Derivatan av 2^x: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
||
| (4 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 4: | Rad 4: | ||
Denna lektion kommer du att lära dig hur man deriverar exempelvis <math>y = 2^x</math>. | Denna lektion kommer du att lära dig hur man deriverar exempelvis <math>y = 2^x</math>. | ||
}} | }} | ||
Vi skriver om 2 till <math> e^{ln 2} </math> för att få det på basen e och kunna använda potenslagarna och deriveringsreglerna som vi har med oss sedan tidigare. | |||
<math> y = 2^x = (e^{ln 2})^x =e^{ln 2 \cdot x} </math> | |||
Nu är det en funktion på formen <math> e^{k x} </math> och vi kan derivera (med <math>k = ln 2</math>) som vanligt. | |||
<math> y' = ln 2 \cdot e^{ln 2 \cdot x} = ln 2 \cdot (e^{ln 2} )^x = ln 2 \cdot 2^x</math> | |||
{{defruta | '''Derivatan av <math>y = a^x</math>''' | {{defruta | '''Derivatan av <math>y = a^x</math>''' | ||
<br /> | <br /> | ||
: a är ett positivt tal. | |||
: Om <math>f(x) = a^x</math> så är <math>f'(x) = ln \, a \cdot a^x</math> (a > 0) | : Om <math>f(x) = a^x</math> så är <math>f'(x) = ln \, a \cdot a^x</math> (a > 0) | ||
}} | }} | ||
| Rad 13: | Rad 22: | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
== Härledning == | == Härledning med derivatans definition == | ||
Vid derivering av funktionen <math>a^x </math> där <math>a </math> är en konstant: | Vid derivering av funktionen <math>a^x </math> där <math>a </math> är en konstant: | ||
Nuvarande version från 15 april 2016 kl. 09.56
Vi skriver om 2 till [math]\displaystyle{ e^{ln 2} }[/math] för att få det på basen e och kunna använda potenslagarna och deriveringsreglerna som vi har med oss sedan tidigare.
[math]\displaystyle{ y = 2^x = (e^{ln 2})^x =e^{ln 2 \cdot x} }[/math]
Nu är det en funktion på formen [math]\displaystyle{ e^{k x} }[/math] och vi kan derivera (med [math]\displaystyle{ k = ln 2 }[/math]) som vanligt.
[math]\displaystyle{ y' = ln 2 \cdot e^{ln 2 \cdot x} = ln 2 \cdot (e^{ln 2} )^x = ln 2 \cdot 2^x }[/math]
| Definition |
|---|
| Derivatan av [math]\displaystyle{ y = a^x }[/math]
|
Härledning med derivatans definition
Vid derivering av funktionen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] där [math]\displaystyle{ a }[/math] är en konstant:
[math]\displaystyle{ a }[/math] kan skrivas som [math]\displaystyle{ e^{\ln a} }[/math] (se naturliga logaritmen]]) vilket innebär att [math]\displaystyle{ a^x }[/math] även kan substitueras med [math]\displaystyle{ e^{\ln a x} }[/math].
[math]\displaystyle{ f(x)= e^{\ln a x} }[/math]
[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a (x+h)}-e^{\ln a x}}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a h}\cdot(e^{\ln a x}-1)}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{\ln a x} \cdot\frac{e^{\ln a h}-1}{h} }[/math]
Om [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] nu tillsätts med ett värde, exempelvis 6 blir derivatan :
[math]\displaystyle{ f(x)= e^{6x} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{6x} \cdot\frac{e^{6h}-1}{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=6\cdot e^{6x} }[/math]
Detta innebär att denna allmänna formel för exponentialfunktioner av typen [math]\displaystyle{ e^{kx} }[/math], där [math]\displaystyle{ k }[/math] är en konstant lyder:
[math]\displaystyle{ f(x)=e^{kx} }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=k \cdot e^{kx} }[/math]
Om [math]\displaystyle{ k }[/math] substitueras med [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] följande, om [math]\displaystyle{ a^x=e^{\ln a x} }[/math]:
[math]\displaystyle{ f(x)=a^x }[/math]
[math]\displaystyle{ f'(x)=\ln a \cdot a^x }[/math]