Visa källa för Addition och subtraktion av vektorer

= Teori =

{{malruta | Operationer på vektorer

Du lär dig addition, subtraktion och skalär multiplikatin med vektorer.
}}

=== Komposanter ===
<html>
<iframe scrolling="no" title="Komposanter" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/pQpkjwdJ/width/401/height/250/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="401px" height="250px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

{{defruta |
Termerna i en vektoraddition kallas för komposanter och summan av komposanterna kallas resultant. 
}}

I en figur kan man åskådliggöra summan av två vektorer som diagonalen i det parallellogram som bildas av de två vektorerna (resultanten har markerats med en blå pil i figuren till höger):

''Texten från matteboken.se''

=== Addition av vektorer ===

{{Digital |{{svwp | Vektor}}er på ett utmärkt sätt. Läs den!}}{{Sats| '''Kommutativa lagen för vektorer'''

Kommutativa lagen gäller för vektorer. Det spelar alltså ingen roll i vilken ordning de adderas det resulterar i samma vektor.

:<math>\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a} </math>
}}

<html>

<iframe scrolling="no" title="Vector Addition" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Gfy9jguW/width/750/height/456/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/true/sdz/false/ctl/false" width="750px" height="456px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

==== Addition av vektorer med komposanterna utritade ====

<html>
<iframe scrolling="no" title="Addition med komposanter" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/frfshfvm/width/686/height/360/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="686px" height="360px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

=== Subtraktion av vektorer ===

{{defruta | Subtraktion av en vektor är ekvivalent med additionen av den motsatta vektorn.

: <math>\mathbf{a} -\mathbf{b} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b}) </math>
}}

<html>
<iframe scrolling="no" title="Vector Subtraction" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/mNxnrVf7/width/913/height/457/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/true/sdz/true/ctl/false" width="913px" height="457px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

=== Multiplikation av en skalär och en vektor ===

{{defruta|
En skalärprodukt är en serie additioner. Exempelvis är

: <math>3  \cdot \mathbf{a} = \mathbf{a} + \mathbf{a} + \mathbf{a} </math> 

Skalärprodukten går att generalisera till multiplikation av ett reellt tal med en vektor.

: <math>(-1) \cdot \mathbf{a} = -\mathbf{a} </math> 

En enhetsvektor är en vektor med längden 1.
}}

I GeoGebra kan du multiplicera en glidare med en vektor.

Enhetsvektorer parallella med axlarna i ett koordinatsystem är användbara.

=== Vektorer och trigonometri===
<html>
<iframe scrolling="no" title="Vektor trigonometri" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zkhqy4j4/width/600/height/360/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="600px" height="360px" align="left" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

{{Digital |Denna GeoGebra förklarar [https://www.geogebra.org/m/vY5t5c3b vektorer och trigonometri] mm.}}

{{defruta|
En vektor <math>\mathbf{u} </math> (från origo) i ett koordinatsystem och vinkel v mot x-axeln kan delas upp i komposanter på x-axeln och y-axeln.

: <math>\mathbf{u}_x = \mathbf{u} ~cos(v) </math>
: <math>\mathbf{u}_y = \mathbf{u} ~sin(v) </math>
}}

== Beräkningar med vektorer i koordinatform ==
<html>
<iframe scrolling="no" title="komposanter och enhetsvektorer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fbqghpbd/width/600/height/600/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="600px" height="600px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

En vektor <math>\mathbf{u}</math> kan skrivas med hjälp av komposanterna utefter koordinatsystemets axlar och även uttryckas med hjälp av enhetsvektorerna. Därefter kan vi skriva vektorn på koordinatform. De räkneregler som gäller för vektorer gäller både grafiskt och om vi utför dem på koordinaterna.

<math>\mathbf{ u} = \mathbf{ u_x} + \mathbf{u_y}  = u_x\mathbf{ e}_x + u_y{\mathbf e}_y = (u_x, u_y)</math>

=== Addition ===

<math>\mathbf{u}~+~\mathbf{v}  = (u_x, u_y) + (v_x, v_y) = (u_x + v_x, u_y + v_y) </math>

=== Subtraktion===

<math>\mathbf{u}~ - ~\mathbf{v}  = (u_x, u_y) - (v_x, v_y) = (u_x - v_x, u_y - v_y) </math>

=== Multiplikation med skalär ===


<math>n \cdot \mathbf{u}~   = n \cdot (u_x, u_y) = (n \cdot u_x, n \cdot u_y)  </math>

{{clear}}