Derivatan av logaritmfunktionen: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 4 oktober 2016 kl. 10.17

Flippa = Se denna till nästa lektion!

Derivatan av logaritmfunktionen, av Mattias Danielsson. CC By (på Youtube) -->

Definition
Derivatan av ln x Om [math]\displaystyle{ f(x) = \ln x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{ x} }[/math]

[math]\displaystyle{ y= \ln x }[/math]

är liktydigt med att

[math]\displaystyle{ e^y = x }[/math]

Derivera nu [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math] på båda sidorna med avseende på x. I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1.

[math]\displaystyle{ y' \cdot e^y = 1 }[/math]

Stuva om i ekvationen så får vi:

[math]\displaystyle{ y' = \frac{1}{e^y} }[/math]

Men [math]\displaystyle{ e^y = x }[/math] så

[math]\displaystyle{ y' = \frac{1}{x} }[/math]

V.S.B.

Definition
Derivatan av lg x Om [math]\displaystyle{ f(x) = \lg x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{ x \cdot \ln 10} }[/math]

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
+[[Category:Matematik]] [[Category:Ma4]]  [[Category:Samband och förändring]]  [[Category:Derivator]] [[Category:Logaritmer]]
 {{flipped2| zGt8EiMXAJg |Derivatan av logaritmfunktionen, av Mattias Danielsson. CC By (på Youtube) --> }}
+{{defruta | '''Derivatan av ln x'''
+Om <math>  f(x) = \ln x </math>  så är <math>  f'(x)= \frac{1}{ x} </math>
+}}
+== Bevis ==
+<br />
+: <math>y= \ln x </math>
+: är liktydigt med att
+: <math> e^y = x</math>
+<br />
+: Derivera nu  <math> e^y = x</math> på båda sidorna med avseende på x.  I vänster led får vi en inre derivata och höger led blir = 1.
+: <math> y' \cdot e^y = 1 </math>
+<br />
+: Stuva om i ekvationen så får vi:
+: <math> y' = \frac{1}{e^y} </math>
+<br />
+: Men <math> e^y = x </math> så
+: <math> y' = \frac{1}{x} </math>
+:<br />
+: V.S.B.
+== Detrivatan av tiologaritmen ==
+{{defruta | '''Derivatan av lg x'''
+Om <math>  f(x) = \lg x </math>  så är <math>  f'(x)= \frac{1}{ x \cdot \ln 10} </math>
+}}