Andraderivatan: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
||
| (11 mellanliggande sidversioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
{{lm3c| Andraderivatan | 156 - 158}} | {{lm3c| Andraderivatan | 156 - 158}} | ||
{{#ev:youtube| 6xziqPSIs | 340 | right |Sid 156-158 - Andra derivatan och bestämning av max- och minpunkter}} | {{#ev:youtube| 6xziqPSIs-k | 340 | right |Sid 156-158 - Andra derivatan och bestämning av max- och minpunkter}} | ||
{{malruta | Idag ska du lära dig att: | |||
* bestämma vilken typ av extrempunkt det är med hjälp av andraderivatan | |||
}} | |||
{{kluring | | |||
För vilket värde på x har | |||
<math> f(x) = x (x - 2) (x + 1) </math> | |||
sin maximipunkt? | |||
}} | |||
{{clear}} | |||
{{defruta | Om förstaderivatan är noll i en punkt och '''andraderivatan''' | |||
: är '''negativ''' är det ett lokalt '''maximum''' | |||
: är '''positiv''' är det ett lokalt '''minimum''' | |||
Om andraderivatan är noll så vet vi inte utan behöver göra teckenstudium. | |||
}} | |||
{{exruta|För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av <math> f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3 </math> för <math> 0\leq x\leq 2 </math> beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen. | |||
:<math>f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\}</math> | |||
Eftersom andraderivatan är | |||
:<math>f''(x) = 6 x - 4\,</math> | |||
så är | |||
:<math>f''(1/3) = -2 < 0\,</math> och <math>f''(1) = 2 > 0\,</math>. | |||
Värdena i randpunkterna är <math>f(0) = -3</math> respektive <math>f(2) = -1</math>. | |||
Följaktligen har funktionen ''f'' en lokal maximipunkt för <math>x = 1/3</math> och en lokal minimipunkt för <math>x = 1</math>. Respektive extremvärden är <math>f(1/3) = -77/27</math> och <math>f(1) = -3</math>. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).}} | |||
<html> | |||
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/2681275/width/672/height/503/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="672px" height="503px" style="border:0px;"> </iframe> | |||
</html> | |||
{{flipped | Lös uppgifterna på detta avsnitt till nästa gång. Förbered dig genom att läsa på [[Maximi- och minimiproblem]]}} | |||
Nuvarande version från 18 februari 2016 kl. 09.29
| Definition |
|---|
Om förstaderivatan är noll i en punkt och andraderivatan
Om andraderivatan är noll så vet vi inte utan behöver göra teckenstudium. |
| Exempel |
|---|
För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3 }[/math] för [math]\displaystyle{ 0\leq x\leq 2 }[/math] beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen.
Eftersom andraderivatan är
så är
Värdena i randpunkterna är [math]\displaystyle{ f(0) = -3 }[/math] respektive [math]\displaystyle{ f(2) = -1 }[/math]. Följaktligen har funktionen f en lokal maximipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1/3 }[/math] och en lokal minimipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math]. Respektive extremvärden är [math]\displaystyle{ f(1/3) = -77/27 }[/math] och [math]\displaystyle{ f(1) = -3 }[/math]. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt). |