Derivatan av logaritmfunktionen: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) (→Bevis) |
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
||
| (12 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
[[Category:Matematik]] [[Category:Ma4]] [[Category:Samband och förändring]] [[Category:Derivator]] [[Category:Logaritmer]] | |||
{{flipped2| zGt8EiMXAJg |Derivatan av logaritmfunktionen, av Mattias Danielsson. CC By (på Youtube) --> }} | {{flipped2| zGt8EiMXAJg |Derivatan av logaritmfunktionen, av Mattias Danielsson. CC By (på Youtube) --> }} | ||
{{defruta | '''Derivatan av ln x''' | |||
Om <math> f(x) = \ln x </math> så är <math> f'(x)= \frac{1}{ x} </math> | |||
}} | |||
== Bevis == | == Bevis == | ||
<br /> | <br /> | ||
: <math>y= ln x </math> är liktydigt med att <math> e^y = x</math> | : <math>y= \ln x </math> | ||
: är liktydigt med att | |||
: <math> e^y = x</math> | |||
<br /> | <br /> | ||
: Derivera nu <math> e^y = x</math> på båda sidorna med avseende på x. I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1. | : Derivera nu <math> e^y = x</math> på båda sidorna med avseende på x. I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1. | ||
: <math> y' \cdot e^y = 1 </math> | : <math> y' \cdot e^y = 1 </math> | ||
<br /> | <br /> | ||
: Stuva om i ekvationen så får vi: | : Stuva om i ekvationen så får vi: | ||
: <math> y' = \frac{1}{e^y} </math> | : <math> y' = \frac{1}{e^y} </math> | ||
<br /> | <br /> | ||
: Men <math> e^y = x </math> så | : Men <math> e^y = x </math> så | ||
: <math> y' = \frac{1}{x} </math> | : <math> y' = \frac{1}{x} </math> | ||
:<br /> | :<br /> | ||
: V.S.B. | : V.S.B. | ||
== Detrivatan av tiologaritmen == | |||
{{defruta | '''Derivatan av lg x''' | |||
Om <math> f(x) = \lg x </math> så är <math> f'(x)= \frac{1}{ x \cdot \ln 10} </math> | |||
}} | |||
Nuvarande version från 4 oktober 2016 kl. 10.17
| Definition |
|---|
| Derivatan av ln x
Om [math]\displaystyle{ f(x) = \ln x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{ x} }[/math] |
Bevis
- [math]\displaystyle{ y= \ln x }[/math]
- är liktydigt med att
- [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math]
- Derivera nu [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math] på båda sidorna med avseende på x. I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1.
- [math]\displaystyle{ y' \cdot e^y = 1 }[/math]
- Stuva om i ekvationen så får vi:
- [math]\displaystyle{ y' = \frac{1}{e^y} }[/math]
- Men [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math] så
- [math]\displaystyle{ y' = \frac{1}{x} }[/math]
- V.S.B.
Detrivatan av tiologaritmen
| Definition |
|---|
| Derivatan av lg x
Om [math]\displaystyle{ f(x) = \lg x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{ x \cdot \ln 10} }[/math] |