|
|
| (78 mellanliggande sidversioner av 2 användare visas inte) |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| = Funktion och graf = | | = Funktion och graf = |
| [[File:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]] | | [[Fil:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|thumb|Celler de Sant Cugat lateral]] |
|
| |
|
| s 146 | | s 146 |
| Rad 16: |
Rad 16: |
| = Andragradsfunktioner = | | = Andragradsfunktioner = |
|
| |
|
| == Fyra sätt att beskriva andragradaren == | | == [[Parabelns ekvation]] == |
|
| |
|
| Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.
| |
| {{clear}}
| |
| ==== Generell algebraisk form ====
| |
|
| |
|
| Andragradsfunktionen på allmänn form <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>.
| | == [[Fyra sätt att beskriva andragradaren]] == |
|
| |
|
| '''Exempel''': Andragradsfunktionen <math>f(x) = 2x^2 - 4</math>.
| | == [[Andragradsfunktionens graf]] == |
| {{clear}}
| |
|
| |
|
| ==== Fokus och styrlinje ==== | | == [[Testa dina kunskaper om andragradsfunktioner]] == |
| [[Fil:Andragradare_styrlinnje.ggb.png|thumb]]
| |
| | |
| Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.
| |
| | |
| [[Funktioner_2C#GeoGebra_som_visar_samma_avst.C3.A5nd|Läs mer]]
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| ==== Vertex och nollställe ====
| |
| [[Fil:Andragradare_nollställen.ggb.png|thumb]]
| |
| Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.
| |
| | |
| [[Funktioner_2C#Begrepp_och_egenskaper_hos_andragradsfunktionern|Läs mer]]
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| ==== Värdetabell ====
| |
| [[Fil:Värdetabell_exempel1.png|right]]
| |
| Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.
| |
| | |
| [[Funktioner_2C#Hur_ritar_man_en_parabel_om_man_vet_funktionen.3F|Läs mer]]
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| == Parabelns ekvation ==
| |
| [[File:Parábola con foco y directriz.svg|thumb|Avst[ndet till styrlinjen är lika med avståndet till fikus]]
| |
| | |
| '''Definitioner'''
| |
| Brännpunkt kallas också fokus
| |
|
| |
| Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln
| |
| | |
| === GeoGebra som visar samma avstånd ===
| |
| <ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| |
| | |
| === Parabelns egenskaper i GeoGebra 1 ===
| |
| | |
| Du kan lära dig litet om hur parabeln fungerar och vad den har för egenskaper med denna övning:
| |
| | |
| '''Datorövning:''' [http://www.malinc.se/math/functions/parabolasv.php Malin C GGB-övning] {{clear}}
| |
| | |
| === GeoGebra med styrlinje och fokus ===
| |
| | |
| <ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| |
| | |
| === Övning - hitta funktionen om du vet fokus och styrlinje ===
| |
| [[Fil:Parabel_m_styrlinje_o_fokus.png|300px|right|Övningsuppgift: hitta funktionen]]
| |
| | |
| Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exemplet på sid 152 i Matematik 2C.
| |
| | |
| Den här uppgiften utgår ifrån att du vet styrlinjen och fokuspunkten men ska ta fram funktionen. Se figuren till höger.
| |
| | |
| # Börja med att markera '''en punkt (x,y)''' på grafen i första kvadranten.
| |
| # Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) till linjen'''.
| |
| # Skriv ett uttryck för avståndet '''från (x, y) fokus'''.
| |
| # Det gäller för en parabel att avståndet från (x, y) till fokus är samma som avståndet från (x, y) till linjen. Visa detta genom att sätta de två '''uttrycken lika'''.
| |
| # '''Lös ut y''' ur ekvationen ovan. Det gör du genom att kvadrera båda sidorna så att roten går bort. Du behöver utveckla kvadraterna med hjälp av kvadreringsregeln.
| |
| | |
| Nu är du klar. Ekvationen du fick beskriver parabeln.
| |
| | |
| == Andragradsfunktionens graf ==
| |
| | |
| === Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern ===
| |
| | |
| vertex är kurvans vändpunkt
| |
| | |
| nollställen
| |
| | |
| positivt före x<sup>2</sup>-termen betyder minimipunkt
| |
| | |
| negativt före x<sup>2</sup>-termen betyder maximipunkt
| |
| | |
| symmetrilinje genom vertex
| |
| | |
| === Hur ritar man en parabel om man vet funktionen? ===
| |
| | |
| Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).
| |
| | |
| <ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| |
| | |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Fördjupning ===
| |
| | |
| Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om [http://sv.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4gelsnitt kägelsnitt].
| |
| {{clear}}
| |
|
| |
|
| == Digitala rutan == | | == Digitala rutan == |
| Rad 118: |
Rad 31: |
| Gör den i GeoGebra. | | Gör den i GeoGebra. |
|
| |
|
| == Kvadratiska modeller == | | == [[Kvadratiska modeller]] == |
| [[File:Square root.svg|thumb|Square root]] | |
| | |
| Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:
| |
| | |
| y(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c
| |
| | |
| c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).
| |
| | |
| === Exempel 1 ===
| |
| [[File:ParabolicWaterTrajectory.jpg|thumb|ParabolicWaterTrajectory]]
| |
| | |
| Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c till dessa mått.
| |
| | |
| Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.
| |
| | |
| ==== Övning 1 - Skapa parabelns funktion utifrån en bild med mått ====
| |
| Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög.
| |
| | |
| ==== Övning 2 - Skapa parabelns funktion utifrån vertex och nollställen ====
| |
| | |
| Detta är en '''viktig uppgift'''. Se även Exempel 1 på sid 161 i Matematik 2C.
| |
| | |
| Andragradsfunktionen kan skrivas y = ax2+bx+c på allmänn form:
| |
| | |
| Grafen går genom punkterna (-16, 0) och har vertex i (0,-14).
| |
| | |
| # Vilket är det andra nollstället?
| |
| # Rita grafen.
| |
| # Bestäm b.
| |
| # Bestäm c.
| |
| # Bestäm a.
| |
| # Skriv ett uttryck för funktionen.
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Exempel 2 ===
| |
| | |
| Exempel 2 (s 162) i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).
| |
| | |
| === Parabelns egenskaper i GeoGebra 2 ===
| |
| | |
| I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)<sup>2</sup>, osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!
| |
| | |
| Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en [http://www.malinc.se/math/functions/vertexformsv.php Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C].
| |
| | |
| '''Överkurs:''' [http://www.malinc.se/math/functions/otherconicssv.php Andra kägelsnitt] Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Överbliven provupgift (svår) ===
| |
| [[File:Parabolic trajectory.svg|thumb|Parabolic trajectory]]
| |
| | |
| Bilden visar en kastparabel.
| |
| | |
| Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.
| |
| | |
| Längden på kastet är 110 m.
| |
| | |
| Utgå från formen för andragradsfunktionen
| |
| y(x) = ax<sup>2</sup> + bx + c
| |
| | |
| Gör en matematisk modell av kastbanan.
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| = Exponentialfunktioner och logaritmer =
| |
| | |
| == Exponentialfunktioner ==
| |
| | |
| må lektion 1
| |
| | |
| === Jämför ===
| |
| | |
| Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:
| |
|
| |
| y = ax<sup>2</sup> + bx + c (bortse från de sista termerna)
| |
|
| |
| y = ax<sup>2</sup> (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)
| |
|
| |
| y = C<small>*</small>x<sup>2</sup> (tänk nu att vi kastar om x och 2)
| |
|
| |
| y = C2<sup>x</sup> (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)
| |
|
| |
| y = C<small>*</small>1.5<sup>x</sup> (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)
| |
|
| |
| y = C<small>*</small>0.5<sup>x</sup>
| |
| | |
| på generell form:
| |
| | |
| y = C<small>*</small>a<sup>x</sup> talet '''a kallas basen'''. '''x är exponenten'''
| |
| | |
| === Växande ===
| |
| | |
| Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.
| |
| | |
| <ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAGa0j0AAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIAGa0j0AAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1Vhtb9s2EP7c/oqDPm1DY5Mi9VbYLZq0wQqkXYF0w7APA2iJttnIoiDRb0V//I6kZMtJtzVosS5BHErk8V6eu+dIZ/J8typhI5tW6Woa0BEJQFa5LlS1mAZrMz9Lg+fPHk8WUi/krBEw181KmGnAraQqpkE8F0zygpzxfM7OOMuzsyyk7CyPeUGLmZCzIg0Adq16Wum3YiXbWuTyOl/KlbjSuTDO8NKY+ul4vN1uR72pkW4W48ViNtq1RQDoZtVOg+7hKao72bRlTjwkhI5/f3Pl1Z+pqjWiymUANoS1evb40WSrqkJvYasKs0TvOTq3lGqxxJgiii9jK1QjILXMjdrIFrcOXl3MZlUHTkxUdv2Rf4LyEE4AhdqoQjbTgIzCJGMhydIkjjgLaQC6UbIynSjtTI57ZZONkluv1T45gzwAo3U5E1YhfPoEIQkJPLED9UOIQxz7JeLnCPND6Afuh8jLcL+de1HuZbiX4SyAjWrVrJTTYC7KFgFU1bzB5B3eW7MvpfOnmzgGT59gTK36iMKMYJV4xHGekCf2E+OH24XxaZB0YNU063sa7U3yiH+5yfBrTLLeJE3pXZNh9DdRxv8ArvfhS8Kk0QBZNOV+3eeORRbew6J//zqDMf9PQpyMe6ZMOnJAu7SyXSaNXLWWLiyDKLNVTyFCasQJFnkENMMhCQHJADQCHuErTSG2YwIswQUODFKwcpSB40aU4h+eOGUxRKjMziZISaBoiEPEgDpKcUAigaMlUjRkKBFFEOEma56GVgWLgcf4xlLg6KNlZEJRkOFGfEfzITAKzG6mCYQxxFYf5ZbpcWpdR5UhxARiahUiqZHQnswonwKz0cQdXKqq1+YEonxV9I9G14dcoDS2o2PP8+3ppCU+mpRiJks8Ja5tJgE2orSMcIbmujLQJzH0c4tG1EuVt9fSGNzVwgexEVfCyN0lSre9bSeb66p912hzocv1qmoBcl2Sg8+6pIPn8OA1vrDBAh8uRIOFePCcfNauxhVYtxLt66btxUVRvLYSx9aASP5SlfvzRoqbWqvTMCZjd+BM5DovVaFE9RsWq7VicYH+/HHdqj9/WBz1juimuN63WMGw+0M2GnGkdISVn7CUExolSYak3vulMGOjMA0TwnENu35mG1MuLPmiZMRoliUkjTOaJQlya98tkRGJYpKQOIlD7FcEDyhvXG4OORI7eQh/0ahi+Py6PddlcQDDxX8harNu3NUB3WtsVC+qRSldjThm47mc38z07toXB/O63u9r65G3P1s43AF7QxhFKNCNMz86GevYQYo4GeIkSF9tqjisU4vVohtnfnRSWL7etS5Q2kdJSW9Gta6jkeCEN6727Sm/rpS56l+Mym+OkVr5t+vVTB4q6FQl/RYqncBL5W857uzBtPrqu1V3kxvZVLLsyhzTu9br1rN2wIBC5mqFr36hg0nYFP6KbvnZQi4a2UdTuquaB9GtkmEF35l2qi4bvXpdbd5jfdxyYDLuvZy0eaNqW4Uww6PhRh4rrVCtwJOlGO6zvERAcnuCICbGAoaMXZulbtxtDBsNjpaOu7qRrb3tesgB1eCVd2e73w+7H2Fq70gEfgI6otGfOOP0y1Ku8MoGxhXqfF05S4eszd1t0KYH9OwDNslbWR0gjOvH8ib8pHRBlPVSOGp2BSr2sjkB0Cl8o4vbsGLWXOzYMmqrwFZLLaWvM9PRC2pU6Ng5cOhIAoP9+QbvoFhc0WCTffhZFYV0Z7OvLQ+HA361ElUBlTvb39kmEBzPGkEsNj7utelnXngl3dY76LpOcoDuxb9Ae2TWENlhS3AofytkP4Mr/TyujgEt7LxR2FtHHDvho/+e5b9o2GBtM/RWo+HsLfZ8Lezn94H9/OHDTnvY2XeF/eI+sF88fNjDHvaY81E2+Im+Wwpe3icFLx9+CliXAoZf70cJ/z+k4NV9UvDq4aeA9yngWToiNDwk4btl4PI+Gbh8+BmIugxwEoajhHLWESFNvkkKxsMrp/u21/3b8tlfUEsHCNmWm57lBQAAUxUAAFBLAQIUABQACAAIAGa0j0DWN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgAZrSPQNmWm57lBQAAUxUAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXQAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAAB8BgAAAAA=" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| |
| | |
| === Avtagande ===
| |
| | |
| Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9
| |
| | |
| <ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| |
| | |
| ==== Vatten i termos ====
| |
| | |
| Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.
| |
| | |
| Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)
| |
| | |
| <ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "true" />
| |
| | |
| === Definitioner ===
| |
| | |
| y = Ca<sup>x</sup>
| |
| | |
| växande a > 1
| |
| | |
| avtagande a < 1
| |
| | |
| C är skärningspunkt med y-axeln
| |
| | |
| a ej lika med 1, a > 0
| |
| | |
| ==== Spegelkurvor ====
| |
| | |
| Spegelkurvorna nedan består av y = 4<sup>x</sup> och y = (1/4)<sup>x</sup>
| |
| | |
| 4 och 1/4 är inverserna till varandra.
| |
| | |
| y = (1/4)<sup>x</sup> kan skrivas som y = (4)<sup>-x</sup>
| |
| | |
| '''Övning:''' Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:
| |
| | |
| * y = (0.25)<sup>x</sup>
| |
| * y = (1/4)<sup>x</sup>
| |
| * y = (4)<sup>-x</sup>
| |
| | |
| Vilken slutsats drar du?
| |
| | |
| <ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| |
| | |
| === Övning - GeoGebra ===
| |
| | |
| Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167
| |
| | |
| Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:
| |
| | |
| * y = 0.5<sup>x</sup>
| |
| * y = 1<sup>x</sup>
| |
| * y = 1.1<sup>x</sup>
| |
| * y = 2*1.1<sup>x</sup>
| |
| * y = 1.2<sup>x</sup>
| |
| * y = 1.4<sup>x</sup>
| |
| * y = 1.8<sup>x</sup>
| |
| * y = 5<sup>x</sup>
| |
| | |
| '''Fråga:''' Vad gör att en kurva ökar snabbare?
| |
| | |
| === Exempel 1 ===
| |
| | |
| Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)
| |
| | |
| # Sätt in x = 0 så får du C
| |
| # Sätt in x 0 f och y = 6 i funktionen och räkan ut a
| |
| | |
| <ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
| |
| | |
| === Exempel 2 ===
| |
| | |
| Lös ekvationen 2<sup>x</sup> = 1 + 3x grafiskt.
| |
| | |
| Lös även olikheten 2<sup>x</sup> < 1 + 3x
| |
| | |
| == Linjära och exponentiella modeller ==
| |
| | |
| må lektion 2 v 16
| |
| | |
| I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.
| |
| | |
| lIinjär: y = kx + m
| |
|
| |
| exponentiell: y = y<sub>o</sub><small>*</small>a<sup>x</sup> (y<sub>o</sub> är samma sak som C i tidigare exempel)
| |
| | |
| = Logaritmer och funktionen y = 10<sup>x</sup> =
| |
| [[Fil:Logarithms.png|miniatyr|300px|Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. <span style="color:red">Röd</span> graf svarar mot basen ''<span style="color:red">e</span>'', <span style="color:green">grön</span> graf mot basen <span style="color:green">10</span>, och <span style="color:purple">lila</span> graf mot basen <span style="color:purple">1.7</span>.
| |
| | |
| Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1, 0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'', 1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.]]
| |
| | |
| '''Logaritmen''' för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilket ett givet tal, basen ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
| |
| :a = b<sup>x</sup>
| |
| | |
| Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.
| |
| {{wp}}
| |
| | |
| Logaritmerna var väldigt användbara genom att man kunde göra om en multiplikation till en addition. Istället för att multiplicera talen logaritmerar man talen adderar dem och tar sedan antilogaritmen av talen. Det låter krångligt men spar mycket tid om det är tal med många siffror som ska multipliceras. Från 1600-talet och framåt tog man fram tabeller med värden för logaritmen av olika tal, exempelvis 1-1000.
| |
| | |
| Läs mer här: [http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#Logarithm_tables.2C_slide_rules.2C_and_historical_applications.7B.7Banchor.7CAntilogarithm.7D.7D Eng WP] Läs stycket Logarithm tables, slide rules, and historical applications
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| | |
| | |
| == Vad är logaritmer? ==
| |
| | |
| Tisdag
| |
| | |
| === Inversen ===
| |
| | |
| Det finns en del motsatser inom matematiken. + och minus är en. Multiplikation och division är en annan.
| |
| | |
| Positiva och negativa tal är en annan motsats.
| |
| | |
| Ibland talar man om inversen. Inversen till x är 1/x. Det gäller också att x * 1/x = 1.
| |
| | |
| Du kommer säkert ihåg att sin v = x hade en invers som innebar att v = sin<sup>-1</sup> x .
| |
| | |
| Det är på samma sätt med potensfunktionen och logaritmen.
| |
| | |
| === Enkla tiopotenser ===
| |
| | |
| Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:
| |
| | |
| :1000 kan skrivas som 10<sup>3</sup>
| |
| :100 kan skrivas som 10<sup>2</sup>
| |
| :10 kan skrivas som 10<sup>1</sup>
| |
| :1 kan skrivas som 10<sup>0</sup>
| |
| :0.1 kan skrivas som 10<sup>-1</sup>
| |
| :0.01 kan skrivas som 10<sup>-2</sup>
| |
| | |
| Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10<sup>x</sup> där x inte är ett heltal.
| |
| | |
| === Potensfunktionen y=10<sup>x</sup> ===
| |
| | |
| grafen visar y = 10<sup>x</sup>
| |
| | |
| För varje x-värde finns ett y-värde som är 10<sup>x</sup>
| |
| | |
| Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y
| |
| | |
| <ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAA1jkUAAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACAANY5FAAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbNVY64/bNhL/nP4VA31qgKwtStTDgZ0i2aK4AElzwKbFoR8K0BJts6vXiZTXG/SPvxlSkmV7b5tNH3c11ktSHM5wfvOUl98cygL2stWqrlYem/keyCqrc1VtV15nNlep982rr5ZbWW/luhWwqdtSmJXHiVLlK08EfL1I/OCK8SC64nkeXq1zmV9t0o3A72aR59IDOGj1sqq/F6XUjcjkTbaTpXhXZ8JYwTtjmpfz+d3d3WwQNavb7Xy7Xc8OOvcAr1nplddPXiK7k0N3oSUPfJ/N//X+nWN/pSptRJWhfFKhU6++era8U1Ve38Gdys0O1VigGjuptjvUKY4iD+ZE1CAgjcyM2kuNRydLq7MpG8+SiYr2n7kZFKM6HuRqr3LZrjx/FsaLME2SKGJ+4HM/9aBulaxMT8t6mfOB23Kv5J1jSzMrkXtg6rpYC+IIv/4KAfKCFzQwNwQ4xLHb8t0zP3RD4AbuhsjRcHecO1LuaLij4aEHe6XVupArbyMKjQiqatOi9ca1NveFtPfpHxy1Zy9QJ60+ITGLAg8c5Ljw/Rf0jfHLfd/pPVGSTaSatnui0EEkT58gMvhdioajmim7lBlE/0XN+BGhTu/P0ZNF/lEmirJ/9nshMXxMzXOJbv37BMb8L1FxOR9CZdlHB+gd0fbeY2SpKV7CBUQLcnsGEcZGnKCXR8AWOCQBYDQAi4BHuGQpxDQmECa4wSGEFIiOhWCDI0rxH08ssxgiZEZPE4xJYCiIQxQCszHFASMJbFxijAYhUkQRRHiIxLOAWIQx8BhXYQoc70ghmTAkDPEgrlF8ACGDkA6zBIIYYuLHOIV6nNLVkWUAsQ8xI4YY1RjRLpqRPoWQtIl7uFTVdOYEoqzMh6mpm9EWSI356Jj1XH46SYrPloVYywLrxA1ZEmAvCooIK2hTVwYGI3L3bNuKZqcyfSONwVMafhF78U4YefgOqfUg29JmdaX/2dbmui66stIAWV34453rgk3mwXhrXISTDT7diCYb8WSePCi3xh3otET5dasHcpHnb4nimBoQyQ9Vcf+mleK2qdWpGsu5LTlL2WWFypWofkRnJSmEC4wViNLVUIF4mg4Xqdv85l6jB8PhJ9nWlFYWs8Xkky48uHdbnCczf/KhAMoExV6QBDMsavf9kp+yWMS9beR+tIo4yFHhbavy6fytflMX+ai+1fhaNKZrbbuA6bAlPV5X20Jar7CxjLU4u13XhxvnDqHj9fG+wZXv5K+3FmnAbBBQEUZmWIU8WFMO6H2KLjZS+ZbGtxT+4F8qP9vHgut44Ghp0F3dxXo12aAj8wchStsM5nsncWJ9nep6VynzblgYld0e9ST677tyLY8eQwTfKteEUCsQnElhf4IU6uGs95353fJWtpUsejdHY3d1p13UTiIgl5kqcek2hvuSQX/AO7mnudy2sqcXhW3WHKh215968MVjy+q7ti7fVvuP6C1nF1jOh1suddaqhnwS1lgabuXR73KlBVaWfHqO4hLRyKiCICCG0MKI7cyubm0/hokGRwrHQ9NKTf2uwxuQDTa9B8p+Xx+ewwoT+c84sWxlIUts1cBYb910lRUwWmpj20AyCdTrXzA3nlnSLqzeuH3h4hGz3kmDKJqdIA/pYSrEvWxPgLMcP2w2Who4YCTjofuVdxXxyfb7OpdnhkNjWkgwkzTOfxopneeZPgKhQWk2gCd+cIwUg0n7FjtTdLdkcogm/1DY3NuC7RzOgXUBW9WVslXZiEpmUcN7doNvzNL+wk+F0kb4JBMcgWSPAnlEqqfTBbXrUKrKsinFwWIk1hpLkMH3FfT46vi+4q7Wp3Bs9uhtiE4s7AwNw2OabNRBjhkUPVF9wsgTJ9o8CHT8GNCXZkWhn2vZEyudRcLKe90HwtfZCxsF2fPnAzeb7F1ncGrdfmPk8CVmnKZzGx2fGQ9HM06zjiZTWJ8iS8Sz2Mc3MM5T30+iRYRl89OYJfHNja5PpcnxiadPz7LX49i9GbDzvxS7N38pdsdccpU4n2UPQxtcQut/AbLhFyN7PfFK/6mgXv+vQA1dhg6jzwW191eL7h+AY1aXpahyqOxL143c0nPv+BogfOuzglHQOgA6M2wIx63ncQGx7rkNIIrfAHlSWP70sPd7FAnOT1QhZ5wlcRoHSRjHQZDGj+RdPjgXix5MvPLflTujXT+myqZQmTIjfgWl27eVwe5M2lbhssO6lbKh5vdD9bEVlaYf1BzN4IlPNeJrZ8TrCyOun2bE9f+NER9ILJPA+HtbdD7tVO1LYv9756v/AFBLBwj9IhoQsQYAAIwVAABQSwECFAAUAAgACAANY5FARczeXRoAAAAYAAAAFgAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc1BLAQIUABQACAAIAA1jkUD9IhoQsQYAAIwVAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAF4AAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAIAAgB+AAAASQcAAAAA" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "true" />
| |
| | |
| === Alla värden är möjliga ===
| |
| | |
| Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.
| |
| | |
| Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.
| |
| | |
| Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men '''y blir alltid positivt'''. Y blir väldigt litet för stora negativa x.
| |
| | |
| === Definitioner ===
| |
| | |
| Logaritmen av a är den exponent ''x'' till vilken man ska upphöja 10 för att få talet ''a''
| |
| | |
| ''eller''
| |
| | |
| loga är talet 10 ska höjas med för att få a
| |
| | |
| ''eller''
| |
| | |
| :<math>a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a</math>.
| |
| | |
| ''eller''
| |
| | |
| log10<sup>x</sup> = x
| |
| | |
| ''eller''
| |
| | |
| 10<sup>loga</sup> = a
| |
| | |
| ==== Andra beteckningar ====
| |
| | |
| Andra beteckningssätt för log<sub>10</sub> ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.
| |
| | |
| === Kopplingen tiopotens - logaritm ===
| |
| === Grafen för logaritmerna ===
| |
| | |
| [[Fil:Graph of common logarithm.png|300px|miniatyr|Graf över tiologaritmen]]
| |
| | |
| Tänk på att potensfunktionen och logaritmen är inversa (motsatser.
| |
| | |
| Exempelvis kan 10 skrivas som 10<sup>1</sup>. Därför är log 10 = 1.
| |
| | |
| Och 100 kan skrivas som 10<sup>2</sup>. Därför är log 100 = 2.
| |
| | |
| Log 1 = 0
| |
| | |
| Man kan inte logaritmera ett negativt värde (utan att ta till komplexa tal).
| |
| | |
| {{clear}}
| |
| | |
| === Diagnos ===
| |
| | |
| '''Kort diagnos:''' [http://www.mathcentre.ac.uk/resources/tests/swf/Functions/Diagnostics/3-04d.swf mathcentre] Överkurs (limes)
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| == Räkneregler för logaritmer ==
| |
| | |
| Onsdag v 16
| |
| | |
| '''Sats:''' Multiplikation
| |
|
| |
| lg(a b) = lg a + lg b
| |
| | |
| '''Sats:''' Division
| |
|
| |
| lg (a/b) = lg a - lg b
| |
| | |
| '''Sats:''' Potensräkning
| |
|
| |
| lg a<sup>p</sup> = p lg a
| |
| | |
| '''Något att klura på:'''
| |
| | |
| Vad är log([http://sv.wikipedia.org/wiki/Googolplex Googolplex])
| |
| | |
| == Logaritmiska modeller ==
| |
| [[Fil:Lackmuspapper5_besk.png|800px|Lackmuspapper vid olika pH]]
| |
| | |
| === pH ===
| |
| | |
| [[Fil:Indicateurs colorés de pH.jpg|miniatyr|Några olika pH-indikatorer]]
| |
| '''''p''H''' är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H<sup>+</sup>) i en lösning. Lösningar med låga ''p''H-värden är [[syra|sura]], och de med höga kallas basiska. Lösningar som har ''p''H 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen ''p'' i ''p''H är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga
| |
| | |
| :<math>p\rm H = -\log_{10}{[H^+]}</math>.
| |
| | |
| ''p''H-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.
| |
| | |
| En stark syra med hög koncentration har ett ''p''H-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. ''p''H-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa ''p''H-värden (under 0). Utifrån definitionen av ''p''H får man:
| |
| | |
| * Vid ''p''H 1 är vätejonaktiviteten {H<sup>+</sup>} = 1·10<sup>-1</sup>.
| |
| * Vid ''p''H 7 är vätejonaktiviteten {H<sup>+</sup>} = 1·10<sup>-7</sup>.
| |
| * Vid ''p''H 14 är vätejonaktiviteten {H<sup>+</sup>} = 1·10<sup>-14</sup>.
| |
| {{wp}}
| |
| | |
| '''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/PH Wikipedia om pH].
| |
| | |
| ==== Räkneövning ====
| |
| | |
| 1. Bestäm <math>{[H^+]}}</math> för en lösning med pH = 3.0
| |
| | |
| 2. Vad är pH-värdet om <math>{[H^+]}}</math> är 8.5 10<sup>-6</sup>?
| |
| | |
| === Richterskalan ===
| |
| | |
| Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med cirka 10 gånger. Detta motsvarar ca 32 gånger mer energi. En jordbävning på 3–4 är knappt märkbar; en på 8 eller mer kan ödelägga städer om den inträffar i tättbebyggda områden. Jordbävningar på cirka 8,0 inträffar i genomsnitt en gång per år medan jordbävningar på mer än 9 inträffar mer sällan. Skalan kan även anta negativa värden, men så svaga jordbävningar är svåra att detektera.
| |
| | |
| Skalan togs fram år 1935 av Charles Richter i samarbete med Beno Gutenberg vid California Institute of Technology. Nollpunkten i skalan definierades som ”en jordbävning som på 100 km avstånd registreras på en Wood-Anderson-seismometer med ett utslag på 1 mikrometer”. Nollpunkten är alltså en extremt svag jordbävning, på den tiden i praktiken nästan omätbar. Syftet var att skalan inte skulle behöva anta negativa värden i praktiska fall, även om skalan alltså även innefattar sådana.
| |
| | |
| Mellan jordbävningens magnitud M och den frigjorda energin E (Joule), finns sambandet <math>M=\frac{2}{3}\cdot (\log{E}-K) </math> där K är en korrektionskonstant beroende av avståndet till epicentrum.
| |
| {{wp}}
| |
| '''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Richterskalan Wikipedia om Richterskalan ].
| |
| | |
| === decibel ===
| |
| | |
| <math>
| |
| L_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \bigg(\frac{P_1}{P_0}\bigg) \,
| |
| </math>
| |
| | |
| '''Läs:''' [http://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel Wikipedia om Decibel ].
| |
| | |
| == Ekvationen 2<sup>x</sup> = 3 ==
| |
| | |
| Dessa och liknade ekvationer löser man genom att logaritmera båda sidorna.
| |
| | |
| Varför är det så?
| |
| | |
| Om 10<sup>2a+3b</sup> = 10<sup>y</sup> så innebär det att 2a+3b = y
| |
| | |
| Om log(2a+3b) = log y så innebär det att 2a+3b = y
| |
| | |
| Om log 10<sup>x</sup> = log 27 så innebär det att 10<sup>x</sup> = 27
| |
| | |
| Om man går åt andra hållet kan man säga att om 10<sup>x</sup> = 27 så innebär det att log 10<sup>x</sup> = log 27
| |
| | |
| Nu har vi hittat en metod att lösa ekvationer med exponentialfunktioner. Den kallas att logaritmera.
| |
| | |
| === Exempel ===
| |
| | |
| Lös ekvationen 10<sup>2x</sup> = 200
| |
| | |
| Logaritmering av båda sidorna ger
| |
| | |
| log 10<sup>2x</sup> = log 200
| |
| | |
| 2x = log 200
| |
| | |
| x = log (200) /2
| |
| | |
| == Tillämpningar på exponentiell förändring ==
| |
| [[Fil:Activity decay.svg|mini|Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T<sub>½</sub> = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.]]
| |
| | |
| Lektion 2, måndag v 17
| |
| | |
| Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.
| |
| | |
| === Halveringstid ===
| |
| | |
| Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.
| |
| | |
| Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.
| |
| | |
| Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln
| |
| | |
| ::<math>N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}}</math>,
| |
| | |
| där <math>T_{1/2}</math> betecknar halveringstiden.
| |
| {{wp}}
| |
| | |
| === Ekonomiska modeller ===
| |
| | |
| ==== Uppgifter ====
| |
| | |
| Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?
| |
| | |
| Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.
| |
| | |
| Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?
| |
| | |
| === Kol-14-metoden ===
| |
| | |
| C14-metoden (kol-14-metoden eller radiokolmetoden) är en radiometrisk dateringsmetod som utvecklades i slutet av 1940-talet av professor Willard Frank Libby. Libby fick Nobelpriset 1960 för denna upptäckt. Metoden ledde till en mindre revolution inom arkeologin. Den gör det möjligt att datera fornlämningar och fossil innehållande organiskt material, vanligen träkol och ben, på ett sätt som man inte kunde göra tidigare. Tekniken är enbart tillförlitlig för material som varit levande för mindre än omkring 60 000 år sedan[1].
| |
| | |
| Metoden bygger på att ett antal olika sorters kol finns i allt levande. Växter tar ständigt upp ett nytillskott av kol från luften i form av koldioxid, och det blir sedan del av vävnader hos djur som äter växter eller andra djur. Kolisotopen kol-14 (<sup>14</sup>C, utläses ”kol fjorton”) genomgår radioaktivt sönderfall med en halveringstid på 5730 år. Isotopen <sup>12</sup>C är däremot stabil. Fördelningen mellan dessa två isotoper i levande materia är vanligen densamma som i atmosfären, men vid samma tidpunkt som en organism slutar ta upp kol (d.v.s. dör) börjar andelen <sup>14</sup>C att sjunka. Genom att mäta mängdförhållandet mellan kolisotoperna i ett prov kan man beräkna när organismen i fråga dog.
| |
| {{wp}}
| |
| | |
| ==== Fysikalisk bakgrund ====
| |
| Organiska föreningar är kemiska föreningar vilka innehåller kol. De i naturen vanligast förekommande kol-isotoperna är <SUP>12</SUP>C och <SUP>13</SUP>C. Dessa isotoper är stabila och sönderfaller inte inom mätningshorisonten. Men det finns även en liten andel |<SUP>14</SUP>C som genom betasönderfall övergår till kväve. <SUP>14</SUP>C har en halveringstid på 5 730 år, vilket betyder att hälften av isotopen har ”försvunnit” efter cirka 6 000 år.
| |
| | |
| Man antar att den kosmiska strålningen har varit relativt oförändrad under historiens gång. Därmed nyproduceras <SUP>14</SUP>C-atomer i jämn takt uppe i jordens atmosfär. Detta sker genom reaktionen
| |
| :<math>n + \mathrm{~^{14}_{7}N}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{6}C}+ p</math>
| |
| som är relativt vanlig eftersom jordens atmosfär består av 78 % kväve (N).
| |
| <SUP>14</SUP>C nyproduceras ständigt i jordens atmosfär genom den kosmiska strålningen, vilken består av neutroner. Den kosmiska strålningen träffar kväve-14-atomen på 9 000 till 10 000 meters höjd och därefter förenas den nyproducerade <sup>14</sup>C-atomen med syre för att bilda atmosfärisk koldioxid (CO<SUB>2</SUB>). Den atmosfäriska koldioxiden sprider sig sedan ner till jorden på två sätt: den regnar ner eller tas upp av växternas fotosyntes. Det betyder att djur ständigt får i sig färskt <sup>14</sup>C genom födan. Men när organismerna dör upphör detta intag och andelen <sup>14</sup>C minskar med åren. Genom att mäta andelen kol-14 i det organiska materialet kan man bestämma hur länge det varit dött.
| |
| :<math>\mathrm{~^{14}_{6}C}\rightarrow\mathrm{~^{14}_{7}N}+ e^- + \bar{\nu}_e</math>
| |
| {{wp}}
| |
| | |
| == Aktivitet: När kan du dricka ditt kaffe? ==
| |
| [[Fil:A small cup of coffee.JPG|miniatyr|En kopp svart kaffe]]
| |
| | |
| Här finns [[Värme_och_temperatur#Laboration_V.C3.A4rme|mätdata på vatten som svalnar]]
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| == Fler funktioner ==
| |
| [[Fil:Ex cont func.svg|miniatyr|Att en funktion är kontinuerlig betyder att den är sammanhängande.]]
| |
| [[Fil:Upper_semi.svg|miniatyr|Denna funktion är inte kontinuerlig i punkten <math>x_0</math> eftersom den där gör ett hopp.]]
| |
| | |
| Det som är '''kontinuerligt''' är något som är utan avbrott, ett flytande sammanhang utan fasta hållpunkter, utan att vara uppdelat i steg. De matematiska strukturer som inte är kontinuerliga kallas diskreta.
| |
| {{wp}}
| |
| | |
| '''Begrepp'''
| |
| | |
| Kontinuerlig är en funktion som löper utan avbrott.
| |
| Om det finns ett "hack i kurvan", en punkt där kurvan ej är definierad
| |
| kallas funktionen diskontinuerlig.
| |
| | |
| === Testa själv ===
| |
| | |
| Rita dessa funktioner i GGB:
| |
| | |
| y = 1 / x är diskontinuerlig
| |
| | |
| y = lg(x)
| |
| | |
| y = x<sup>0.5</sup> (roten ur x)
| |
| | |
| y = (x + 2)<sup>0.5</sup> (roten ur x)
| |
| | |
| === Exempel 1 ===
| |
| | |
| Sök lösningen till 2/x = x + 1 genom att lägga in de två funktionerna i GGB.
| |
| | |
| === Logaritmer på andra baser ===
| |
| [[File:Function-log-animation.gif|thumb|left|2-logaritmen och 2^x]]
| |
| [[File:Function-log-animation2.gif|thumb|1/2-logaritmen]]
| |
| | |
| Om du tänker på logaritmens definition så inser du kanske att logaritmen kan definieras för andra baser än tio som vi jobbat med. Du ser exempel här bredvid.
| |
| {{clear}}
| |
| | |
| == Repetition ==
| |
| | |
| Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.
| |
| | |
| === Övningar ===
| |
| * [http://classroomaid.visibli.com/172417d2dc9ecdc1/?web=d81418&dst=http%3A//www.khanacademy.org/%20Khan:%20Logaritms%201 Khan: Logaritms 1]
| |
| * [[Blandade repetitionsuppgifter funktioner Ma2C]]
| |
| | |
| === Lektioner ===
| |
|
| |
|
| * '''Onsdag v 17'''
| | == Kortdiagnos 4 == |
| * To v 17 går bort pga NP Sv
| |
| * '''Må v 18''' Valborg = skoldag
| |
| ** Vi gör Diagnos 21, Sen går vi genom fen.
| |
| ** [[Funktioner_2C#.C3.96vning_-_hitta_funktionen_om_du_vet_fokus_och_styrlinje|Gör denna övning]]
| |
| * Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
| |
| ==== Onsdag v 18: Lektion som vanligt ====
| |
|
| |
|
| * [http://matmin.kevius.com/logar.php Bruno Kevius om logaritmen]. Läs även andra sidor som kan vara nyttiga.
| | {{print|[[Media:Kortdiagnos_4.pdf|Kortdiagnos4]]}} |
| * Gör testet i boken och sedan blandade uppgifter.
| |
| * Film: Det finns hur mycket som helst nu. Ett exempel som jag fastnade för därför att det är en enkel sak som vi inte gått in på fast jag vet att några av er använder det.
| |
| <youtube>rD0BrPd_TSI</youtube>
| |
|
| |
|
| PolhemsJocke är en ny bekantskap:
| | == Utmaning == |
| <youtube>Z3Id_zqaxqo</youtube>
| |
|
| |
|
| === Prov ===
| | Klarar du denna övning? |
|
| |
|
| Den 4:e maj, v 18
| | <html> |
| | <script type='text/javascript' src='http://demonstrations.wolfram.com/javascript/embed.js' ></script><script type='text/javascript'>var demoObj = new DEMOEMBED(); demoObj.run('FunctionIdentificationGame', '', '439', '682');</script><div id='DEMO_FunctionIdentificationGame'><a class='demonstrationHyperlink' href='http://demonstrations.wolfram.com/FunctionIdentificationGame/' target='_blank'>Function Identification Game</a> from the <a class='demonstrationHyperlink' href='http://demonstrations.wolfram.com/' target='_blank'>Wolfram Demonstrations Project</a> by Izidor Hafner</div> |
| | </html> |
