|
|
| (22 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| | [[Category:Matematik]] [[Category:Ma4]] [[Category:Samband och förändring]] [[Category:Integraler]] |
| | |
| == Förförståelsetest med NP-uppgifter == | | == Förförståelsetest med NP-uppgifter == |
|
| |
|
| Rad 17: |
Rad 19: |
| * [http://sv.wikibooks.org/wiki/Formelsamling/Matematik/Derivering_och_integrering Formelsamling på WikiBooks] med derivering och integrering. | | * [http://sv.wikibooks.org/wiki/Formelsamling/Matematik/Derivering_och_integrering Formelsamling på WikiBooks] med derivering och integrering. |
|
| |
|
| == Integral och area == | | == [[Integral och area]] == |
| | |
| {{Lm4|Tillämpningar|152-158}}
| |
| | |
| === Hemuppgift ===
| |
| | |
| Gör bokens övning på sid 158.
| |
| | |
| Den handlar om arean under funktion
| |
| | |
| : <math> f(x) = \cos(kx) </math>
| |
| | |
| mellan skärningspunkterna med x-axeln.
| |
| | |
| k varierar från 1 till 5.
| |
| | |
| <html>
| |
| <iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/586821/width/800/height/503/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="800px" height="503px" style="border:0px;"> </iframe>
| |
| </html>
| |
| | |
| Länk till [http://www.geogebratube.org/material/show/id/586821 GeoGebraTube]
| |
| | |
| == Integralens värde och tillämpningar ==
| |
| | |
| === Fritt fall ===
| |
| | |
| Titta gärna på wikipediatexten om [[Differentialekvationer_Ma4#Fritt_fall|fritt fall]] som ligger på förra avsnittet om diffekvationer.
| |
| | |
| {{Lm4|Tillämpningar|159-163}}
| |
| | |
| === Fysik och integraler - Hemuppgift ===
| |
| | |
| {{uppgruta | '''Fysik och integraler'''
| |
| Lös någon eller några av uppgifterna hemma. Välj sedan en som du gör en snygg skriftlig redovisning av.
| |
| | |
| Du ska vara beredd att gå fram och redovisa uppgiftens lösning på tavlan.
| |
| | |
| Uppgifterna med sträcka hastighet är nog enklast. Du får sträckan genom att integrera hastighetsfunktionen.
| |
| | |
| [[media: Problemlösning_fysik_och_integraler.pdf | Problemlösning Fysik och Integraler]]
| |
| | |
| '''Redovisning''': På tavlan.
| |
| | |
| }}
| |
| | |
| == Numerisk lösning av integraler ==
| |
| {{Lm4|Numerisk|164-169}}
| |
| | |
| === Numerisk lösning av integraler ===
| |
| {{#ev:youtube | IcecyaONFwI | 340 | right | Trapetsmetoden för lösning av integraler. Av Tomas Severin, Youtubelicens.}}
| |
| | |
| Läs vad {{svwp |Trapetsmetoden}}
| |
| | |
| <html>
| |
| <iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/55936/width/1218/height/677/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="1218px" height="677px" style="border:0px;"> </iframe>
| |
| </html>
| |
| | |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Hemuppgift trapetsmetoden===
| |
| | |
| {{uppgfacit | En NP-uppgift med trapetsmetoden
| |
| Lös den här uppgiften hemma.
| |
| | |
| [[Fil:Nationellt prov, kurs D, vt 1999 - en integraluppgift.png|miniatyr|590px | left | Integraluppgift från Nationellt prov, kurs D,vt 1999]]
| |
| | |
| {{clear}}
| |
| '''Räkna även ut integralens värde med trapetsmetoden.'''
| |
| | |
| Var beredd att redovisa din lösning vid tavlan. Dina frågor och kommentarer kommer även att vara till nytta när vi diskuterar uppgiften grundligt.
| |
| |
| |
| Läs inte den här ledtråden förrän du har försökt själv med uppgiften. Lösningsförslaget i den länakde sidan är en GeoGebra som ska vara underlag för en diskussion på lektionen.
| |
| [[Lösningsförslag till NP-uppgift fr vt 1999]]
| |
| }}
| |
| | |
| === Prova en svårlöslig integral med digitala verktyg ===
| |
| | |
| Kan du lösa denna integral analytiskt?
| |
| | |
| <math> \int {\sin(x^2)dx} </math>
| |
| | |
| Det är svårt att finna en primitiv funktion, eller hur?
| |
| | |
| Prova att lösa den med WolframAlpha och GeoGebra.
| |
| | |
| Läs mer [http://reference.wolfram.com/language/tutorial/IntegralsThatCanAndCannotBeDone.html här].
| |
| | |
| === Formativ lektionskontroll ===
| |
| | |
| [[Fil:NP E 1996 Integraluppgift med bromssträcka.png|340px|miniatyr|höger|Alla gör denna uppgift för hand så jag kan se att de förstår detta.]]
| |
| | |
| * Om allt gått väl kan alla nu lösa denna uppgift. I så fall kan vi gå vidare.
| |
| * Om det är många som inte kan detta måste vi repetera. Vi måste också diskutera, utvärdera och komma överens om hur vi ska göra för att lära oss detta.
| |
| * Om de flesta men inte alla kan detta kommer vi att gå vidare i klassen. De som ännu inte klarar detta får diskutera med mig hur de kan göra för att komma vidare.
| |
| | |
| [[Lösningsförslag till NP E 1996 Integraluppgift]]
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| == Sannolikheter med integraler ==
| |
| | |
| === Definition ===
| |
| [[Fil:Standard deviation diagram.svg|frame|left|Normalfördelningen]]
| |
| | |
| Normalfördelningen har täthetsfunktionen
| |
| [[Fil:Normal distribution pdf.png|miniatyr|300px|Normalfördelningen för olika värden på μ och σ²]]
| |
| :<math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}</math>,
| |
| där ''μ'' och ''σ'' är normalfördelningens karakteristiska konstanter: ''μ'' är [[väntevärde]]t och ''σ'' är [[standardavvikelse]]n för fördelningen. Denna normalfördelning betecknas med <math>N(\mu,\sigma)\,</math>.
| |
| | |
| Normalfördelningens [[täthetsfunktion]] kan inte [[integral|integreras]] med vanliga endimensionella metoder eftersom den inte har någon [[primitiv funktion]] som kan uttryckas [[analytisk]]t. Arean under kurvan kan emellertid med andra metoder visas vara 1, vilket den måste vara för att vara en [[sannolikhetsfördelning]].
| |
| | |
| En '''standardiserad normalfördelning''' har μ = 0 och σ = 1.
| |
| | |
| === Filmer ===
| |
| | |
| {{#ev:youtube | loLj1eLC6GI | 340 | left |Sannolikheter och integraler. Tomas Sverinn, standard Youtubelicens.}}
| |
| {{#ev:youtube | WUlE9_5lAls | 340 | right |Ma4 Normalfördelningen. Polhemsjocke, standard Youtubelicens.}}
| |
| {{#ev:youtube | 7epyyBgiBbY | 340 | right |Täthetsfunktioner. MDAGlobalaGy, Creative Commons.}}
| |
| | |
| | |
| <html>
| |
| <iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/35876/width/1382/height/574/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="1382px" height="574px" style="border:0px;"> </iframe>
| |
| </html>
| |
| | |
| === Exempel 1 i boken === | |
| | |
| <html>
| |
| <iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/666167/width/909/height/503/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="909px" height="503px" style="border:0px;"> </iframe>
| |
| </html>
| |
| | |
| === Hemuppgift - Normalfördelning ===
| |
| [[Fil:D-kursprov-ht03-uppg10.png|600px | miniatyr|Är detta en normalförelning?]]
| |
| | |
| Lös uppgiften till höger.
| |
| | |
| Är det en normalfördelning och hur vet du det?
| |
| | |
| Använd datorn till att redovisa ditt svar.
| |
| | |
| Var beredd att presentera din lösning med projektor.
| |
| | |
| GeoGebra-förslag till lösning - [[NP Ma D Normalfödelning]]
| |
|
| |
|
| ==== Bedömningsanvisning från NP ==== | | == [[Integralens värde och tillämpningar]] == |
|
| |
|
| Redovisad godtagbar förklaring, t ex integralens värde anger den totala ökningen av antalet bin under 24 veckor
| | == [[Numerisk lösning av integraler]] == |
| : http://www5.edusci.umu.se/np/np-prov/D-kursprov-ht03.pdf
| |
| {{clear}}
| |
|
| |
|
| == Exponentialfördelningen == | | == Sannolikheter med integraler - [[Normalfördelningen]] == |
|
| |
|
| {{lm4| Exponentialfördelningen |172-173}}
| | == [[Exponentialfördelningen]] == |
|
| |
|
| Exponentialfördelningen är kontinuerlig sannolikhetsfördelning med täthetsfunktionen
| | == Repetera integraler == |
|
| |
|
| :<math> f(x;\lambda) = \begin{cases} | | Det finns ett litet antal självrättande uppgifter på [http://www.matteboken.se/ovningsuppgifter Matteboken.se] |
| \lambda e^{-\lambda x} & x \ge 0, \\
| |
| 0 & x < 0.
| |
| \end{cases}</math>
| |
