \frac{2 \pi t}{T} +\phi\right) = x_0 + A\sin ( \omega t +\phi ) , }[/math]
där [math]\displaystyle{ \omega = 2 \pi/T }[/math] är vinkelfrekvensen och [math]\displaystyle{ \phi }[/math] är vågrörelsens fas.
Partikelns hastighet ges av positionens derivata med avseende på tid:
- [math]\displaystyle{ v(t) = {\dot x} = \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} = A\omega \cos ( \omega t+\phi ). }[/math]
Partikelns acceleration är hastighetens derivata eller positionens andraderivata:
- [math]\displaystyle{ a(t) = {\ddot x} = \frac{\mathrm{d}^2x(t)}{\mathrm{d} t^2} = - A \omega^2 \sin ( \omega t+\phi ). }[/math]
Accelerationen är således proportionell mot avvikelsen från positionens medelvärde. Harmonisk rörelse är därför lösningen till differentialekvationer för vilka andraderivatan är proportionell mot funktionen med motsatt tecken:
- [math]\displaystyle{ f'' = - c f, \, }[/math]
ett samband som förekommer i den harmoniska oscillatorn och i vågekvationen.
Massa-fjäder-system
Den enkla harmoniska rörelsen kan illustreras av en massa m som är fäst vid en fjäder som har fjäderkonstanten k.
Periodtiden
- [math]\displaystyle{ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} }[/math]
är oberoende av såväl amplitud som av gravitation.
Texten ovan kommer från sidan där Wikipedia skriver om Harmonisk rörelse.
Aktivitet
Observation
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/25/Animated-mass-spring.gif)
Definition |
---|
Harmonisk rörelse
Om en sträckt eller sammanpressad fjäders fria ända kopplas till en massa, som kan röra sig utan friktion i fjäderns längdriktning, erhålls en harmonisk rörelse, där oscillationens frekvens ökar med ökande styvhet hos fjädern (högre k). |
Uppgift |
---|
Jämför denna definition med vad vi observerat i våra experiment. |
Lär mer
PhET - tyngd i fjäder
GeoGebra
Från GeoGebraTube.